समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4}) हैं और (S) के वर्ग ({1,3},{2,4}) हैं। \(R\cap S\) के वर्ग कौन से होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4}), and (S) has classes ({1,3},{2,4}). What are the classes of \(R\cap S\)?
#intersection of relations
#partitions
#equivalence classes
A ({1},{2},{3},{4})
B ({1,2,3,4})
C ({1,4},{2,3})
D ({1,2},{3,4})
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Correct Answer
A. ({1},{2},{3},{4})
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ होंगे जब वे दोनों संबंधों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ कोई दो अलग तत्व दोनों विभाजनों में एक साथ नहीं हैं। / Here no two distinct elements are together in both partitions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल एकल वर्ग बचेंगे। / Therefore all classes are singleton classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4},{5,6}) हैं और (S) के वर्ग ({1,2,3,4},{5,6}) हैं। कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4},{5,6}), and (S) has classes ({1,2,3,4},{5,6}). Which statement is correct?
#refinement
#subset of relations
#equivalence classes
A \(R\subseteq S\)
B \(S\subseteq R\)
C (R=S)
D दोनों संबंध रिक्त हैं / Both relations are empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R\subseteq S\)
Step 1
Concept
(S) ने (R) के दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) को मिलाकर बड़ा वर्ग बनाया है। / (S) merges the two (R)-classes ({1,2}) and ({3,4}) into a larger class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) के अंदर के सभी युग्म (S) में मौजूद रहेंगे। / Therefore every pair inside an (R)-class remains inside an (S)-class.
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\subseteq S\) सही है। / Hence \(R\subseteq S\).
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समतल के बिंदुओं पर मूलबिंदु से समान दूरी वाला संबंध किस प्रकार के तुल्यता वर्ग बनाता है?
For points in the plane, what kind of equivalence classes are formed by the relation of having the same distance from the origin?
#geometry
#circles
#equivalence classes
A मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
B सभी सीधी रेखाएँ / All straight lines
C केवल (x)-अक्ष / Only the (x)-axis
D केवल एकल बिंदु / Only singleton points
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Correct Answer
A. मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्त / Circles centered at the origin
Step 1
Concept
मूलबिंदु से समान दूरी का अर्थ एक निश्चित त्रिज्या है। / Having the same distance from the origin means having a fixed radius.
Step 2
Why this answer is correct
निश्चित त्रिज्या वाले सभी बिंदु मूलबिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points with a fixed radius form a circle centered at the origin.
Step 3
Exam Tip
ज्यामितीय संबंधों में तुल्यता वर्ग अक्सर आकृतियों के रूप में दिखते हैं। / In geometric relations, equivalence classes often appear as shapes.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), which statement is correct?
#intersection of classes
#equivalence classes
#partition
A ([a]=[b]=[c])
B तीनों वर्ग अलग-अलग हैं / The three classes are distinct
C तीनों वर्ग रिक्त हैं / The three classes are empty
D केवल ([a]=[b]), पर ([c]) अलग है / Only ([a]=[b]), but ([c]) is different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b]=[c])
Step 1
Concept
तीनों वर्गों में कोई एक समान तत्व है। / The three classes share at least one common element.
Step 2
Why this answer is correct
दो तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली न हो तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes have non-empty intersection, they are equal.
Step 3
Exam Tip
यही बात तीनों पर लागू होगी, इसलिए तीनों वर्ग समान हैं। / Applying this to all three classes gives ([a]=[b]=[c]).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,4,5}) और ({2,3}) हैं। कौन सा युग्म (R) में अवश्य नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of relation (R) are ({1,4,5}) and ({2,3}). Which pair will definitely not be in (R)?
#partition
#not related
#equivalence classes
A ((4,2))
B ((1,5))
C ((3,2))
D ((5,1))
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Correct Answer
A. ((4,2))
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के अंदर के तत्व संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation, only elements inside the same class are related.
Step 2
Why this answer is correct
(4) पहले वर्ग में है और (2) दूसरे वर्ग में है। / (4) is in the first class and (2) is in the second class.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के तत्वों का युग्म संबंध में नहीं होगा। / A pair from different classes cannot belong to the relation.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \([a]\cup[b]\) कब एक ही तुल्यता वर्ग होगा?
