Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|x-5|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x-5|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) है, पर इसका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-2), but it has no preimage.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर जाँचते समय ऋणात्मक मान देखें। / For absolute value functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\), check negative values.
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए (f(x)\ge0)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो परास में नहीं आ सकतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में अक्सर परास नीचे से सीमित होता है। / Even-power polynomials are often bounded below.
\(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) भी हैं, जिनका कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which have no preimage.
Step 3
Exam Tip
परास (\(0,\infty\)) और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) अलग हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the range (\(0,\infty\)) differs from codomain \(\mathbb{R}\), the function is not onto.
A. क्योंकि (1) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (1) has no preimage
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (f(x)=x-2+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है, पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(x^2+2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(x^2+2=1\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँच में एक भी छूटा हुआ सहप्रांत तत्व पर्याप्त है। / For onto checking, one missing codomain element is enough.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। / When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है। / When the domain is restricted, the range can also be restricted.
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते/Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। / \(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता। / On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers.
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत को नहीं ढकता। / An integer-valued function does not cover the full real codomain.
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता/Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
A. क्योंकि \(\frac{5}{2}\) जैसा मान नहीं मिलता/Because a value like \(\frac{5}{2}\) is not obtained
Step 1
Concept
\(\lceil x-1\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x-1\rceil\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{5}{2}\) जैसा गैर-पूर्णांक मान है, पर वह नहीं मिलता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains a non-integer value like \(\frac{5}{2}\), but it is not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन को वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं मानना चाहिए। / An integer-valued function should not be treated as onto a real codomain.
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x+2\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x+2\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{3}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{3}\), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत पर आच्छादी नहीं होता। / An integer-valued function is not onto the whole real codomain.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
प्रांत \([0,\infty\)) में (x) अऋणात्मक है। / In the domain \([0,\infty\)), (x) is non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt[3]{x}\) भी अऋणात्मक होगा और (-1) जैसा मान नहीं मिलेगा। / Therefore \(\sqrt[3]{x}\) is also non-negative, and a value like (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
घनमूल का परास प्रांत पर निर्भर करता है। / The range of a cube-root function depends on its domain.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x-4)2}=|x-4|) है। / (\sqrt{(x-4)2}=|x-4|).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं। / Its value is never negative, while the codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values.
Step 3
Exam Tip
मापांक रूप को वास्तविक सहप्रांत से मिलाते समय सावधान रहें। / Be careful when matching a modulus-type range with a real codomain.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
वर्गमूल का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / A square-root value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन को वास्तविक सहप्रांत देने पर आच्छादीपन नहीं रहता। / A square-root function is not onto a full real codomain.
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
(|x+3|+2) का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of (|x+3|+2) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, पर फलन (1) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but the function cannot give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में न्यूनतम परास से छोटे मान हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains values below the range minimum, the function is not onto.
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) में हर वास्तविक (x) के लिए हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। / In \(\frac{x^2}{1+x^2}\), the denominator is always larger than the numerator for real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मान (1) से छोटा रहता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore the value stays below (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में सिरा छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If an endpoint of a closed codomain is missed, the function is not onto.
