Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(2.4) का पूर्णांक भाग (2) है। / The greatest integer part of (2.4) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे (2) से बड़ी या बराबर और (3) से छोटी होती हैं। / Real numbers with greatest integer part (2) are greater than or equal to (2) and less than (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीमा बिंदुओं को ध्यान से देखें, इसलिए वर्ग ([2,3)) है। / In such questions, check the end points carefully, so the class is ([2,3)).
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (2) by (4) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। / In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए। / While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और (23) का वर्ग उन संख्याओं का है जिनका इकाई अंक (3) है/It is an equivalence relation and the class of (23) contains numbers with unit digit (3)
Step 1
Concept
हर संख्या का इकाई अंक स्वयं के इकाई अंक के समान होता है, इसलिए स्वतुल्य है। / Every number has the same unit digit as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान इकाई अंक की बात उलटी दिशा में भी सही रहती है। / Having the same unit digit works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ तीसरी के समान इकाई अंक रखती हैं, तो वे आपस में भी समान इकाई अंक रखेंगी। / If two numbers have the same unit digit as a third number, they also have the same unit digit as each other.
((1,3)) और ((3,1)) बताते हैं कि (1) और (3) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,3)) and ((3,1)) show that (1) and (3) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से सम्बन्धित हैं, इसलिए वे अलग-अलग एकल वर्ग बनाते हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध को विभाजन में बदलते समय जुड़े हुए अवयवों को एक ही डिब्बे में रखें। / To convert a relation into a partition, put mutually related elements in the same block.
A. हर वर्ग में वे संख्याएँ हैं जो किसी चुनी हुई संख्या से परिमेय अंतर रखती हैं/Each class contains numbers having rational difference from a chosen number
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय अंतर का चिन्ह बदलने पर भी वह परिमेय ही रहता है। / Changing the sign of a rational difference keeps it rational.
Step 3
Exam Tip
चुनी हुई संख्या (a) का वर्ग \({x\in R:x-a\in Q}\) होता है; परीक्षा में वर्ग को इसी तरह समझें। / The class of a chosen number (a) is \({x\in R:x-a\in Q}\); this is the key exam idea.
वर्गों को (3) से भाग देने पर शेष देखें। \(1^2,2^2,4^2\) का शेष (1) है। / Look at the remainders of squares on division by (3). The squares \(1^2,2^2,4^2\) leave remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2\) का शेष (0) है, इसलिए (3) इस वर्ग में नहीं आएगा। / \(3^2\) leaves remainder (0), so (3) is not in this class.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गीय शेष रखने वाली संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Numbers with the same square remainder belong to the same equivalence class.
अब (A) में उन संख्याओं को देखें जिनका (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है; ये (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers whose greatest common divisor with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({2,4}) है और इसमें (2) अवयव हैं। / Hence the equivalence class of (4) is ({2,4}), so it has (2) elements.
(-3) से सम्बन्धित वही संख्याएँ होंगी जिनका परम मान (3) है। / Numbers related to (-3) must have absolute value (3).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में (|x|=3) के हल (x=3) और (x=-3) हैं। / In real numbers, (|x|=3) gives (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले सम्बन्धों में चिन्ह बदलने पर भी मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों संख्याएँ शामिल करें। / In absolute value relations, a sign change may still keep the value equal, so include both numbers.
(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / When (7) is divided by (5), the remainder is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (7) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक वही होंगे जिनका शेष (2) हो। / So all integers related to (7) must have the same remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग सीमित नहीं होता जब मूल समुच्चय (Z) हो, इसलिए पूरी शेष श्रेणी लिखना सही है। / Since the base set is (Z), the equivalence class is not finite; write the complete residue class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (3) से विभाज्य होने और (4) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
समान शेष (2) और (5) दोनों मापांकों पर चाहिए। / The remainders must match modulo (2) and modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह (10) से समान शेष जैसा है, और दिए समुच्चय में (3) जैसा शेष केवल (3) का है। / This is like matching remainders modulo (10), and within the set only (3) has that pair of remainders.
Step 3
Exam Tip
दो मापांकों की संयुक्त शर्त को सावधानी से मिलाएँ। / Combine both modulo conditions carefully.
A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं/(B) contains elements from more than one distinct equivalence class
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। / An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। / If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता। / You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) के गुणज होने की स्थिति और (4) के गुणज होने की स्थिति में समान हों। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
\({1,3}\cap{1,2}={1}\), इसलिए संख्या (1) है। / \({1,3}\cap{1,2}={1}\), so the count is (1).
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) से ठीक एक तत्व चुनने के (2) तरीके हैं और ({3,4}) से कोई भी उपसमुच्चय चुनने के (4) तरीके हैं। / Choose exactly one element from ({1,2}) in (2) ways and any subset of ({3,4}) in (4) ways.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2\cdot4=8\) उपसमुच्चय होंगे। / The class size is \(2\cdot4=8\).
\(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। / \(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। / (2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें। / Compare square remainders, not the numbers themselves.