If (R) is an equivalence relation, when will \([a]\cup[b]\) be a single equivalence class?
#union of classes
#equivalence classes
#partition
A जब ([a]=[b]) / When ([a]=[b])
B जब \([a]\cap[b]=\varnothing\) / When \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C हमेशा / Always
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब ([a]=[b]) / When ([a]=[b])
Step 1
Concept
दो तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Two equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ([a]=[b]), तो उनका संघ भी वही एक वर्ग होगा। / If ([a]=[b]), their union is the same single class.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों का संघ सामान्यतः एक तुल्यता वर्ग नहीं होता। / The union of distinct classes is generally not one equivalence class.
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यदि किसी विभाजन से तुल्यता संबंध बनाया जाए, तो किन तत्वों के बीच संबंध रखा जाता है?
When an equivalence relation is formed from a partition, which elements are related?
#partition to relation
#equivalence classes
#definition
A जो एक ही समूह में हों / Elements that lie in the same block
B जो अलग-अलग समूहों में हों / Elements that lie in different blocks
C केवल सबसे छोटे तत्व / Only the smallest elements
D केवल सबसे बड़े तत्व / Only the largest elements
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Correct Answer
A. जो एक ही समूह में हों / Elements that lie in the same block
Step 1
Concept
विभाजन के हर समूह को एक तुल्यता वर्ग माना जाता है। / Each block of a partition is treated as an equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही समूह के किसी भी दो तत्वों को संबंधित रखा जाता है। / Any two elements in the same block are related.
Step 3
Exam Tip
अलग समूहों के तत्वों के बीच संबंध नहीं जोड़ा जाता। / Elements from different blocks are not related.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), which statement is correct?
#disjoint classes
#equivalence classes
#partition
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B \([a]\cap[b]=[a]\)
C \([a]\cap[b]=[b]\)
D (aRb) अवश्य सही है / (aRb) must be true
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Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or completely disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
जब \([a]\neq[b]\) है, तो वे समान नहीं हैं। / Since \([a]\neq[b]\), they are not equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their intersection is empty.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन नहीं बनता?
Which option does not form a partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#invalid partition
#overlapping blocks
#equivalence classes
A ({1,2},{2,3},{4,5})
B ({1},{2,3},{4,5})
C ({1,2,3},{4,5})
D ({1,5},{2,4},{3})
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Correct Answer
A. ({1,2},{2,3},{4,5})
Step 1
Concept
विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। / In a partition, different blocks must not share an element.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (2) दोनों समूहों ({1,2}) और ({2,3}) में है। / In the first option, (2) appears in both ({1,2}) and ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग आपस में कटते नहीं हैं। / Equivalence classes do not overlap.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) का सही विभाजन दिया है?
Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)?
#valid partition
#equivalence classes
#finite set
A ({1,2},{3,4},{5,6})
B ({1,2,3},{3,4},{5,6})
C ({1,2},{4,5,6})
D \({1,2,3,4,5,6},\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({1,2},{3,4},{5,6})
Step 1
Concept
विभाजन में सभी समूह खाली नहीं होने चाहिए, आपस में कटने नहीं चाहिए और पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / A partition must have non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प के समूह अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / The first option has disjoint blocks covering all of (A).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्गों की सूची हमेशा ऐसे ही सही विभाजन बनाती है। / Equivalence classes always form such a partition.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#grouping
A ({1,3,5},{2},{4})
B ({1,2},{3,4,5})
C ({1,5},{2,3,4})
D ({1,2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,3,5},{2},{4})
Step 1
Concept
(1,3,5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,3,5) are mutually related, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानकर तुल्यता वर्ग जल्दी मिलते हैं। / Identify connected groups from the ordered pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes of the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)?
#identity relation
#singleton classes
#equivalence classes
A ({1},{2},{3},{4})
B ({1,2,3,4})
C ({1,2},{3,4})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({1},{2},{3},{4})
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग एकल तुल्यता वर्ग बनाता है। / Hence each element forms a separate singleton class.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध के वर्गों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of classes in an identity relation equals the number of elements.
