समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\), what are the equivalence classes?
#finite relation
#equivalence classes
#singleton class
A ({1,3},{2},{4})
B ({1,2},{3,4})
C ({1,4},{2,3})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,3},{2},{4})
Step 1
Concept
(1) और (3) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (3) are related to each other, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं। / (2) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय जुड़े हुए तत्वों को समूह में और अकेले तत्वों को एकल वर्ग में रखें। / Connected related elements form groups, while isolated elements form singleton classes.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?
If (R) is an equivalence relation on (A) and (aRb), what is true about the equivalence classes of (a) and (b)?
#equivalence classes
#related elements
#class equality
A वे हमेशा अलग होंगे / They are always different
B वे बराबर होंगे / They are equal
C उनका कोई संबंध नहीं / They are unrelated
D वे रिक्त होंगे / They are empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. वे बराबर होंगे / They are equal
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRb) होने पर ([a]=[b]) होता है। / Therefore (aRb) implies ([a]=[b]).
Step 3
Exam Tip
यदि दो तुल्यता वर्गों में एक भी समान तत्व हो, तो वे पूरी तरह समान होते हैं। / If two equivalence classes overlap, they are actually equal.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are formed?
#modulo 3
#equivalence classes
#remainders
A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2) हैं। / Division by (3) gives possible remainders (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
इन्हीं शेषों के अनुसार वर्ग ({3,6},{1,4},{2,5}) बनते हैं। / The classes are ({3,6},{1,4},{2,5}).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाला संबंध हमेशा शेषों की संख्या के अनुसार वर्ग देता है। / In modulo relations, equivalence classes are based on remainders.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हों। इस संबंध के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both even or both odd. What are the equivalence classes?
#equivalence classes
#parity
#partition
A ({1,3},{2,4})
B ({1,2},{3,4})
C ({1,4},{2,3})
D ({1},{2},{3},{4})
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Correct Answer
A. ({1,3},{2,4})
Step 1
Concept
संबंध समान प्रकृति यानी सम-सम या विषम-विषम पर आधारित है। / The relation groups numbers by the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(1,3) विषम हैं और (2,4) सम हैं, इसलिए दो अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / (1,3) are odd and (2,4) are even, so the two equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्गों को हमेशा ऐसे समूहों में लिखें जिनमें प्रत्येक दो तत्व आपस में संबंधित हों। / Equivalence classes must form non-overlapping groups.
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यदि दो समतुल्यता वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो उनके बारे में क्या सही है?
If two equivalence classes have even one common element, what is correct about them?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
A वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
B वे हमेशा अलग रहेंगे / They will always remain different
C वे दोनों खाली होंगे / Both will be empty
D उनमें केवल दो तत्व होंगे / They will contain only two elements
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Correct Answer
A. वे समान वर्ग होंगे / They will be the same class
Step 1
Concept
समतुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना टूटे भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide a set into complete non-overlapping parts.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं हो सकते और समान होंगे। / If two classes share an element, they cannot be different and must be the same.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों में आंशिक कटाव नहीं होता। / Equivalence classes do not partially overlap.
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किसी समतुल्यता संबंध से बने वर्गों के बारे में सही बात क्या है?
What is correct about classes formed by an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#partition
A वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
B वे हमेशा एक-दूसरे को आधा काटते हैं / They always overlap halfway
C वे कभी खाली नहीं होते और हमेशा पूरे समुच्चय जैसे होते हैं / They are never empty and always equal to the whole set
D वे केवल सबसे छोटे तत्व से बनते हैं / They are formed only from the smallest element
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Correct Answer
A. वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं / They divide the set into separate parts
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान तत्वों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
ये समूह समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / These groups divide the set into separate parts.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्गों को भागों की तरह समझना आसान रहता है। / It is easy to understand equivalence classes as parts of a partition.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो दो समतुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is an equivalence relation, which statement about two equivalence classes is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
A वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से कटते हैं / They always partially overlap
C वे हमेशा खाली होते हैं / They are always empty
D उनमें केवल एक-एक तत्व होता है / They contain exactly one element each
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Correct Answer
A. वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समुच्चय को साफ भागों में बांटता है। / An equivalence relation divides a set into clear blocks.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो वर्गों में या तो वही तत्व होंगे या कोई साझा तत्व नहीं होगा। / So two classes are either the same or have no common element.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के आपसी संबंध को भागों की तरह समझें। / Think of equivalence classes as parts of a partition.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) कितने समतुल्यता वर्ग बनाता है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). How many equivalence classes does (R) form?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#modulo
A (3)
B (2)
C (6)
D (1)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2) हैं। / The possible remainders on division by (3) are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
हर शेषफल एक अलग वर्ग बनाता है। / Each remainder forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
मापांक (n) में प्रायः (n) शेषफल वर्ग मिलते हैं, यदि सभी शेषफल मौजूद हों। / In modulo (n), we usually get (n) remainder classes if all remainders occur.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), what type of relation is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#easy
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्तक नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तकता है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)), ((2,4)) और ((4,2)) दोनों उलटे युग्म हैं। / The non-self pairs occur with their reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग {(1,3)} और {(2,4)} देखकर तुल्यता संबंध पहचानें। / It forms the classes {(1,3)} and {(2,4)}, so it is an equivalence relation.
