समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) समान सम-विषम प्रकार के हों। इसके तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) have the same parity. What are its equivalence classes?
#equivalence-classes
#parity
#types-of-relations
A ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
B ({1,2,3}) और ({4,5,6}) / ({1,2,3}) and ({4,5,6})
C ({1,2,5}) और ({3,4,6}) / ({1,2,5}) and ({3,4,6})
D ({1,6}) और ({2,3,4,5}) / ({1,6}) and ({2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
Step 1
Concept
समान सम-विषम प्रकार का अर्थ है विषम संख्याएं साथ और सम संख्याएं साथ। / Same parity means odd numbers together and even numbers together.
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) विषम हैं तथा (2,4,6) सम हैं। / (1,3,5) are odd and (2,4,6) are even.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय हर तत्व केवल एक ही वर्ग में आना चाहिए। / While forming equivalence classes, each element must appear in exactly one class.
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तुल्यता संबंध से बने दो तुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about two equivalence classes formed by an equivalence relation?
#equivalence classes
#partition
#concept mcq
A वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से मिलेंगे / They always partially overlap
C वे कभी समान नहीं हो सकते / They can never be identical
D वे हमेशा रिक्त होंगे / They are always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into separate classes.
Step 2
Why this answer is correct
किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। / An element cannot belong partly to two different classes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे। / Hence two classes are either identical or disjoint.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (aRb) तभी जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष हो, तो कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (3), how many equivalence classes are formed?
#equivalence classes
#modulo 3
#partition
A (2)
B (3)
C (4)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। / On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। / The given set contains elements of all three remainder types.
Step 3
Exam Tip
समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है। / Each same-remainder group forms one equivalence class.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b), (4) से विभाज्य हो। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (4). Which is the equivalence class of (1)?
#modulo relation
#equivalence classes
#class 12
A वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
B वे संख्याएँ जिनका शेष (0) हो / Numbers leaving remainder (0)
C सिर्फ (1) / Only (1)
D सभी सम संख्याएँ / All even numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो / Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
Step 1
Concept
(a), (1) से संबंधित है जब (a-1), (4) से विभाज्य हो। / (a) is related to (1) when (a-1) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेष (1) आता है। / This means (a) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग को शेष के आधार पर पहचानना आसान रहता है। / Equivalence classes are easy to identify by remainders.
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उसी संबंध में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?
For the same relation on \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes?
#equivalence classes
#partition
#relations mcq
A ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C ({1,4}) और ({2,3}) / ({1,4}) and ({2,3})
D ({1,2,3,4}) ही / Only ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({1,2,3}) और ({4}) / ({1,2,3}) and ({4})
Step 1
Concept
(1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are mutually connected, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) केवल ((4,4)) से स्वयं से जुड़ा है, इसलिए उसका अलग वर्ग है। / (4) is connected only to itself through ((4,4)), so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े अवयवों को एक समूह में रखें। / While finding equivalence classes, group mutually related elements together.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) से बनने वाले तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?
For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes?
#equivalence classes
#partition
#relations mcq
A ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
B ({1}) और ({2,3}) / ({1}) and ({2,3})
C ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
D ({1,2,3}) ही / Only ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
(1) और (2) एक-दूसरे से संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are related to each other, so they belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय जो अवयव आपस में जुड़े हों उन्हें एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements that are mutually related.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) का संबंध समान शेष (2) से भाग देने पर परिभाषित है, तो (R) कितने वर्ग बनाता है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is defined by having the same remainder when divided by (2), how many classes does (R) form?
#equivalence classes
#modulo 2
#relations
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
(2) से भाग देने पर केवल दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। / When divided by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4) एक वर्ग में और (1,3) दूसरे वर्ग में आएँगे। / (2,4) form one class and (1,3) form another.
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले संबंध में वर्गों की संख्या संभावित शेषों से जुड़ी होती है। / In same-remainder relations, the number of classes is linked to possible remainders.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) से कौन से समतुल्यता वर्ग बनते हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), what equivalence classes are formed by \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\)?
