यदि किसी तुल्यता संबंध में वर्गों की संख्या (2) है और समुच्चय में (7) तत्व हैं, तो संबंध में युग्मों की न्यूनतम संख्या कितनी हो सकती है?
If an equivalence relation has (2) classes on a (7)-element set, what is the minimum possible number of pairs in the relation?
#minimum pairs
#class sizes
#equivalence relation
A (25)
B (13)
C (37)
D (49)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दो वर्गों के आकारों का योग (7) होगा। / The two class sizes must add to (7).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों के वर्गों का योग न्यूनतम तब होता है जब आकार जितना संभव हो संतुलित हों, यानी (3) और (4)। / The sum of squares is minimized when the sizes are as balanced as possible, (3) and (4).
Step 3
Exam Tip
युग्मों की संख्या \(3^2+4^2=9+16=25\) होगी। / The number of pairs is \(3^2+4^2=25\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5}). Why is the complement of (R) not an equivalence relation?
#complement
#reflexivity failure
#equivalence relation
A क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
B क्योंकि सममितता नहीं है / Because symmetry fails
C क्योंकि कोई युग्म नहीं है / Because it has no pairs
D क्योंकि वह (R) के बराबर है / Because it equals (R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) एक तुल्यता संबंध है, इसलिए हर ((a,a)) उसमें है। / Since (R) is an equivalence relation, every ((a,a)) is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
पूरक में कोई भी ((a,a)) नहीं बचेगा। / Therefore no ((a,a)) remains in the complement.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Without reflexivity, the complement cannot be an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक संबंध कितने युग्मों का होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2},{3},{4,5}). How many pairs are in the complement of (R)?
#complement
#counting pairs
#equivalence relation
A (16)
B (9)
C (25)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में \(2^2+1^2+2^2=9\) युग्म हैं। / (R) contains \(2^2+1^2+2^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
पूरक में (25-9=16) युग्म होंगे। / The complement has (25-9=16) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b=8) या (a=b)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a+b=8) or (a=b). What type of relation is this?
#sum condition
#equivalence relation
#finite set
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=8) से (1,7), (2,6), (3,5) जुड़ते हैं और (4) अकेला रहता है। / The condition (a+b=8) links (1,7), (2,6), (3,5), while (4) remains alone.
Step 3
Exam Tip
ये अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete disjoint classes, so the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,7},{2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), relation (R) has classes ({1,7},{2,6},{3,5},{4}). How many pairs are in (R)?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
A (13)
B (14)
C (10)
D (49)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्गों के आकार (2,2,2,1) हैं। / The class sizes are (2,2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+2^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(2^2+2^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+1=13) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4+1=13).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?
#set difference
#disjoint classes
#equivalence relation
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B ([a]=[b])
C (aRb)
D \([b]\subseteq[a]\)
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Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। / If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.
Step 3
Exam Tip
समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection is empty.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5},{6}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म नहीं होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,3},{4,5},{6}). How many ordered pairs are not in (R)?
#complement counting
#equivalence relation
#ordered pairs
A (22)
B (14)
C (18)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल \(6^2=36\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(6^2=36\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में \(3^2+2^2+1^2=14\) युग्म होंगे। / (R) contains \(3^2+2^2+1^2=14\) pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (36-14=22) युग्म (R) में नहीं होंगे। / Therefore (36-14=22) pairs are not in (R).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\tau(a)=\tau(b)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\tau(a)=\tau(b))?
#divisor function
#number of classes
#equivalence relation
A (4)
B (5)
C (3)
D (10)
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Step 1
Concept
भाजक-संख्या के मान (1,2,3,4) मिलते हैं। / The divisor-count values appearing are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), ({6,8,10}) बनते हैं। / The classes are ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), and ({6,8,10}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग \(\tau\) मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या है। / The number of distinct \(\tau\)-values gives the number of classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a+b) (7) से विभाज्य हो या (a=b) वाले संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the relation where (a+b) is divisible by (7) or (a=b), how many ordered pairs are there?
#counting pairs
#sum condition
#equivalence relation
A (12)
B (6)
C (18)
D (36)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,6},{2,5},{3,4}) हैं। / The classes are ({1,6},{2,5},{3,4}).
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) की (4) से विभाज्यता और (2) से विभाज्यता दोनों की स्थिति समान हो। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (4) and by (2). How many equivalence classes are formed?
#divisibility status
#number of classes
#equivalence relation
A (3)
B (2)
C (4)
D (8)
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Step 1
Concept
वर्ग होंगे: न (2) से विभाज्य ({1,3,5,7}), (2) से विभाज्य पर (4) से नहीं ({2,6}), और (4) से विभाज्य ({4,8})। / The classes are not divisible by (2): ({1,3,5,7}), divisible by (2) but not (4): ({2,6}), and divisible by (4): ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीन अलग वर्ग हैं। / These are three non-empty classes.
Step 3
Exam Tip
दो स्थितियों को मिलाकर खाली न होने वाले समूह गिनें। / Count the non-empty groups formed by the combined statuses.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,9)=\gcd(b,9))। कुल कितने क्रमित युग्म संबंध में होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (\gcd(a,9)=\gcd(b,9)). How many ordered pairs are in the relation?
