कक्षा परीक्षा में एक छात्र ने लिखा कि (f(x)=x-2 ) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। कौन-सा उदाहरण उसकी गलती सुधारता है?
In a class test, a student wrote that (f(x)=x-2 ) is one-one on all \(\mathbb{R}\). Which example corrects the mistake?
#one-one function
#counterexample
#square function
#class 12
A (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
B (f(2)=4) और (2=2)
C (f(0)=0)
D (f(3)=9)
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Correct Answer
A. (f(2)=f(-2)) और \(2\neq-2\)
Step 1
Concept
गलती सुधारने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें दो अलग निवेश समान निर्गत दें। / To correct the mistake, we need an example where two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), पर \(2\neq-2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), but \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One clear counterexample disproves the whole claim.
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यदि \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:{-2,-1,0,1,2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 ), is (f) one-one?
#one-one function
#restricted domain
#square function
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर / Only at (0)
D निर्धारित नहीं / Not determined
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
इस प्रांत में (1) और (-1) दोनों हैं। / This domain contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), पर \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में विपरीत संख्याएँ हों, \(x^2\) एकैकी नहीं रहेगा। / If the domain contains opposite numbers, \(x^2\) will not be one-one.
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यदि \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:{0,1,2}\to{0,1,4}\) is defined by (f(x)=x-2 ), what type is (f)?
#one-one function
#restricted domain
#square function
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में केवल (0,1,2) हैं। / The given domain contains only (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
इनके निर्गत (0,1,4) हैं और कोई दोहराव नहीं है। / Their outputs are (0,1,4), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) हर प्रांत पर एकैकी नहीं होता, इसलिए दिए गए प्रांत को जरूर देखें। / \(x^2\) is not one-one on every domain, so always check the given domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 ), तो यह एकैकी नहीं है क्योंकि:
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 ), it is not one-one because:
#one-one function
#square function
#non injective
#class 12
A (f(1)=f(-1))
B (f(1)\neq f(-1))
C (f(0)) नहीं है / (f(0)) does not exist
D \(2x^2\) हमेशा ऋणात्मक है / \(2x^2\) is always negative
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Correct Answer
A. (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
वर्ग के कारण (1) और (-1) का वर्ग समान होता है। / Because of the square, (1) and (-1) have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को किसी धन स्थिर से गुणा करने पर भी पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता नहीं आती। / Multiplying a square function by a positive constant still does not make it one-one on all \(\mathbb{R}\).
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निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?
Which of the following functions is not one-one on \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)?
#one-one function
#comparison
#square function
#class 12
A (f(x)=x-8)
B (f(x)=4x+1)
C (f(x)=x-2 )
D (f(x)=-x)
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Correct Answer
C. (f(x)=x-2 )
Step 1
Concept
\(x^2\) में (x) और (-x) समान निर्गत देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (f(3)=9) और (f(-3)=9)। / For example, (f(3)=9) and (f(-3)=9).
Step 3
Exam Tip
बाकी रैखिक फलन हैं जिनमें (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए वे एकैकी हैं। / The other functions are linear with non-zero coefficient of (x), so they are one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x-2 ), जहाँ \(\mathbb{R}^{+}\) धन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), (f(x)=x-2 ), where \(\mathbb{R}^{+}\) is the set of positive real numbers, what type is (f)?
#one-one function
#domain restriction
#square function
#class 12
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
धन वास्तविक संख्याओं में विपरीत ऋणात्मक साथी शामिल नहीं होता। / In positive real numbers, the opposite negative partner is not included.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a,b>0) और \(a^2=b^2\), तो (a=b)। / If (a,b>0) and \(a^2=b^2\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एकैकीता बदल सकती है, इसलिए प्रांत ध्यान से पढ़ें। / Changing the domain can change one-one property, so read the domain carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +1), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), is (f) one-one?
#one-one function
#square function
#non injective
#class 12
A हाँ, क्योंकि (1) जुड़ा है / Yes, because (1) is added
B नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2)) / No, because (f(2)=f(-2))
C हाँ, क्योंकि सभी मान धन हैं / Yes, because all values are positive
D नहीं, क्योंकि (f(0)) नहीं मिलता / No, because (f(0)) is not found
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Correct Answer
B. नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2)) / No, because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
\(x^2\) में विपरीत संख्याएँ समान वर्ग देती हैं। / In \(x^2\), opposite numbers give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=5) और (f(-2)=5), जबकि \(2\neq-2\)। / (f(2)=5) and (f(-2)=5), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
किसी स्थिर संख्या को जोड़ने से वर्ग फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं बनता। / Adding a constant does not make the square function one-one on all \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ), why is it not one-one?
#one-one function
#non injective
#square function
#class 12
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
C क्योंकि (f(0)) अस्तित्व में नहीं है / Because (f(0)) does not exist
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों पर समान निर्गत मिलना चाहिए। / A function is not one-one if two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq-1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq-1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को पूरे वास्तविक समुच्चय पर लेते समय संकेतों की जोड़ी जरूर देखें। / For square functions on all real numbers, always check opposite inputs.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=n-2 ) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 ), which statement is correct?