#types-of-relations
#equivalence-classes
#ordered-pairs
A ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
B ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
C ({1}) और ({2,3}) / ({1}) and ({2,3})
D ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों दिशाओं से जुड़े हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / Elements (1) and (2) are related in both directions, so they are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने-आप से जुड़ा है। / Element (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / Therefore the classes are ({1,2}) and ({3}).
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समतुल्यता संबंध से समुच्चय में क्या बनता है?
What does an equivalence relation form in a set?
#types-of-relations
#equivalence-classes
#partition
A समतुल्यता वर्ग / equivalence classes
B केवल रिक्त समुच्चय / only empty set
C केवल एक क्रमित युग्म / only one ordered pair
D केवल असमान अवयव / only unequal elements
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Correct Answer
A. समतुल्यता वर्ग / equivalence classes
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान प्रकार के अवयवों को समूहों में रखता है। / An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
इन समूहों को समतुल्यता वर्ग कहते हैं। / These groups are called equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
ऐसे वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Such classes divide the set into disjoint parts.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly two equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#counting
A (10)
B (15)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (5) अवयवों को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two classes means splitting (5) elements into two non-empty parts.
Step 2
Why this answer is correct
अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^5-2=30\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। / There are \(2^5-2=30\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(\frac{30}{2}=15\) है। / Hence the number is \(\frac{30}{2}=15\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) iff \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are formed?
#relations
#modulo
#equivalence-classes
#expert
A (2)
B (3)
C (4)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(A) में (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) तीनों आते हैं। / In (A), all three remainders (0,1,2) occur modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग हैं ({3}), ({1,4}), और ({2,5})। / The classes are ({3}), ({1,4}), and ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
केवल उन शेषों को गिनें जिनसे समुच्चय में अवयव मिलते हैं। / Count only remainders that actually occur in the set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर समान शेष हो। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) iff (a) and (b) leave the same remainder on division by (2). How many equivalence classes are formed?
#relations
#equivalence-classes
#parity
#class12
A (2)
B (3)
C (6)
D (1)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
समान शेष का अर्थ यहां समान समता है। / Same remainder here means same parity.
Step 2
Why this answer is correct
एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3,5}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4,6}) का बनेगा। / One class is ({1,3,5}) and the other is ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
शेषफल की संख्या अक्सर वर्गों की संख्या बताती है, पर खाली वर्ग न गिनें। / The number of possible remainders often gives the number of classes, but do not count empty classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक तीन समतुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly three equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#expert
A (15)
B (20)
C (25)
D (30)
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Step 1
Concept
पांच अवयवों को तीन वर्गों में बांटने के आकार (3,1,1) या (2,2,1) हो सकते हैं। / Splitting five elements into three classes can have sizes (3,1,1) or (2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
(3,1,1) के लिए \(\binom{5}{3}=10\) और (2,2,1) के लिए \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) तरीके हैं। / For (3,1,1), there are \(\binom{5}{3}=10\) ways; for (2,2,1), there are \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) ways.
Step 3
Exam Tip
कुल (10+15=25) संबंध होंगे। / Total equivalence relations are (10+15=25).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many equivalence relations have exactly two equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#counting
A (6)
B (7)
C (8)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (4) अवयवों को दो अरिक्त असंयुक्त भागों में बांटना। / Exactly two classes means partitioning (4) elements into two non-empty disjoint parts.
Step 2
Why this answer is correct
कुल अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^4-2=14\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। / There are \(2^4-2=14\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(\frac{14}{2}=7\) होगी। / Therefore the count is \(\frac{14}{2}=7\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो कौन सा युग्म (R) में नहीं होगा?
If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair will not be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#not related
A ((2,3))
B ((1,2))
C ((4,3))
D ((2,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((2,3))
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनते। / In an equivalence relation, pairs are not formed across different classes.