#gcd
#counting pairs
#equivalence relation
A (41)
B (27)
C (21)
D (81)
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Step 1
Concept
वर्ग ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}) और ({9}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}), and ({9}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(6^2+2^2+1^2\) होगी। / The pair count is \(6^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (36+4+1=41) युग्म मिलते हैं। / Thus the total is (36+4+1=41).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य होने की स्थिति और (2) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (3) and the same divisibility status by (2). How many ordered pairs are in this relation?
#divisibility status
#counting pairs
#equivalence relation
A (15)
B (13)
C (17)
D (49)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), ({6}) बनते हैं। / The classes are ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), and ({6}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (9+4+1+1=15) युग्म होंगे। / The total is (9+4+1+1=15).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में ((6,1)), ((5,3)) और कौन सा युग्म अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,6},{3,5},{4}). Along with ((6,1)) and ((5,3)), which pair must be in (R)?
#same class
#ordered pairs
#equivalence relation
A ((2,6))
B ((2,5))
C ((4,6))
D ((1,3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((2,6))
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements of the same equivalence class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (6) दोनों ({1,2,6}) में हैं। / (2) and (6) both lie in ({1,2,6}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,6)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((2,6)) must belong to the relation.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं और (R) ऐसा तुल्यता संबंध है जिसमें (13) युग्म हैं, तो वर्गों के आकार क्या हो सकते हैं?
If (A) has (5) elements and (R) is an equivalence relation with (13) pairs, what can be the class sizes?
#class sizes
#counting relation pairs
#equivalence relation
A (3,2)
B (4,1)
C (2,2,1)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग-आकारों का योग (5) होना चाहिए और उनके वर्गों का योग (13) होना चाहिए। / The class sizes must add to (5), and their squares must add to (13).
Step 2
Why this answer is correct
(3+2=5) और \(3^2+2^2=9+4=13\)। / (3+2=5) and \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग-आकार (3,2) हो सकते हैं। / Thus the class sizes can be (3,2).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (A) में (7) तत्व हैं। (R) में (19) क्रमित युग्म हैं। कौन सा वर्ग-आकार संभव है?
If (R) is an equivalence relation on a (7)-element set and (R) has (19) ordered pairs. Which class-size pattern is possible?
#class size pattern
#counting pairs
#equivalence relation
A (3,3,1)
B (4,2,1)
C (5,1,1)
D (2,2,2,1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (3,3,1)
Step 1
Concept
वर्ग-आकारों के वर्गों का योग युग्मों की संख्या देता है। / The sum of squares of class sizes gives the number of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\) है। / \(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3,3,1) संभव वर्ग-आकार हैं। / Therefore (3,3,1) is a possible class-size pattern.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों है?
On integers, (aRb) holds when \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\). Why is this an equivalence relation?
#cubic congruence
#modulo 7
#equivalence relation
A क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है / Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
B क्योंकि हर पूर्णांक बराबर है / Because all integers are equal
C क्योंकि यह रिक्त संबंध है / Because it is the empty relation
D क्योंकि इसमें सममितता कभी नहीं होती / Because it is never symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित है / Because it is based on the same remainder of \(a^3\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / For every (a), \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष की बराबरी उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of remainders is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / Equality of remainders is transitive, so the relation is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (\max(a,4)=\max(b,4)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\max(a,4)=\max(b,4))?
#maximum function
#number of classes
#equivalence relation
A (3)
B (2)
C (4)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\max(a,4)) के संभावित मान (4,5,6) हैं। / The possible values of (\max(a,4)) are (4,5,6).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग ({1,2,3,4},{5},{6}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,3,4},{5},{6}).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग फलन मानों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है। / The number of distinct function values gives the number of classes.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अवश्य सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion must be true?
#transitivity chain
#equivalence relation
#classes
A (aRd)
B \(a\not R d\)
C \([a]\cap[d]=\varnothing\)
D (dRa) कभी नहीं / (dRa) never
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(aRb) और (bRc) से संक्रमणता द्वारा (aRc) मिलता है। / From (aRb) and (bRc), transitivity gives (aRc).
Step 2
Why this answer is correct
(aRc) और (cRd) से फिर संक्रमणता द्वारा (aRd) मिलता है। / From (aRc) and (cRd), transitivity gives (aRd).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध में एक श्रृंखला के सभी तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, all elements connected in a chain lie in the same class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (10) से समान महत्तम समापवर्तक रखते हों। कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (10). How many equivalence classes are formed?
#gcd
#number of classes
#equivalence relation
A (4)
B (5)
C (3)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\gcd(a,10)) के संभावित मान (1,2,5,10) हैं। / The possible values of (\gcd(a,10)) are (1,2,5,10).
Step 2
Why this answer is correct
इन चार अलग मानों से चार अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / These four distinct values create four equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या देती है। / The number of distinct function values gives the number of classes.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\sin a=\sin b\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when \(\sin a=\sin b\). What type of relation is it?