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तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस रूप में बाँटता है?
An equivalence relation divides a set into what?
#partition
#equivalence classes
#concept
A अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्ग / Distinct disjoint equivalence classes
B केवल एक तत्व / Only one element
C अव्यवस्थित गलत युग्म / Random wrong pairs
D केवल खाली समुच्चय / Only empty set
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Correct Answer
A. अलग-अलग, असंयुक्त तुल्यता वर्ग / Distinct disjoint equivalence classes
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समान प्रकार के तत्वों को एक समूह में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
ये समूह आपस में असंयुक्त होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / These groups are disjoint and together cover the whole set.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग और विभाजन को साथ-साथ याद रखें। / Remember that equivalence classes form a partition.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है और (aRb) नहीं है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation on a set and (aRb) is false, what is true about ([a]) and ([b])?
#equivalence-classes
#disjoint-classes
#conceptual
A वे समान होंगे / They will be equal
B वे अलग-अलग होंगे / They will be disjoint
C उनका प्रतिच्छेद पूरा समुच्चय होगा / Their intersection will be the whole set
D दोनों रिक्त होंगे / Both will be empty
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Correct Answer
B. वे अलग-अलग होंगे / They will be disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में दो तत्व एक ही वर्ग में तभी होते हैं जब वे संबंधित हों। / In an equivalence relation, two elements lie in the same class exactly when they are related.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) असत्य है, इसलिए (a) और (b) एक वर्ग में नहीं हैं। / Since (aRb) is false, (a) and (b) are not in the same class.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes are disjoint.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो सही कथन कौन सा है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which statement is correct?
#equivalence-classes
#partition
#conceptual
A ([a]=[b])
B ([a]) और ([b]) हमेशा अलग होंगे / ([a]) and ([b]) will always be different
C (a) और (b) संबंधित नहीं होंगे / (a) and (b) will not be related
D \([a]\cup[b]=\varnothing\)
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Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or exactly the same.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं रह सकते। / If two classes share even one element, they cannot remain distinct.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने पर ([a]=[b]) होगा। / Therefore \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) implies ([a]=[b]).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक दो तुल्यता वर्गों वाला संबंध कौन सा हो सकता है?
Which relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) can have exactly two equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#mcq
A वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध / Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
B रिक्त संबंध / Empty relation
C केवल ((1,2)) और ((2,1)) वाला संबंध / Relation with only ((1,2)) and ((2,1))
D सभी युग्मों वाला संबंध / Relation containing all pairs
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Correct Answer
A. वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध / Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में वर्ग समुच्चय का पूरा विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a complete partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) और ({3,4}) दो बंद वर्ग हैं और पूरा समुच्चय ढकते हैं। / ({1,2}) and ({3,4}) are two closed classes covering the whole set.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध परावर्ती नहीं और सार्वत्रिक संबंध में केवल एक वर्ग होगा। / The empty relation is not reflexive, and the universal relation has only one class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (4) से छोटे हों या (a=b)। सही तुल्यता वर्ग चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are less than (4) or (a=b). Choose the correct equivalence classes.
#equivalence-classes
#partition
#subset-condition
A ({1,2,3},{4},{5},{6})
B ({1,2},{3,4},{5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1},{2},{3},{4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1,2,3},{4},{5},{6})
Step 1
Concept
(1,2,3) सभी (4) से छोटे हैं, इसलिए वे आपस में संबंधित हैं। / (1,2,3) are all less than (4), so they are mutually related.
