Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. यह किसी भी वास्तविक (a) के लिए सर्वाच्छादक नहीं है/It is not onto for any real (a)
Step 1
Concept
यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। / If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.
Step 3
Exam Tip
किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है। / In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto.
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.
B. क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते/Because even integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है। / For integer functions, parity is a quick way to test onto property.
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। / Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है। / Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property.
(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।
Step 3
Exam Tip
जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.
B. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें। / For sums of even powers, check negative codomain values first.
A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते/Because (0) and (1) are never images
Step 1
Concept
\(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। / \(e^{-x}\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। / So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं। / When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained.
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। / \(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। / Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें। / Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)).
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। / \(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है। / Showing one missed codomain value is enough to prove not onto.
A. क्योंकि (5) छवि नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
\(x\in[0,2]\) होने पर \(x^2\in[0,4]\) होता है। / If \(x\in[0,2]\), then \(x^2\in[0,4]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (5) है पर \(x^2=5\) के लिए \(x=\sqrt{5}\), जो प्रांत में नहीं है। / The codomain contains (5), but \(x^2=5\) gives \(x=\sqrt{5}\), which is not in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सबसे बड़े और सबसे छोटे संभव मान जाँचना जरूरी है। / With restricted domains, check the maximum and minimum possible output values.
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है।
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। / (0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें। / When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully.
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, पर वे परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले फलनों में ऋणात्मक सहप्रांत मानों की जाँच जल्दी करें। / For modulus functions, quickly check negative codomain values.
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer value.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers such as \(\frac{1}{2}\), with no preimage.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास \(\mathbb{Z}\) होता है, \(\mathbb{R}\) नहीं। / The greatest integer function has range \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+1\ge1\)। / Since \(x^6\ge0\), \(x^6+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात और धनात्मक जोड़ वाले फलन का परास नीचे से सीमित होता है। / Even powers with a positive shift have a range bounded below.
स्थिर फलन का परास केवल ({5}) है। / The range of a constant function is only ({5}).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (6), (0), (-1) जैसे अनेक मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has values such as (6), (0), and (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / A constant function is not onto over a large codomain.
([-1,1]) पर \(x^2\) के मान ([0,1]) में रहते हैं। / On ([-1,1]), values of \(x^2\) lie in ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जैसे \(-\frac{1}{2}\), जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) also contains negative values such as \(-\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
समान प्रांत रखने से आच्छादी होना तय नहीं होता। / Having a similar-looking domain does not guarantee onto.