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किस विकल्प में तुल्यता संबंध से बने वर्गों का सामान्य गुण सही है?
Which option states a general property of classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#disjointness
#partition property
A दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
B दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद हमेशा पूरा समुच्चय होता है / The intersection of two distinct classes is always the whole set
C हर वर्ग रिक्त होता है / Every class is empty
D हर वर्ग में केवल एक ही तत्व होता है / Every class has exactly one element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है / The intersection of two distinct classes is empty
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय का विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
विभाजन में अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / In a partition, distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्ग कटते दिखें, तो वे अलग नहीं बल्कि समान वर्ग होंगे। / If two classes overlap, they are not distinct; they are equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या ({a,b}={1,2})। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or ({a,b}={1,2}). What are the classes of this relation?
#defined relation
#equivalence classes
#finite set
A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1,2,3},{4})
D ({1},{2},{3},{4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(a=b) से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) relates every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) अलग से आपस में संबंधित किए गए हैं। / The extra condition relates (1) and (2) to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1,2) एक वर्ग बनाते हैं और (3,4) अलग एकल वर्ग रहते हैं। / Hence (1,2) form one class, while (3) and (4) remain singleton classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#grouping
A ({1,5},{2,4},{3})
B ({1,2,3},{4,5})
C ({1,4},{2,5},{3})
D ({1,2,3,4,5})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(1) और (5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक वर्ग बनाते हैं। / (1) and (5) are mutually related, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) आपस में संबंधित हैं, और (3) केवल स्वयं से संबंधित है। / (2) and (4) form another class, while (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
संबंध के युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानना वर्ग निकालने की अच्छी विधि है। / Identify connected groups from the given ordered pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((x,y)\in R\), तो निम्न में से कौन सा कथन अवश्य सही है?
If (R) is an equivalence relation and \((x,y)\in R\), which statement must be true?
#class equality
#related elements
#equivalence classes
A ([x]=[y])
B \([x]\cap[y]=\varnothing\)
C \(x\notin[x]\)
D \(y\notin[y]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([x]=[y])
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
\((x,y)\in R\) होने से (x) और (y) का वर्ग समान होगा। / Since \((x,y)\in R\), the classes of (x) and (y) are equal.
Step 3
Exam Tip
संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्गों को अलग-अलग न मानें। / Do not treat equivalence classes of related elements as different.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग संभव हैं?
Which option can be the classes of an equivalence relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?
#valid partition
#equivalence classes
#finite set
A ({1,2},{2,4},{3})
B ({1},{2,3,4})
C ({1,2},{4})
D ({1,2,3,4},{2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ({1},{2,3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों को पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / Equivalence classes must cover the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
({1}) और ({2,3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / ({1}) and ({2,3,4}) are disjoint and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
जिन वर्गों में दोहराव या छूटे हुए तत्व हों, वे सही विभाजन नहीं बनाते। / Blocks that overlap or miss elements cannot be equivalence classes.
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यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है, तो \({[a]:a\in A}\) किसे दर्शाता है?
If (R) is an equivalence relation on a set (A), what does \({[a]:a\in A}\) represent?
#partition
#equivalence classes
#set quotient
A समुच्चय (A) का विभाजन / A partition of set (A)
B रिक्त समुच्चय / Empty set
C केवल एक क्रमित युग्म / Only one ordered pair
D हमेशा \(A\times A\) / Always \(A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समुच्चय (A) का विभाजन / A partition of set (A)
Step 1
Concept
प्रत्येक तत्व किसी न किसी तुल्यता वर्ग में आता है। / Every element belongs to some equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तुल्यता वर्ग आपस में नहीं कटते और मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। / Distinct equivalence classes are disjoint and together cover (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी तुल्यता वर्गों का संग्रह (A) का विभाजन कहलाता है। / Hence the collection of all equivalence classes is a partition of (A).
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किस विकल्प में दिए समूह \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का सही विभाजन बनाते हैं?
Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#partition
#disjoint sets
#equivalence classes
A ({1,2},{2,3},{4,5})
B ({1,3,5},{2,4})
C ({1,2,3},{5})
D \({1,2,3,4,5},\varnothing\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ({1,3,5},{2,4})
Step 1
Concept
विभाजन में समूह खाली नहीं होते और आपस में नहीं कटते। / A partition has non-empty blocks that do not overlap.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3,5}) और ({2,4}) अलग हैं और मिलकर पूरा समुच्चय देते हैं। / ({1,3,5}) and ({2,4}) are disjoint and cover the whole set.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के वर्ग हमेशा सही विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes always form a valid partition.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb) गलत है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb) is false, which statement about ([a]) and ([b]) is correct?
#equivalence classes
#disjoint classes
#not related
A वे अलग-अलग हैं / They are disjoint
B वे समान हैं / They are equal
C दोनों रिक्त हैं / Both are empty
D दोनों पूरा समुच्चय हैं / Both are the whole set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे अलग-अलग हैं / They are disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) संबंधित नहीं हैं, तो वे एक ही वर्ग में नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, they cannot be in the same class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उनके वर्ग अलग-अलग होंगे और उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their classes are disjoint.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के वर्ग ({p,q,r}) और ({s}) हैं, तो संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
If an equivalence relation has classes ({p,q,r}) and ({s}), how many ordered pairs are in the relation?
#counting pairs
#equivalence classes
#partition
A (4)
B (9)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
प्रत्येक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Within each equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
({p,q,r}) से \(3^2=9\) और ({s}) से \(1^2=1\) युग्म मिलते हैं। / ({p,q,r}) contributes \(3^2=9\) pairs and ({s}) contributes \(1^2=1\) pair.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+1=10) होंगे। / The total number of pairs is (9+1=10).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) दिया है। इसके तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) is given. What are its equivalence classes?
#finite relation
#equivalence classes
#singleton class
A ({1,4},{2},{3})
B ({1,2},{3,4})
C ({1,3},{2,4})
D ({1,2,3,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,4},{2},{3})
Step 1
Concept
(1) और (4) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग बनाते हैं। / (1) and (4) are related to each other, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (3) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
संबंध से वर्ग बनाते समय परस्पर जुड़े तत्वों को एक समूह में रखें। / Group mutually related elements together.
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यदि किसी तुल्यता संबंध (R) में \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If an equivalence relation (R) satisfies \([x]\cap[y]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#equivalence classes
#intersection
#partition property
A ([x]=[y])
B ([x]) और ([y]) हमेशा अलग हैं / ([x]) and ([y]) are always disjoint
C \([x]=\varnothing\)
D (x) और (y) कभी संबंधित नहीं होंगे / (x) and (y) can never be related
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([x]=[y])
Step 1
Concept
तुल्यता वर्गों का एक मुख्य गुण है कि वे या तो अलग-अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। / A key property of equivalence classes is that they are either disjoint or exactly equal.
Step 2
Why this answer is correct
\([x]\cap[y]\neq\varnothing\) बताता है कि दोनों वर्गों में कम से कम एक समान तत्व है। / \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) means the two classes share at least one element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों वर्ग समान होंगे; यह विभाजन आधारित प्रश्नों में बहुत उपयोगी नियम है। / Therefore the two classes must be equal; this is a useful rule in partition questions.
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समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर बने तुल्यता संबंध के वर्ग ({a,c}) और ({b,d}) हैं। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
An equivalence relation on \(A=\{a,b,c,d\}\) has classes ({a,c}) and ({b,d}). How many ordered pairs are in this relation?
#partition
#counting pairs
#equivalence classes
A (4)
B (6)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में एक ही वर्ग के प्रत्येक तत्व का उसी वर्ग के हर तत्व से संबंध होता है। / In an equivalence relation, every element of a class is related to every element of the same class.