Step 2
Why this answer is correct
(4,5,6) केवल (a=b) के कारण अपने आप से संबंधित हैं। / (4,5,6) are related only to themselves through (a=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2,3},{4},{5},{6}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2,3},{4},{5},{6}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) है। (R) में कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\). How many equivalence classes does (R) have?
#equivalence-classes
#partition
#counting
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are related to each other in all directions, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल अपने आप से जुड़ा है, इसलिए वह अलग वर्ग है। / (4) is related only to itself, so it forms another class.
Step 3
Exam Tip
कुल वर्ग ({1,2,3}) और ({4}) हैं, यानी (2) वर्ग। / The classes are ({1,2,3}) and ({4}), so there are (2) classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a) और (b) दोनों (3) से छोटे हों। सही तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both (a) and (b) are less than (3). What are the correct equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#subset-condition
A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1,2,3},{4})
D ({1},{2},{3,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों (3) से छोटे हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are both less than (3), so they lie in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (4) केवल अपने स्वयुग्मों से जुड़े हैं। / (3) and (4) are related only to themselves.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2},{3},{4}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2},{3},{4}).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (a) तथा (b) अलग-अलग तुल्यता वर्गों में हैं, तो (aRb) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation and (a) and (b) lie in different equivalence classes, what is true about (aRb)?
#equivalence-classes
#partition
#conceptual
A (aRb) अवश्य सत्य होगा / (aRb) must be true
B (aRb) अवश्य असत्य होगा / (aRb) must be false
C (aRb) से कोई संबंध नहीं / (aRb) is unrelated
D (aRb) केवल तब सत्य होगा जब (a=b) / (aRb) is true only when (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (aRb) अवश्य असत्य होगा / (aRb) must be false
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into disjoint parts.
Step 2
Why this answer is correct
अलग वर्गों के तत्व एक-दूसरे से संबंधित नहीं होते। / Elements from different classes are not related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग तुल्यता वर्गों में होने पर (aRb) असत्य होगा। / Hence if (a) and (b) are in different equivalence classes, (aRb) is false.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=6)। सही तुल्यता वर्ग चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). Choose the correct equivalence classes.
#sum-relation
#equivalence-classes
#partition
A ({1,2},{3,4,5})
B ({1,5},{2,4},{3})
C ({1,3,5},{2,4})
D ({1,4},{2,5},{3})
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Correct Answer
B. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनेगा। / The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अपने आप से जुड़ा रहेगा क्योंकि (3+3=6) और स्वयुग्म भी शामिल है। / (3) remains with itself because (3+3=6) and self-pairs are included.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं। / Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेषफल मिले। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have the same remainder when divided by (3). How many equivalence classes are formed?
#equivalence-classes
#modulo
#partition
A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल वाले तत्व एक वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Therefore (3) equivalence classes are formed.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#divisibility
#partition
A ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
B ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
C ({1,2,3}) और ({4,5,6}) / ({1,2,3}) and ({4,5,6})
D ({1,6}) और ({2,3,4,5}) / ({1,6}) and ({2,3,4,5})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
Step 1
Concept
(3) के गुणज एक वर्ग में रखे जाएंगे। / Multiples of (3) form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। / (3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) होंगे। / Hence the classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,3,5}) और ({2,4}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of (R) are ({1,3,5}) and ({2,4}). How many pairs will be in (R)?
#equivalence-classes
#counting
#expert
A (13)
B (10)
C (25)
D (7)
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Step 1
Concept
प्रत्येक तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। / All ordered pairs are formed inside each equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या (9+4=13) होगी। / The total number is (9+4=13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के तुल्यता वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं। (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes of (R) are ({1,2}) and ({3,4}). How many ordered pairs are in (R)?
#equivalence-relation
#equivalence-classes
#counting
A (8)
B (4)
C (10)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) से \(2^2=4\) और ({3,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs and ({3,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) तुल्यता संबंध है और इसके वर्ग ({1,3}) तथा ({2,4}) हैं। (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is an equivalence relation with classes ({1,3}) and ({2,4}). How many ordered pairs are in (R)?