#one-one-function
#integers
#square-function
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका है / It is identity
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों आते हैं। / The integers include both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए अलग आगतों का समान निर्गत है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so different inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन पूरे पूर्णांक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x-2 ), what is the correct conclusion?
#functions
#rational-numbers
#square-function
#range
A द्वैकीय / Bijective
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ किसी परिमेय के वर्ग के रूप में नहीं मिलतीं। / Negative rational numbers cannot be squares of rational numbers.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों आगतों से समान मान मिल सकता है। / In square functions, positive and negative inputs can give the same value.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is it?
#functions
#square-function
#bijective
#inverse
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है। / Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +1) और \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) को (g(x)=\sqrt{x-1}) से दिया गया है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is (f(x)=x-2 +1) and \(g:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) is (g(x)=\sqrt{x-1}), which statement is correct?
#inverse function
#domain restriction
#square function
A (g) पूरे (f) का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of all of (f)
B (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) परिभाषित नहीं है / (g) is not defined
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Correct Answer
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है / (g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 +1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / (f(x)=x-2 +1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। / If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है। / To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो \(f^{-1}\) फलन क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is \(f^{-1}\) not a function?
#inverse relation
#not one-one
#square function
A क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैं / Because (1) has two preimages (1) and (-1)
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
D क्योंकि (f(0)=1) है / Because (f(0)=1)
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैं / Because (1) has two preimages (1) and (-1)
Step 1
Concept
प्रतिलोम के फलन होने के लिए मूल फलन एकैकी होना चाहिए। / For the inverse to be a function, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक निर्गत के दो आगत हैं। / (f(1)=f(-1)=1), so one output has two inputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम संबंध एक निर्गत को दो मानों से जोड़ देगा और फलन नहीं बनेगा। / Thus the inverse relation assigns two values and is not a function.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) is defined by (f(x)=x-2 ), what type of function is (f)?
#domain restriction
#bijection
#square function
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\geq0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रांत में है। / For every \(y\geq0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) द्विआधारी बन सकता है। / Restricting the domain can make \(x^2\) bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) is defined by (f(x)=x-2 ), which statement about (f) is correct?
#onto function
#not one-one
#square function
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। / Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है। / The codomain strongly affects onto behaviour.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is (f) not one-one?
#one-one function
#counterexample
#square function
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या का प्रतिचित्र है / Because every real number has a preimage
D क्योंकि इसका प्रांत रिक्त है / Because its domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। / A one-one function must give different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to prove that a function is not one-one.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4), तो (f^{-1}({12})) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4), what is (f^{-1}({12}))?
#preimage
#square function
#inverse image
A ({-4,4})
B ({4})
C ({-4})
D ([0,12])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-4,4})
Step 1
Concept
पूर्वछवि के लिए \(x^2-4=12\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2-4=12\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2=16\) मिलता है। / This gives \(x^2=16\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=4) या (x=-4), अतः पूर्वछवि ({-4,4}) है। / Hence (x=4) or (x=-4), so the preimage is ({-4,4}).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[5,\infty)), (f(x)=x-2 +5), तो (f^{-1}(14)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[5,\infty)), (f(x)=x-2 +5), what is (f^{-1}(14))?
#restricted domain
#inverse value
#square function
A (3)
B (-3)
C ({-3,3})
D (9)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(14)) के लिए \(x^2+5=14\) हल करें। / To find (f^{-1}(14)), solve \(x^2+5=14\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.
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यदि (f(x)=x-2 ) और प्रान्त ({-4,-1,0,1,4}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?
If (f(x)=x-2 ) and the domain is ({-4,-1,0,1,4}), how many elements are in the range?
#finite domain
#range
#square function
#counting
A (3)
B (5)
C (4)
D (2)
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Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के वर्ग (16,1,0,1,16) हैं। / The squares of the given elements are (16,1,0,1,16).
Step 2
Why this answer is correct
परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। / Repeated values are written only once in the range.
Step 3
Exam Tip
परास ({0,1,16}) है, इसलिए (3) अवयव हैं। / The range is ({0,1,16}), so it has (3) elements.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +1), तो (f^{-1}({5})) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +1), what is (f^{-1}({5}))?
#preimage
#square function
#inverse image
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-2})
D ([1,5])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
पूर्वछवि के लिए \(x^2+1=5\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2+1=5\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2=4\) मिलता है। / This gives \(x^2=4\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) या (x=-2), अतः पूर्वछवि ({-2,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-2), so the preimage is ({-2,2}).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-2 +1), तो (f^{-1}(10)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)), (f(x)=x-2 +1), what is (f^{-1}(10))?
#restricted domain
#inverse value
#square function
A (3)
B (-3)
C ({-3,3})
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f^{-1}(10)) के लिए \(x^2+1=10\) हल करें। / To find (f^{-1}(10)), solve \(x^2+1=10\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। / \(x^2=9\), so (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 ), तो (f^{-1}({4})) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 ), what is (f^{-1}({4}))?