Step 2
Why this answer is correct
(2) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। / (2) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,3)) संबंध में नहीं होगा। / Hence ((2,3)) will not be in the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो (R) में कौन सा युग्म अवश्य होगा?
If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair must be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#mandatory pair
A ((3,4))
B ((1,3))
C ((2,4))
D ((1,4))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((3,4))
Step 1
Concept
एक ही समतुल्यता वर्ग के अंदर सभी क्रमित युग्म होते हैं। / Within the same equivalence class, all ordered pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (4) एक ही वर्ग ({3,4}) में हैं। / (3) and (4) are in the same class ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((3,4)) अवश्य संबंध में होगा। / Hence ((3,4)) must belong to the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के सभी समतुल्यता वर्ग एक-एक तत्व वाले हैं, तो (R) में कितने युग्म होंगे?
If all equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are singletons, how many pairs are in (R)?
#relations
#identity relation
#equivalence classes
A 0
B 4
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एक-एक तत्व वाले वर्ग में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / Singleton classes mean each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए केवल चार स्वयं युग्म बनेंगे। / Therefore, only four self-pairs are formed.
Step 3
Exam Tip
यह सर्वसम संबंध है और इसमें (4) युग्म हैं। / This is the identity relation and it has (4) pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के समतुल्यता वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) हैं, तो (R) में कितने युग्म होंगे?
If equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,4}), ({2}), and ({3}), how many pairs are in (R)?
#relations
#equivalence classes
#counting
A 4
B 6
C 8
D 10
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग ({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The class ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
({2}) और ({3}) से (1+1) युग्म मिलते हैं। / The singleton classes ({2}) and ({3}) give (1+1) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+1+1=6) हैं। / Total pairs are (4+1+1=6).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर विभाजन ({{1},{2,3},{4,5}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?
For the partition ({{1},{2,3},{4,5}}) of \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?
#relations
#equivalence classes
#partition
A 5
B 7
C 9
D 25
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
एक तत्व वाले वर्ग से \(1^2=1\) युग्म मिलता है। / The singleton class gives \(1^2=1\) pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो-दो तत्व वाले दोनों वर्गों से \(2^2+2^2=8\) युग्म मिलते हैं। / The two classes with two elements each give \(2^2+2^2=8\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (1+8=9) होंगे। / Total pairs are (1+8=9).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) के सभी समतुल्यता वर्ग एक-एक तत्व वाले हैं, तो (R) कौन सा संबंध होगा?
If all equivalence classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are singletons, what relation is (R)?
#relations
#identity relation
#equivalence classes
A सर्वसम संबंध / Identity relation
B सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
C रिक्त संबंध / Empty relation
D केवल सममित नहीं / Not symmetric only
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Correct Answer
A. सर्वसम संबंध / Identity relation
Step 1
Concept
एक-एक तत्व वाले वर्ग का अर्थ है कि कोई अलग तत्व आपस में संबंधित नहीं है। / Singleton classes mean no two distinct elements are related.
Step 2
Why this answer is correct
हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित रहेगा। / Every element is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सर्वसम संबंध होगा। / Hence the relation is the identity relation.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें दो वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं, तो (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
If a relation (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) forms two classes ({1,3}) and ({2,4}), how many pairs will be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#counting
A 4
B 6
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक वर्ग \(2^2=4\) युग्म देता है। / Both classes have (2) elements, so each class gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) हैं। / Total pairs are (4+4=8).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं, तो (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
If the classes of (R) on \(A=\{1,2,3,4\}\) are ({1,2}) and ({3,4}), which pair will not be in (R)?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ((1,3))
B ((1,2))
C ((3,4))
D ((4,3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर युग्म बनते हैं। / In an equivalence relation, pairs are formed only within the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) वर्ग ({1,2}) में है और (3) वर्ग ({3,4}) में है। / (1) is in ({1,2}), while (3) is in ({3,4}).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच ((1,3)) नहीं होगा। / Hence ((1,3)) will not be in the relation.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\), तो (R) से बने समतुल्यता वर्ग कौन से हैं?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what are the equivalence classes formed by (R)?