#equivalence-relation
#equivalence-classes
#counting
A (8)
B (4)
C (6)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3}) से \(2^2=4\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=6)। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#sum-relation
#partition
A ({1,5},{2,4},{3})
B ({1,2,3},{4,5})
C ({1,4},{2,5},{3})
D ({1,3,5},{2,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,5},{2,4},{3})
Step 1
Concept
(a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनता है। / The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3+3=6) होने पर (3) अपने ही वर्ग में रहता है। / Since (3+3=6), (3) stays in its own class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं। / Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#divisibility
#partition
A ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
B ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
C ({1,2,3}) और ({4,5,6}) / ({1,2,3}) and ({4,5,6})
D ({1,6}) और ({2,3,4,5}) / ({1,6}) and ({2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
Step 1
Concept
(3) के गुणज एक वर्ग में आएंगे। / Multiples of (3) form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। / (3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं। / Hence the two classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) है। इसके तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\). What are its equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#types-of-relations
A ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C ({1,3}) और ({2,4}) / ({1,3}) and ({2,4})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं। / The elements (1,2,3) are mutually related in all directions.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल अपने आप से जुड़ा है। / The element (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध का विभाजन ({1,2,3}) और ({4}) में होता है। / Therefore the partition is ({1,2,3}) and ({4}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are divisible by (2), or both are not divisible by (2). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#parity
#equivalence-classes
A यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({2,4,6},{1,3,5}) हैं / It is an equivalence relation with classes ({2,4,6},{1,3,5})
B यह केवल सममित है / It is only symmetric
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({2,4,6},{1,3,5}) हैं / It is an equivalence relation with classes ({2,4,6},{1,3,5})
Step 1
Concept
हर संख्या अपने जैसे ही विभाज्यता प्रकार में आती है, इसलिए परावर्तन है। / Every number has the same divisibility type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान विभाज्यता प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same divisibility type is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता है और वर्ग सम तथा विषम संख्याओं के बनते हैं। / A chain of the same type remains in that type, so transitivity holds and the classes are even and odd numbers.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) तुल्यता संबंध है। यदि (1R2) और (3) किसी भी अन्य तत्व से संबंधित नहीं है, तो संभावित वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is an equivalence relation. If (1R2) and (3) is not related to any other distinct element, which classes are possible?
#equivalence-classes
#partition
#hard-mcq
A ({1,2},{3},{4})
B ({1,3},{2,4})
C ({1},{2},{3,4})
D ({1,2,3},{4})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3},{4})
Step 1
Concept
(1R2) होने से (1) और (2) एक ही वर्ग में होंगे। / Since (1R2), (1) and (2) must lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) किसी अलग तत्व से संबंधित नहीं है, इसलिए उसका वर्ग ({3}) होगा। / Since (3) is not related to any distinct element, its class is ({3}).
Step 3
Exam Tip
विकल्प A में ये दोनों बातें पूरी हैं और (4) अकेला वर्ग बन सकता है। / Option A satisfies both conditions, with (4) as a singleton class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=5)। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#partition
#sum-relation
A ({1,4}) और ({2,3}) / ({1,4}) and ({2,3})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C ({1,3}) और ({2,4}) / ({1,3}) and ({2,4})
D ({1},{2},{3},{4})
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Correct Answer
A. ({1,4}) और ({2,3}) / ({1,4}) and ({2,3})
Step 1
Concept
(a+b=5) से (1) का संबंध (4) से और (2) का संबंध (3) से बनेगा। / The condition (a+b=5) relates (1) with (4), and (2) with (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) के कारण हर तत्व अपने वर्ग में स्वयं भी शामिल है। / The condition (a=b) keeps each element in its own class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,4}) and ({2,3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेषफल मिले। तुल्यता वर्ग कौन से होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have the same remainder when divided by (3). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#modulo
#types-of-relations
A ({1,4},{2,5},{3,6})
B ({1,2,3},{4,5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,6},{2,5},{3,4})
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Correct Answer
A. ({1,4},{2,5},{3,6})
Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर समान शेषफल वाले तत्व साथ रखे जाते हैं। / Elements with the same remainder on division by (3) are grouped together.
Step 2
Why this answer is correct
(1,4) का शेषफल (1), (2,5) का शेषफल (2), और (3,6) का शेषफल (0) है। / (1,4) have remainder (1), (2,5) have remainder (2), and (3,6) have remainder (0).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना दोहराव के अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into non-overlapping parts.
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