फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 ) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). What is the correct statement about (f)?
#piecewise function
#counterexample
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का परास रिक्त है / The range of (f) is empty
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। / The ranges of the two parts can overlap.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि \(-2\neq3\)। / (f(-2)=4) and (f(3)=4), while \(-2\neq3\).
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है। / In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि \(x\ge0\) से परिभाषित किया गया है। सही कथन चुनिए।
The function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x) if (x<0) and (f(x)=x+1) if \(x\ge0\). Choose the correct statement.
#piecewise function
#range check
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) फलन नहीं है / (f) is not a function
D (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। / For (x<0), the values are negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। / For \(x\ge0\), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें। / For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x+1}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x+1}), what is the correct statement about (f)?
#square root function
#one-one function
#domain
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x+1) बढ़ने पर \(\sqrt{x+1}\) भी बढ़ता है। / As (x+1) increases, \(\sqrt{x+1}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\) से \(x_1+1=x_2+1\), इसलिए \(x_1=x_2\)। / From \(\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}\), we get \(x_1+1=x_2+1\), hence \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#polynomial
#counterexample
#one-one function
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) हर जगह घटता है / (f) is decreasing everywhere
D (f) का मान कभी (1) नहीं होता / The value of (f) is never (1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। / Even-power functions can give the same power value for opposite inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें। / Check even powers carefully on the whole real domain.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln x), what is the nature of (f)?
#logarithmic function
#one-one function
#domain
#class 12
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\ln x\) increases on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\ln x_1=\ln x_2\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(\ln x_1=\ln x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\tan x) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\tan x), choose the correct statement about (f).
#tangent function
#restricted domain
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) का परास केवल ({0}) है / The range of (f) is only ({0})
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। / So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है। / Taking \(\tan x\) on its principal interval makes it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x+\sin x) है, तो (f) के बारे में उचित कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x+\sin x), what is the suitable statement about (f)?
#mixed function
#trigonometric function
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है क्योंकि यह आवर्ती है / (f) is not one-one because it is periodic
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / (f) is defined only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
केवल \(\sin x\) आवर्ती है, लेकिन \(x+\sin x\) आवर्ती नहीं है। / Only \(\sin x\) is periodic, but \(x+\sin x\) is not periodic.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें। / For mixed functions examine the complete rule.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x|+x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|+x), why is (f) not one-one?
#absolute value
#piecewise idea
#one-one function
#class 12
A क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
B क्योंकि हर (x>0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x>0)
C क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
D क्योंकि यह हमेशा ऋणात्मक है / Because it is always negative
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Correct Answer
A. क्योंकि हर (x<0) के लिए (f(x)=0) / Because (f(x)=0) for every (x<0)
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान को भागों में देखें। / Read the absolute value expression piecewise.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (x<0), तो (|x|=-x), इसलिए (|x|+x=0) मिलता है। / If (x<0), then (|x|=-x), so (|x|+x=0).
Step 3
Exam Tip
कई अलग ऋणात्मक आगतों का समान मान (0) होने से फलन एक-एक नहीं है। / Many different negative inputs give the same value (0), so the function is not one-one.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#restricted domain
#one-one function
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) केवल शून्य देता है / (f) gives only zero
D (f) का कोई मान नहीं है / (f) has no value
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) का शिखर (x=1) पर है। / The vertex of (x-2 -2x=(x-1)2 -1) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le1\) पर यह फलन एक दिशा में घटता है, इसलिए एक ही मान दो बार नहीं आता। / On \(x\le1\), the function moves in one direction, so no value repeats.
Step 3
Exam Tip
शिखर के एक ही ओर लिया गया द्विघात फलन एक-एक होता है। / A quadratic restricted to one side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 -2x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह स्थिर है / (f) is constant everywhere
D (f) (x=1) पर परिभाषित नहीं है / (f) is not defined at (x=1)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x=(x-1)2 -1) है। / (x-2 -2x=(x-1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत \(x\ge1\) पर यह फलन बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / On the domain \(x\ge1\), this function increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शिखर के एक ओर सीमित करने पर वह एक-एक हो सकता है। / A quadratic can become one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +2x+3) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+3), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#parabola
#one-one function
#class 12
A यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
B यह एक-एक है / It is one-one
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) है, इसलिए रेखाचित्र एक परवलय है। / (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2), so the graph is a parabola.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत समान मान देते हैं। / Inputs equally distant from (-1) give the same value.
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर परवलय सामान्यतः एक-एक नहीं होता। / A parabola is generally not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=ax+b) है, तो (f) कब एक-एक होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one?
#linear function
#parameter
#one-one function
#class 12
A जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
B जब (a=0) / When (a=0)
C जब (b=0) ही हो / Only when (b=0)
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब \(a\neq0\) / When \(a\neq0\)
Step 1
Concept
रैखिक फलन में (a) ही (x) के परिवर्तन को नियंत्रित करता है। / In a linear function (a) controls the change with (x).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\neq0\), तो \(ax_1+b=ax_2+b\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(a\neq0\), then \(ax_1+b=ax_2+b\) gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
(a=0) होने पर फलन स्थिर बन जाता है और एक-एक नहीं रहता। / If (a=0), the function becomes constant and is not one-one.