#relations
#equivalence classes
#relation to partition
A ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
B ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
C ({1},{2},{3})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
(1) और (2) दोनों दिशाओं में संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (2) are related in both directions, so they are in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर विभाजन ({{1,4},{2,3}}) से बने समतुल्यता संबंध में कितने युग्म होंगे?
For the partition ({{1,4},{2,3}}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the equivalence relation formed by it?
#relations
#equivalence classes
#partition
A 4
B 6
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में प्रत्येक वर्ग के भीतर सभी संभव क्रमित युग्म लिए जाते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों वर्गों में (2) तत्व हैं, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+4=8) होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। इससे बनने वाले समतुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). What are the equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#ordered-pairs
#class12
A ({1}) और ({2,3}) / ({1}) and ({2,3})
B ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
C ({1,3}) और ({2}) / ({1,3}) and ({2})
D ({1,2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ({1,2}) और ({3}) / ({1,2}) and ({3})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) बताते हैं कि (1) और (2) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) show that (1) and (2) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग ({3}) बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms the separate class ({3}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े हुए अवयवों को एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements connected by the relation.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb) है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is true about ([a]) and ([b])?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#class12
A दोनों वर्ग हमेशा अलग होंगे / the two classes are always different
B \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C ([a]) में (b) नहीं होगा / \(b\notin[a]\)
D ([a]=[b])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. ([a]=[b])
Step 1
Concept
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) belong to the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R={(a,b): |a-b|\) सम है(}) है। कितने समतुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R={(a,b): |a-b|\) is even(}). How many equivalence classes are formed?
#relations
#equivalence-classes
#parity
#class12
A (3)
B (4)
C (1)
D (2)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(|a-b|) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। / (|a-b|) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4}) का बनेगा। / Thus one class is ({1,3}) and the other is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले छिपे हुए समूह पहचानें। / In such questions, identify the hidden grouping first.
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यदि (R) संबंध (A) पर समतुल्यता संबंध है, तो उसके द्वारा बनने वाले वर्गों के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is an equivalence relation on (A), which statement about its equivalence classes is correct?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#class12
A वे हमेशा समान आकार के होते हैं / they always have equal size
B वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैं / they partition (A) into disjoint parts
C वे कभी अकेले अवयव वाले नहीं होते / they are never singleton classes
D वे (A) से बाहर भी अवयव रखते हैं / they contain elements outside (A)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. वे (A) को असंयुक्त भागों में बांटते हैं / they partition (A) into disjoint parts
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / An equivalence relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
इन गुणों से हर अवयव ठीक एक वर्ग में आता है और अलग वर्ग आपस में नहीं मिलते। / These properties make every element belong to exactly one class, and distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
वर्गों का आकार समान होना जरूरी नहीं, इसलिए भागों की बात याद रखें। / The classes need not have equal size, so remember the partition idea.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\), तो (R) किस विभाजन से जुड़ा है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which partition is associated with (R)?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ({{1,3},{2,4}})
B ({{1,2},{3,4}})
C ({{1},{2},{3},{4}})
D ({{1,2,3,4}})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({{1,3},{2,4}})
Step 1
Concept
(1) और (3) आपस में संबंधित हैं। / (1) and (3) are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) आपस में संबंधित हैं। / (2) and (4) are related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए समतुल्यता वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं। / Hence the equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो यह किस विभाजन से जुड़ा समतुल्यता संबंध है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which partition is associated with this equivalence relation?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ({{1,2},{3}})
B ({{1},{2},{3}})
C ({{1,3},{2}})
D ({{1,2,3}})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({{1,2},{3}})
Step 1
Concept
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। / (1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
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