Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर संख्या के अंकों का योग स्वयं के अंकों के योग के समान है। / Every number has the same digit sum as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान योग का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Equality of digit sum is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या के समान अंकों का योग रखती हैं, तो वे आपस में भी समान योग रखेंगी। / If two numbers have the same digit sum as a middle number, they have the same digit sum as each other.
(|a-2|=|a-2|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-2|=|a-2|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी का कथन उल्टे क्रम में भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when the order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो दूरियाँ एक ही मध्य दूरी के बराबर हैं, तो वे आपस में भी बराबर होंगी। / If two distances equal the same middle distance, they are equal to each other.
\(\frac{1}{a}\) का चिन्ह स्वयं के चिन्ह के समान होता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{1}{a}\) has the same sign as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान चिन्ह का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Having the same sign is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो प्रतिलोमों के चिन्ह समान हैं, तो पहली और तीसरी का चिन्ह भी समान होगा। / If two reciprocal signs are equal through a middle element, the first and third signs are also equal.
(25) से संबंधित हर पूर्णांक का (25) से अंतर (9) का गुणज होना चाहिए। / Every integer related to (25) must differ from (25) by a multiple of (9).
Step 2
Why this answer is correct
(25) को (9) से भाग देने पर शेष (7) मिलता है, इसलिए समान शेष (7) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में आएँगे। / (25) gives remainder (7) on division by (9), so integers with the same remainder (7) form its class.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में पहले शेष निकालें, फिर उसी शेष वाले तत्व चुनें। / In modulo questions, first find the remainder.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
समान घात वाले सभी अशून्य बहुपद इससे संबंधित होंगे। / All non-zero polynomials of degree (2) are related to it.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय चुने हुए तत्व की मुख्य विशेषता पहचानकर उसी विशेषता वाले तत्व लें। / To find an equivalence class, identify the key property of the chosen element.
\(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान पूर्णांक भाग की समानता उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of the greatest integer value is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याओं का पूर्णांक भाग समान मध्य संख्या से समान है, तो वे आपस में भी समान पूर्णांक भाग रखेंगी। / If two values are equal to the same middle value, they are equal to each other, so transitivity holds.
हर पूर्णांक या तो धनात्मक है या धनात्मक नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either positive or not positive, so it is related to itself within its group.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
इससे दो वर्ग बनते हैं: धनात्मक और धनात्मक न होने वाले पूर्णांक। / It creates two classes: positive integers and non-positive integers.
हर रेखा स्वयं के समान है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every line is identical to itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (l) रेखा (m) के समांतर है, तो (m) भी (l) के समांतर है। / If (l) is parallel to (m), then (m) is parallel to (l).
Step 3
Exam Tip
एक ही दिशा वाली रेखाएँ तीसरी रेखा के साथ भी वही दिशा रखती हैं, इसलिए संक्रमणता है। / Lines with the same direction preserve transitivity, so the relation is an equivalence relation.
हर संख्या में अंकों की संख्या स्वयं के समान होती है। / Every number has the same number of digits as itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो संख्याओं में अंकों की संख्या समान है, तो उल्टे क्रम में भी समान रहेगी। / If two numbers have the same number of digits, the reverse statement is also true.
Step 3
Exam Tip
समान अंकों की संख्या तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / This equality of digit count is transitive, so the relation is an equivalence relation.
हर तत्व अपने जैसे ही समूह में है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every element is in the same group as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो समूह ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The two classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}), so the relation is an equivalence relation.
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a=-(a-b)) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a=-(a-b)) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांकीय अंतरों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two integer differences is also an integer, so transitivity holds.
(15) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (15) से अंतर (7) का गुणज हो। / Integers related to (15) must differ from (15) by a multiple of (7).
Step 2
Why this answer is correct
(15) को (7) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है, इसलिए समान शेष (1) वाले पूर्णांक उसी वर्ग में होंगे। / (15) gives remainder (1) on division by (7), so all integers with remainder (1) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले शेष पहचानना सबसे तेज तरीका है। / First identify the remainder to find the equivalence class quickly.
समान शेष वाले युग्म ही इस संबंध में आते हैं। / Only pairs with the same remainder belong to this relation.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का शेष (1) है और (5) का शेष (2) है, इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं होगा। / (1) has remainder (1), while (5) has remainder (2), so ((1,5)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
विकल्प जांचते समय दोनों संख्याओं को (3) से भाग देकर शेष मिलाएँ। / For each option, compare the remainders after division by (3).
(20) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (20) से अंतर (6) का गुणज हो। / Integers related to (20) must differ from (20) by a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
(20) को (6) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है, इसलिए समान शेष (2) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में होंगे। / (20) gives remainder (2) on division by (6), so all integers with remainder (2) are in its class.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए तत्व का शेष निकालें और उसी शेष वाले सभी तत्व चुनें। / In modulo-class questions, first find the remainder of the given element.