#preimage
#square function
#inverse image
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-2})
D ([0,4])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
पूर्वछवि के लिए \(x^2=4\) हल करें। / For the preimage, solve \(x^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=2) या (x=-2) मिलता है। / This gives (x=2) or (x=-2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f^{-1}({4})={-2,2}) है। / Therefore (f^{-1}({4})={-2,2}).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), तो (f^{-1}(9)) क्या होगा?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), what is (f^{-1}(9))?
#restricted domain
#inverse value
#square function
A (3)
B (-3)
C ({-3,3})
D (9)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(f^{-1}(9)) के लिए \(x^2=9\) हल करें। / To find (f^{-1}(9)), solve \(x^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक हल (x=3) और (x=-3) होते हैं। / The real solutions are (x=3) and (x=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है। / Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid.
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यदि (f(x)=x-2 ) और प्रान्त ({-3,-2,-1,0,1,2,3}) है, तो परास में कितने अवयव होंगे?
If (f(x)=x-2 ) and the domain is ({-3,-2,-1,0,1,2,3}), how many elements are in the range?
#finite domain
#range
#square function
#counting
A (4)
B (7)
C (3)
D (6)
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Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के वर्ग (9,4,1,0,1,4,9) हैं। / The squares of the given elements are (9,4,1,0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। / Repeated values are written only once in the range.
Step 3
Exam Tip
परास ({0,1,4,9}) है, इसलिए (4) अवयव हैं। / The range is ({0,1,4,9}), so it has (4) elements.
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यदि (f(x)=x-2 ) को (R) से (R) में माना जाए, तो प्रतिलोम फलन क्यों नहीं बनता?
If (f(x)=x-2 ) is considered from (R) to (R), why does an inverse function not exist?
#inverse function
#not one one
#square function
#medium
A क्योंकि यह एक-एकी नहीं है / Because it is not one-one
B क्योंकि यह हर जगह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined everywhere
C क्योंकि इसका मान कभी धनात्मक नहीं होता / Because its value is never positive
D क्योंकि यह स्थिर फलन है / Because it is a constant function
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Correct Answer
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है / Because it is not one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (f(1)=f(-1)=1), जबकि \(1\ne-1\)। / Here (f(1)=f(-1)=1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता। / Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function.
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यदि \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:R\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 ), which statement is correct about (f)?
#onto
#not one one
#square function
#codomain
A यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं / It is onto but not one-one
B यह एक-एकी और आच्छादक है / It is one-one and onto
C यह एक-एकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं / It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) या \(x=-\sqrt{y}\) मिलता है, इसलिए परास पूरा सहप्रान्त है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) or \(x=-\sqrt{y}\) gives an input, so the range equals the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता बदल सकती है। / Changing the codomain can change onto status.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 ), what type of function is (f)?
#restricted domain
#square function
#bijection
#medium
A एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
B एक-एकी नहीं / Not one-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D स्थिर फलन / Constant function
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Correct Answer
A. एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रान्त में है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों है। / Hence the function is both one-one and onto.
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यदि (f(x)=x-2 ), तो (f(x-1)-f(x)) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 ), what is (f(x-1)-f(x))?
#function difference
#square function
#algebra
A (-2x+1)
B (2x-1)
C (1)
D (x-1)
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Correct Answer
A. (-2x+1)
Step 1
Concept
(f(x-1)=(x-1)2 ) और (f(x)=x-2 )। / (f(x-1)=(x-1)2 ) and (f(x)=x-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
अंतर ((x-1)2 -x-2 ) होगा। / The difference is ((x-1)2 -x-2 ).
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\)। / Simplifying gives \(x^2-2x+1-x^2=-2x+1\).
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यदि (f(x)=x-2 +1), तो (f(a-1)) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 +1), what is (f(a-1))?
#function notation
#substitution
#square function
A ((a-1)2 +1)
B \(a^2-1\)
C \(a^2+1\)
D ((a+1)2 )
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Correct Answer
A. ((a-1)2 +1)
Step 1
Concept
(f(a-1)) में (x) की जगह पूरा (a-1) रखें। / In (f(a-1)), replace (x) by the whole expression (a-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\) से ((a-1)2 +1) मिलेगा। / \(x^2+1\) becomes ((a-1)2 +1).
Step 3
Exam Tip
पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखना जरूरी है। / Put the whole expression in brackets.
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यदि (f(x)=2x-2 -1), तो (f(-2)) क्या होगा?
If (f(x)=2x-2 -1), what is (f(-2))?
#negative input
#square function
#function value
A (7)
B (-9)
C (5)
D (9)
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Step 1
Concept
(x=-2) रखें। / Put (x=-2).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=2(-2)2 -1=2\cdot4-1=7)। / (f(-2)=2(-2)2 -1=2\cdot4-1=7).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। / The square of a negative number is positive.
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