एक-एक फलन की रेखाचित्र द्वारा जांच के लिए कौन सा नियम सही है?
Which rule is correct for checking a one-one function from its graph?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
A हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बार काटे / Every vertical line cuts the graph twice
B हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at least twice
D रेखाचित्र का वक्र होना जरूरी है / The graph must be curved
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Correct Answer
B. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बार काटे / Every horizontal line cuts the graph at most once
Step 1
Concept
एक-एकता का अर्थ है कि एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों से न मिले। / Injectivity means the same (y)-value should not come from two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा एक निश्चित (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
यदि कोई क्षैतिज रेखा दो बार काटती है, तो फलन एक-एक नहीं होगा। / If any horizontal line cuts the graph twice, the function is not one-one.
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किस स्थिति में \(f:A\to B\) का प्रतिलोम संबंध (f(A)\to A) एक फलन बनेगा?
In which case will the inverse relation of \(f:A\to B\) become a function from (f(A)) to (A)?
#inverse relation
#injective function
#one-one function
#class 12
A जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
B जब (f) स्थिर हो और (A) में कई तत्व हों / When (f) is constant and (A) has many elements
C जब (B) रिक्त हो / When (B) is empty
D जब (f) परिभाषित न हो / When (f) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (f) एक-एक हो / When (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रतिलोम में हर प्रतिबिंब को उसके मूल आगत से जोड़ा जाता है। / In the inverse relation each image is linked back to its original input.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f) एक-एक है, तो हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होगा। / If (f) is one-one, each image has only one original input.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम को फलन बनाने के लिए एक-एकता जरूरी शर्त है। / Injectivity is the key condition for the inverse to be a function.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r,s\}\), तो कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r,s\}\), which image list is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
A (f(p)=1,\ f(q)=2,\ f(r)=3,\ f(s)=4)
B (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7,\ f(s)=8)
C (f(p)=2,\ f(q)=4,\ f(r)=6,\ f(s)=8)
D (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
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Correct Answer
D. (f(p)=3,\ f(q)=5,\ f(r)=3,\ f(s)=7)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
चौथे विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (3) है। / In the fourth option both (p) and (r) have image (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले दोहराए गए प्रतिबिंब को खोजें। / In such questions first look for repeated images.
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यदि \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)\}\), where \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d,e}\), choose the correct statement about (f).
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
A (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
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Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रांत के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,b,d) सभी अलग हैं। / The images (a,c,b,d) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में दूसरे अवयवों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when second components do not repeat.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=|n|) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=|n|), why is (f) not one-one?
#absolute value
#integer function
#counterexample
#one-one function
A क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
B क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
C क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
D क्योंकि (f(1)\neq f(-1)) / Because (f(1)\neq f(-1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान विपरीत पूर्णांकों को समान मान देता है। / Absolute value gives the same value for opposite integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), लेकिन (|2|=2) और (|-2|=2)। / \(2\neq-2\), but (|2|=2) and (|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
एक समान प्रतिबिंब मिलते ही एक-एकता टूट जाती है। / One repeated image is enough to break injectivity.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#greatest integer function
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। / \(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है। / Step functions commonly repeat outputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x-e^{-x}) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x-e^{-x}), what is the nature of (f)?
#exponential function
#increasing function
#one-one function
#expert
A एक-एक नहीं / Not one-one
B स्थिर / Constant
C एक-एक / One-one
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
C. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है और \(e^{-x}\) घटता है। / \(e^x\) increases and \(e^{-x}\) decreases.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x-e^{-x}\) (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / Therefore \(e^x-e^{-x}\) keeps increasing as (x) increases.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=e^x+e^{-x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=e^x+e^{-x}), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#even behavior
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
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Correct Answer
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(e^x+e^{-x}\) में (x) की जगह (-x) रखने पर वही मान मिलता है। / In \(e^x+e^{-x}\), replacing (x) by (-x) gives the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=e+e^{-1}) और (f(-1)=e^{-1}+e), इसलिए दोनों बराबर हैं। / (f(1)=e+e^{-1}) and (f(-1)=e^{-1}+e), so they are equal.
