A. यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलते/It is not onto because (0) and (1) are not attained
Step 1
Concept
The function values lie between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Neither (0) nor (1) is attained for any real (x), but both are in the codomain.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals is crucial in onto questions. चरण 1: फलन के मान (0) और (1) के बीच रहते हैं। चरण 2: (0) या (1) किसी वास्तविक (x) पर नहीं मिलता, पर वे सहप्रांत में शामिल हैं। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादिता में बहुत महत्वपूर्ण है।
For any (0<y<1), solving gives \(x=\ln\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
When the codomain is an open interval, endpoints need not be attained. चरण 1: इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच होता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए समीकरण हल करने पर \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) मिलता है। चरण 3: खुला अंतराल सहप्रांत हो तो सिरों को न जोड़ें।
A. क्योंकि (0) और (1) प्राप्त नहीं होते/Because (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
For every real (x), \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain ([0,1]) contains (0) and (1), but they are never obtained.
Step 3
Exam Tip
A value approached as a limit need not belong to the range. चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(0<\frac{1}{1+e^{-x}}<1\)। चरण 2: सहप्रांत ([0,1]) में (0) और (1) शामिल हैं, पर वे कभी प्राप्त नहीं होते। चरण 3: सीमा के रूप में मिलने वाला मान जरूरी नहीं कि परास में हो।
The value of this function always lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in(0,1)\), taking \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Solving for (x) from a target value is a strong proof of onto. चरण 1: इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: हर \(y\in(0,1)\) के लिए \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: किसी लक्ष्य मान से (x) निकालना आच्छादकता का मजबूत प्रमाण है।
This function always gives a value between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in(0,1)\), taking (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
In hard onto questions, solving for (x) from target (y) is very useful. चरण 1: यह फलन हमेशा (0) और (1) के बीच मान देता है। चरण 2: हर \(y\in(0,1)\) के लिए (x=\ln\left\(\frac{y}{1-y}\right\)) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: कठिन आच्छादकता में लक्ष्य (y) से (x) निकालना बहुत उपयोगी है।
