A. क्योंकि \(x\ge1\) पर (f(x)=1)/Because (f(x)=1) for \(x\ge1\)
Step 1
Concept
For \(x\ge1\), \(\min{x,1}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(2)=1) and (f(3)=1), while \(2\ne3\).
Step 3
Exam Tip
A function that is constant on a ray cannot be one-one. चरण 1: \(x\ge1\) होने पर \(\min{x,1}=1\) होता है। चरण 2: इसलिए (f(2)=1) और (f(3)=1), जबकि \(2\ne3\)। चरण 3: किसी किरण पर स्थिर फलन एकैकी नहीं रह सकता।
So (f(x)=x-x=0), meaning all non-negative numbers have the same value.
Step 3
Exam Tip
When many inputs have the same image, one-one nature fails. चरण 1: जब \(x\ge0\), तब (|x|=x) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x-x=0), यानी सभी अऋणात्मक संख्याओं का मान एक ही है। चरण 3: समान प्रतिबिंब वाले कई इनपुट मिलने पर एकैकीपन समाप्त हो जाता है।
Many different (x)-values in this interval give function value (2).
Step 3
Exam Tip
If a function is constant on an interval, it cannot be one-one. चरण 1: \(-1\le x\le1\) पर (|x-1|+|x+1|=2) होता है। चरण 2: इस पूरे अंतराल में कई अलग (x) मानों का फलन मान (2) है। चरण 3: जब किसी अंतराल पर फलन स्थिर हो, तो वह एकैकी नहीं हो सकता।
For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective. चरण 1: (x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। चरण 3: अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए।
For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto. चरण 1: (x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। चरण 2: दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
If \(x\ge0\), then (x+|x|=2x), which gives all values in \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, split the function into cases to find the range. चरण 1: यदि (x<0), तो (x+|x|=x-x=0)। चरण 2: यदि \(x\ge0\), तो (x+|x|=2x), जो \([0,\infty\)) में सभी मान देता है। चरण 3: परिमाण वाले फलन को टुकड़ों में बाँटकर परिसर निकालना आसान होता है।