Step 3
Exam Tip
सम व्यवहार वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Functions with even behavior are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln\(x^2+1\)), what is the correct conclusion about (f)?
#restricted domain
#logarithmic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) (x=0) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=0)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। / In the given domain \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^2+1\) बढ़ता है और (\ln\(x^2+1\)) भी बढ़ता है। / As (x) increases, \(x^2+1\) increases and (\ln\(x^2+1\)) also increases.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सही तरह सीमित करने से वही नियम एक-एक बन सकता है। / A suitable domain restriction can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\ln\(x^2+1\)) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\ln\(x^2+1\)), choose the correct statement about (f).
#logarithmic function
#even function
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
C (f) केवल धनात्मक आगतों पर परिभाषित है / (f) is defined only for positive inputs
D (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / (f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
\(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / \(x^2\) gives the same value for (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=\ln2) और (f(-1)=\ln2), जबकि \(1\neq-1\)। / Hence (f(1)=\ln2) and (f(-1)=\ln2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
अंदर सम घात हो तो एक-एकता को खास ध्यान से जांचें। / When an even power appears inside, check injectivity carefully.
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यदि (|A|=5) और (|B|=7) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=5) and (|B|=7), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#permutation
#finite sets
#one-one function
A (35)
B (120)
C (2520)
D (16807)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the correct conclusion about (f)?
#restricted domain
#reciprocal expression
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) ऋणात्मक मान ही देता है / (f) gives only negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
समान मान मानकर जांच करें। / Check by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
\(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। / From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है। / Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\).
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), choose the correct statement about (f).
#reciprocal expression
#counterexample
#one-one function
#expert
A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। / Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2})। / (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता। / Same value at different inputs makes the function not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the nature of (f)?
#increasing function
#cubic function
#one-one function
#class 12
A एक-एक नहीं / Not one-one
B एक-एक / One-one
C स्थिर / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(x^3\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (x) contribute increasing behavior on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x_1^3<x_2^3\) और इसलिए \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\)। / If \(x_1<x_2\), then \(x_1^3<x_2^3\), so \(x_1^3+x_1<x_2^3+x_2\).
Step 3
Exam Tip
जो फलन लगातार बढ़ता है वह एक-एक होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -3x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -3x), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#polynomial
#counterexample
#expert
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) केवल आच्छादक है इसलिए एक-एक भी है / (f) is onto only so it is also one-one
C (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / (f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
D (f) किसी भी वास्तविक संख्या पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined for any real number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / (f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें। / Do not decide by degree alone; test special values.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +kx) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (k) की कौन सी शर्त पर्याप्त है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +kx), which condition on (k) is sufficient for (f) to be one-one?
#parameter
#polynomial function
#one-one function
#class 12
A \(k\ge0\)
B (k<0)
C (k=-3)
D (k) कोई भी वास्तविक संख्या हो / (k) may be any real number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(k\ge0\)
Step 1
Concept
एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। / For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction.
Step 2
Why this answer is correct
जब \(k\ge0\), तब \(x^3\) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / When \(k\ge0\), both \(x^3\) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें। / In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{5}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x+3}{5}), what is the correct conclusion about (f)?
#linear rational form
#one-one function
#class 12
#pyq pattern
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=5) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यह रैखिक रूप का फलन है। / This function is in linear form.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\) से \(2x_1+3=2x_2+3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}\), we get \(2x_1+3=2x_2+3\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है। / Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एक है और \(A=\{p,q,r\}\), तो निम्न में से कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
If \(f:A\to B\) is one-one and \(A=\{p,q,r\}\), which of the following image lists is not possible?
#finite mapping
#image list
#one-one function
#exam practice
A (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
B (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=4)
C (f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7)
D (f(p)=1,\ f(q)=8,\ f(r)=9)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। / A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। / In the first option both (p) and (r) have image (2).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है। / In such options the fastest method is to look for repeated images.
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एक-एक फलन की पहचान के लिए रेखाचित्र से जुड़ा सही नियम कौन सा है?
Which graph-related rule correctly identifies a one-one function?