#function value
#sine
#equivalence relation
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\sin a=\sin a\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin a=\sin a\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sin a=\sin b\), तो \(\sin b=\sin a\), इसलिए सममितता है। / If \(\sin a=\sin b\), then \(\sin b=\sin a\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of function values is transitive, so this is an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (6) और (10) दोनों से विभाज्य हो। यह किस मापांक के समान तुल्यता संबंध है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by both (6) and (10). This is the same as congruence modulo which number?
#lcm
#congruence
#equivalence relation
A (30)
B (60)
C (16)
D (2)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अंतर (6) और (10) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / The difference must be divisible by both (6) and (10).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्या (\operatorname{lcm}(6,10)=30) से विभाज्य होगी। / Such a difference is divisible by (\operatorname{lcm}(6,10)=30).
Step 3
Exam Tip
दो मापांक शर्तों को साथ मिलाते समय लघुत्तम समापवर्त्य लें। / When two modulo conditions must hold together, use the least common multiple.
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यदि (A) के (6) तत्वों पर तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (3,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?
If an equivalence relation on a (6)-element set has class sizes (3,2,1), how many pairs are in the relation?
#class sizes
#counting pairs
#equivalence relation
A (14)
B (12)
C (18)
D (36)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
आकार (m) वाले तुल्यता वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) होंगे। / The total is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध में (14) युग्म होंगे। / Hence the relation contains (14) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)) से बने संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), how many ordered pairs are in the relation defined by (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))?
#gcd
#counting pairs
#equivalence relation
A (22)
B (18)
C (16)
D (64)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
वर्ग ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}) बनते हैं। / The classes are ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}).
Step 2
Why this answer is correct
युग्मों की संख्या \(4^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(4^2+2^2+1^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
कुल (16+4+1+1=22) युग्म होंगे। / The total is (16+4+1+1=22).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से बड़े हों या दोनों (2) से बड़े न हों। इस संबंध से कौन सा विभाजन बनेगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both greater than (2) or both not greater than (2). Which partition is formed by this relation?
#classification
#partition
#equivalence relation
A ({1,2},{3,4,5})
B ({1,3,5},{2,4})
C ({1,2,3},{4,5})
D ({1},{2},{3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3,4,5})
Step 1
Concept
(2) से बड़े न होने वाले तत्व (1,2) हैं। / Elements not greater than (2) are (1,2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़े तत्व (3,4,5) हैं। / Elements greater than (2) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
संबंध इन दो समूहों के आधार पर विभाजन बनाता है। / The relation forms a partition using these two groups.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \(x\in[y]\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \(x\in[y]\), which conclusion is correct?
#class equality
#element in class
#equivalence relation
A ([x]=[y])
B \([x]\cap[y]=\varnothing\)
C \(x\notin[x]\)
D \(y\notin[y]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([x]=[y])
Step 1
Concept
\(x\in[y]\) का अर्थ है कि (x) और (y) संबंधित हैं। / \(x\in[y]\) means (x) is related to (y).
Step 2
Why this answer is correct
संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Related elements have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([x]=[y]) होगा। / Hence ([x]=[y]).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\). How many pairs are in this relation?
#modulo 3
#counting pairs
#equivalence relation
A (12)
B (6)
C (9)
D (18)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संबंध के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। / The classes are ({1,4},{2,5},{3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a+b) is even. How many ordered pairs are in the relation?
#even sum
#counting pairs
#equivalence relation
A (8)
B (4)
C (10)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (8) pairs.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों सम न हों। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) holds when (a) and (b) are both even or both not even. What type of relation is it?
#parity
#classification
#equivalence relation
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर पूर्णांक या तो सम है या सम नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either even or not even, so it is related to itself in its group.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध सममित है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध पूर्णांकों को सम और विषम दो वर्गों में बाँटता है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The relation divides integers into even and odd classes, so it is an equivalence relation.
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उसी विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?
For the same partition ({1,6},{2,5},{3,4}), which pair will not belong to the relation?
#different blocks
#partition
#equivalence relation
A ((1,2))
B ((6,1))
C ((5,2))
D ((4,3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
(1) समूह ({1,6}) में है और (2) समूह ({2,5}) में है। / (1) is in ({1,6}), while (2) is in ({2,5}).
Step 2
Why this answer is correct
वे अलग-अलग समूहों में हैं, इसलिए संबंधित नहीं होंगे। / They are in different blocks, so they are not related.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनता। / No pair is formed between different classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म होगा?
For the partition ({1,6},{2,5},{3,4}) of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), which pair belongs to the corresponding equivalence relation?
#partition
#ordered pair
#equivalence relation
A ((2,5))
B ((1,5))
C ((2,4))
D ((3,6))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((2,5))
Step 1
Concept
विभाजन से बने संबंध में एक ही समूह के तत्वों के युग्म लिए जाते हैं। / In the relation formed from a partition, pairs are taken from within the same block.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (5) समूह ({2,5}) में साथ हैं। / (2) and (5) are together in the block ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,5)) संबंध में होगा। / Therefore ((2,5)) belongs to the relation.
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