Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। / \(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। / \(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता। / A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\).
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। / \(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी। / A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain.
समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। / For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। / This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
(|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है। / When (|A|=|B|), an onto function is also bijective.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। / Both sets have (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। / For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है। / Between finite sets of equal size a one-one function is also onto.
बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। / For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। / The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है। / When (|A|=|B|), a one-one function is also onto.
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। / The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें। / For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully.
व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। / For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। / One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है। / Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function.
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। / For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (4!=24) होगी। / The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है। / A bijection uses every image exactly once.
(x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। / For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। / Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए। / Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective.
(x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। / The cubic expression ((x-2)3) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें। / In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly.
यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। / The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है। / Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\).
यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। / If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है। / Adding a fixed integer gives a bijection on integers.
\(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / \(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है। / Hence every real value is attained and the function is bijective.
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है/Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / (5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। / For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है। / A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