#horizontal line test
#graph
#one-one function
#class 12
A हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
B हर ऊर्ध्वाधर रेखा रेखाचित्र को दो बिंदुओं पर काटे / Every vertical line cuts the graph at two points
C हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को कम से कम दो बिंदुओं पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at least two points
D रेखाचित्र का परवलय होना जरूरी है / The graph must be a parabola
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर क्षैतिज रेखा रेखाचित्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटे / Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Step 1
Concept
एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। / Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values.
Step 2
Why this answer is correct
क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। / A horizontal line represents a fixed (y)-value.
Step 3
Exam Tip
इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है। / Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -4x+5), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#vertex
#restricted domain
#one-one function
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(3)) इसलिए प्रांत में दोहराव है / (f(1)=f(3)) so repetition is in the domain
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) है। / (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \(x\ge2\) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। / The domain \(x\ge2\) is to the right of the vertex where the function increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +3x-2 ) है, तो (f) के एक-एक न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +3x-2 ), which is the correct proof that (f) is not one-one?
#polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f(0)=f(-3))
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f(-3))
Step 1
Concept
दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। / It is enough to find two different inputs with the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि \(0\neq-3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while \(0\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें। / For polynomials use factors or special values to test quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x+1|+|x-1|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+|x-1|), is (f) one-one?
#absolute value
#sum function
#counterexample
#one-one function
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D फलन परिभाषित नहीं / Function not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
\(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। / On \(-1\le x\le1\), this sum becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए (f(0)=2) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। / For example (f(0)=2) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2), while \(0\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें। / In sums of absolute values look for constant intervals.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=2n+1) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), what is the correct statement about (f)?
#integer function
#linear rule
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर (n) पर समान मान देता है / (f) gives the same value for every (n)
D (f) केवल सम मान देता है / (f) gives only even values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(2n+1) एक रैखिक नियम है। / (2n+1) is a linear rule.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2n_1+1=2n_2+1\), तो \(n_1=n_2\) मिलता है। / If \(2n_1+1=2n_2+1\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=n+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+2), what is the correct statement about (f)?
#natural numbers
#shift function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f(1)=f(2))
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। / In (n+2), different (n)-values give different values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\) होगा। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है। / A simple shift function on natural numbers is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=(k-2)x+5) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(k-2)x+5), when will (f) be one-one?
#parameter
#linear function
#one-one function
#class 12
A जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
B जब (k=2) / When (k=2)
C जब (k=0) ही हो / Only when (k=0)
D कभी नहीं / Never
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब \(k\neq2\) / When \(k\neq2\)
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2).
Step 2
Why this answer is correct
एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / For one-one nature this coefficient must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k-2\neq0\), अर्थात \(k\neq2\)। / Hence \(k-2\neq0\), so \(k\neq2\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+7), which option shows that (f) is not one-one?
#quadratic function
#vertex
#counterexample
#one-one function
A (f(1)=f(3))
B (f(0)=f(1))
C (f(2)=f(4))
D (f(-1)=f(1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। / (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4).
Step 3
Exam Tip
शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है। / For quadratics check points equally distant from the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), what is the correct statement about (f)?
#constant function
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) (x=7) पर ही परिभाषित है / (f) is defined only at (x=7)
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function sends every input to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only when the domain has a single element.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3-2x) है, तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3-2x), what type of function is (f)?
#linear function
#negative slope
#one-one function
#class 12
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। / This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\neq0\), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / Since \(-2\neq0\), different (x)-values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है। / A linear function with negative slope can also be one-one.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), तो सही कथन चुनिए।
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6}\), choose the correct statement.
#ordered pairs
#finite sets
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) का प्रांत रिक्त है / The domain of (f) is empty
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। / Injectivity requires no repetition among images.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। / Both (2) and (3) have image (5).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें। / In ordered-pair questions quickly check the second components.
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यदि \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\) है, जहां \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f=\{(1,4),(2,5),(3,6)\}\), where \(f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}\), what is the correct statement about (f)?
#ordered pairs
#finite function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) में कोई प्रतिबिंब नहीं है / (f) has no image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each input has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। / The images (4,5,6) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है। / For finite sets a function is one-one when images do not repeat.
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