Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे/Every horizontal line cuts the graph at most once
Step 1
Concept
Injectivity means the same (y)-value should not come from two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
If any horizontal line cuts the graph twice, the function is not one-one. चरण 1: एक-एकता का अर्थ है कि एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों से न मिले। चरण 2: क्षैतिज रेखा एक निश्चित (y)-मान को दिखाती है। चरण 3: यदि कोई क्षैतिज रेखा दो बार काटती है, तो फलन एक-एक नहीं होगा।
In the inverse relation each image is linked back to its original input.
Step 2
Why this answer is correct
If (f) is one-one, each image has only one original input.
Step 3
Exam Tip
Injectivity is the key condition for the inverse to be a function. चरण 1: प्रतिलोम में हर प्रतिबिंब को उसके मूल आगत से जोड़ा जाता है। चरण 2: यदि (f) एक-एक है, तो हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होगा। चरण 3: प्रतिलोम को फलन बनाने के लिए एक-एकता जरूरी शर्त है।
In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
In such questions first look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। चरण 2: चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें।
For finite sets a function is one-one when second components do not repeat. चरण 1: प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। चरण 2: प्रतिबिंब (a,c,b,d) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में दूसरे अवयवों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है।
Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
One repeated image is enough to break injectivity. चरण 1: निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। चरण 2: \(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। चरण 3: एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है।
The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
Step functions commonly repeat outputs. चरण 1: महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। चरण 2: \(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। चरण 3: सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है।
Therefore \(e^x-e^{-x}\) keeps increasing as (x) increases.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(e^x\) बढ़ता है और \(e^{-x}\) घटता है। चरण 2: इसलिए \(e^x-e^{-x}\) (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
In \(e^x+e^{-x}\), replacing (x) by (-x) gives the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=e+e^{-1}) and (f(-1)=e^{-1}+e), so they are equal.
Step 3
Exam Tip
Functions with even behavior are not one-one on the whole real domain. चरण 1: \(e^x+e^{-x}\) में (x) की जगह (-x) रखने पर वही मान मिलता है। चरण 2: (f(1)=e+e^{-1}) और (f(-1)=e^{-1}+e), इसलिए दोनों बराबर हैं। चरण 3: सम व्यवहार वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते।
As (x) increases, \(x^2+1\) increases and (\ln\(x^2+1\)) also increases.
Step 3
Exam Tip
A suitable domain restriction can make the same rule one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2+1\) बढ़ता है और (\ln\(x^2+1\)) भी बढ़ता है। चरण 3: प्रांत को सही तरह सीमित करने से वही नियम एक-एक बन सकता है।
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) gives the same value for (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (f(1)=\ln2) and (f(-1)=\ln2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
When an even power appears inside, check injectivity carefully. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। चरण 2: इसलिए (f(1)=\ln2) और (f(-1)=\ln2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: अंदर सम घात हो तो एक-एकता को खास ध्यान से जांचें।
A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
Use permutations for counting one-one functions. चरण 1: एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। चरण 3: एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें।
From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\). चरण 1: समान मान मानकर जांच करें। चरण 2: \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। चरण 3: \(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
Same value at different inputs makes the function not one-one. चरण 1: समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। चरण 2: (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2})। चरण 3: अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता।
Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। चरण 3: जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है।
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/(f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Do not decide by degree alone; test special values. चरण 1: एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। चरण 3: बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें।
For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior. चरण 1: एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। चरण 2: जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें।
From \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\), we get \(2x_1+3=2x_2+3\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero. चरण 1: यह रैखिक रूप का फलन है। चरण 2: \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\) से \(2x_1+3=2x_2+3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है।
A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
In such options the fastest method is to look for repeated images. चरण 1: एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। चरण 3: विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है।
A. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Step 1
Concept
Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature. चरण 1: एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। चरण 2: क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। चरण 3: इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है।
The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one. चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1) है। चरण 2: प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। चरण 3: शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है।
It is enough to find two different inputs with the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while \(0\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
For polynomials use factors or special values to test quickly. चरण 1: दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि \(0\neq-3\)। चरण 3: बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें।
For example (f(0)=2) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), while \(0\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
In sums of absolute values look for constant intervals. चरण 1: \(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। चरण 2: उदाहरण के लिए (f(0)=2) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। चरण 3: निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें।
A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too. चरण 1: (2n+1) एक रैखिक नियम है। चरण 2: यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है।
In (n+2), different (n)-values give different values.
Step 2
Why this answer is correct
If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
A simple shift function on natural numbers is one-one. चरण 1: (n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। चरण 2: यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\) होगा। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है।
This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\). चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। चरण 2: एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)।
(1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
For quadratics check points equally distant from the vertex. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) है। चरण 2: (1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। चरण 3: शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है।
A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
A constant function can be one-one only when the domain has a single element. चरण 1: स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो।
This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A linear function with negative slope can also be one-one. चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। चरण 2: \(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है।
In ordered-pair questions quickly check the second components. चरण 1: एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। चरण 2: (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। चरण 3: क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें।
Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
For finite sets a function is one-one when images do not repeat. चरण 1: प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है।