Step 2
Why this answer is correct
({a,c}) से \(2^2=4\) युग्म और ({b,d}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({a,c}) contributes \(2^2=4\) pairs and ({b,d}) contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) होंगे, अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / The total is (4+4=8), with no cross-class pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#intersection of classes
#equivalence classes
#partition
A ([a]=[b])
B \([a]\subset [b]\) ही होगा / \([a]\subset [b]\) must hold
C ([a]) और ([b]) अलग होंगे / ([a]) and ([b]) are disjoint
D (a) और (b) का संबंध नहीं होगा / (a) and (b) are not related
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or identical.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उनका प्रतिच्छेद खाली नहीं है, तो उनमें कोई समान तत्व है। / A non-empty intersection means they share an element.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व होने पर दोनों वर्ग बराबर माने जाते हैं। / Therefore the two classes must be equal.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3\}\) पर तुल्यता संबंध के लिए सही विभाजन नहीं है?
Which option is not a valid partition for an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\)?
#invalid partition
#overlap
#equivalence classes
A ({1},{2},{3})
B ({1,2,3})
C ({1,2},{3})
D ({1,2},{2,3})
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Correct Answer
D. ({1,2},{2,3})
Step 1
Concept
विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। / In a partition, different blocks must not share elements.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) और ({2,3}) दोनों में (2) है, इसलिए वे कट रहे हैं। / ({1,2}) and ({2,3}) both contain (2), so they overlap.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के वर्ग आपस में कट नहीं सकते। / Equivalence classes cannot overlap unless they are equal.
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यदि किसी संबंध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}) और ({d,e}) हैं, तो उस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
If an equivalence relation has equivalence classes ({a,b,c}) and ({d,e}), how many ordered pairs are in the relation?
#counting pairs
#equivalence classes
#partition
A (5)
B (9)
C (13)
D (25)
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Step 1
Concept
एक तुल्यता वर्ग के भीतर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Inside one equivalence class, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b,c}) से \(3^2=9\) युग्म और ({d,e}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The class ({a,b,c}) gives \(3^2=9\) pairs and ({d,e}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (9+4=13) होंगे। / Total pairs are (9+4=13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या (a+b=5)। क्या यह तुल्यता संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or (a+b=5). Is this an equivalence relation?
#finite set
#sum condition
#equivalence classes
A हाँ, वर्ग ({1,4},{2,3}) हैं / Yes, classes are ({1,4},{2,3})
B नहीं, स्वतुल्यता नहीं है / No, reflexivity fails
C नहीं, सममितता नहीं है / No, symmetry fails
D नहीं, कोई युग्म नहीं है / No, there is no pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, वर्ग ({1,4},{2,3}) हैं / Yes, classes are ({1,4},{2,3})
Step 1
Concept
(a=b) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) ensures reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) शर्त उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / The condition (a+b=5) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
जोड़े (1,4) और (2,3) अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / The pairs form the classes ({1,4}) and ({2,3}), so the relation is an equivalence relation.
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किस कथन में तुल्यता वर्गों की सही विशेषता बताई गई है?
Which statement correctly describes equivalence classes?
#equivalence classes
#disjointness
#partition property
A वे हमेशा आपस में कटते हैं / They always overlap
B वे या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं / They are either equal or disjoint
C वे हमेशा रिक्त होते हैं / They are always empty
D वे समुच्चय को पूरा नहीं ढकते / They do not cover the whole set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. वे या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं / They are either equal or disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into classes.
Step 2
Why this answer is correct
दो वर्गों में कोई समान तत्व हो तो दोनों वर्ग समान हो जाते हैं; वरना वे अलग रहते हैं। / If two classes share an element, they become equal; otherwise they are disjoint.
Step 3
Exam Tip
यह गुण विभाजन वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / This idea is central in partition-based questions.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (5) का गुणज हो। इस संबंध में कुल कितने अलग तुल्यता वर्ग होंगे?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is a multiple of (5). How many distinct equivalence classes are there?
#modulo 5
#equivalence classes
#integers
A (3)
B (4)
C (5)
D अनंत / Infinitely many
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Step 1
Concept
(5) से भाग देने पर केवल (0,1,2,3,4) शेष मिल सकते हैं। / Division by (5) gives only remainders (0,1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष वाले पूर्णांक एक वर्ग बनाते हैं। / Integers with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक अनंत हैं, पर शेषों की संख्या (5) है, इसलिए वर्ग भी (5) हैं। / Although integers are infinite, there are only (5) classes.
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