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यदि कोई फलन \(f:A\to B\) एक-एक है, तो उसके प्रतिलोम संबंध के बारे में सही कथन क्या है?
If a function \(f:A\to B\) is one-one, what is the correct statement about its inverse relation?
#inverse relation
#invertible function
#one-one function
#class 12
A प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
B प्रतिलोम संबंध कभी फलन नहीं होता / The inverse relation is never a function
C प्रतिलोम संबंध केवल तब बनता है जब (A) रिक्त हो / The inverse relation exists only when (A) is empty
D प्रतिलोम संबंध हमेशा स्थिर होता है / The inverse relation is always constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिलोम संबंध (f(A)) से (A) तक फलन होता है / The inverse relation is a function from (f(A)) to (A)
Step 1
Concept
एक-एक फलन में हर प्रतिबिंब का केवल एक मूल आगत होता है। / In a one-one function every image has only one original input.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उल्टा करने पर (f(A)) के हर तत्व को (A) का एक ही तत्व मिलेगा। / So when reversed, each element of (f(A)) gets exactly one element of (A).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन के लिए एक-एकता मुख्य शर्त है। / Injectivity is the key condition for an inverse to be a function.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो (g) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which statement about (g) is correct?
#composition
#injectivity
#one-one function
#conceptual
A (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
B (g) हमेशा एक-एक होगा / (g) will always be one-one
C (g) हमेशा स्थिर होगा / (g) will always be constant
D (g) फलन नहीं हो सकता / (g) cannot be a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (g) का एक-एक होना जरूरी नहीं है / (g) need not be one-one
Step 1
Concept
\(g\circ f\) केवल (f) के परास पर (g) के व्यवहार को देखता है। / \(g\circ f\) only uses the behavior of (g) on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न हो, फिर भी (f) के परास पर अलग मान दे सकता है। / (g) may fail to be one-one on its full domain but still behave distinctly on the range of (f).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में पूरे प्रांत और प्रयुक्त भाग में अंतर समझें। / In composition questions distinguish the whole domain from the used part.
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यदि \(g\circ f\) एक-एक है, तो निम्न में से कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following statements is definitely true?
#composition
#necessary condition
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (g) एक-एक है / (g) is one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (g) स्थिर है / (g) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)) की एक-एकता में पहला फलन (f) दो अलग आगतों को एक ही मान नहीं दे सकता। / If \(g\circ f\) is one-one, the first function (f) cannot send two different inputs to the same value.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f\(x_1\)=f\(x_2\)), तो (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), इसलिए \(x_1=x_2\)। / If (f\(x_1\)=f\(x_2\)), then (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एक-एक हो तो (f) जरूर एक-एक होता है। / If \(g\circ f\) is one-one, then (f) must be one-one.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एक हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what is the correct statement about \(g\circ f\)?
#composition of functions
#injective function
#one-one function
#class 12
A \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
B \(g\circ f\) कभी एक-एक नहीं होता / \(g\circ f\) is never one-one
C \(g\circ f\) फलन नहीं है / \(g\circ f\) is not a function
D इसका निर्णय असंभव है / It cannot be decided
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(g\circ f\) एक-एक है / \(g\circ f\) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Assume (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एक है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)), और (f) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)), and since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एक-एक फलनों का संयोजन भी एक-एक होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि (|A|=3) और (|B|=5) है, तो (A) से (B) तक एक-एक फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3) and (|B|=5), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#counting functions
#permutation
#one-one function
#class 12
A (60)
B (15)
C (125)
D (8)
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Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के तीन तत्वों के लिए (B) से तीन अलग प्रतिबिंब चुनने होते हैं। / For a one-one function the three elements of (A) need three distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\) होगी। / The number is \(^{5}P_{3}=5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन गिनते समय क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations when counting one-one functions.
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) तक एक-एक फलन की संभावना के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, what is the correct statement about the possibility of a one-one function from (A) to (B)?
#finite sets
#pigeonhole principle
#one-one function
#class 12
A ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
B ठीक (12) फलन संभव हैं / Exactly (12) functions are possible
C ठीक (24) फलन संभव हैं / Exactly (24) functions are possible
D हर फलन एक-एक होगा / Every function will be one-one
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Correct Answer
A. ऐसा एक-एक फलन संभव नहीं है / Such a one-one function is not possible
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के अलग तत्वों को (B) के अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs distinct images in (B) for distinct elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एक-एक फलन असंभव हो सकता है। / If the domain is larger than the codomain, a one-one function may be impossible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#greatest integer function
#one-one function
#counterexample
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) सभी वास्तविक संख्याओं को अलग पूर्णांक देता है / (f) gives a different integer to every real number
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन कई वास्तविक संख्याओं को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many real numbers to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
जैसे (f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq 1.8\)। / For example (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq 1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ी जैसे फलन सामान्यतः एक-एक नहीं होते। / Step-like functions are generally not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 +x) है, तो (f) एक-एक क्यों है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x), why is (f) one-one?
#increasing function
#polynomial
#one-one function
#class 12
A क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
B क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
C क्योंकि फलन स्थिर है / Because the function is constant
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (x) बढ़ने पर \(x^5+x\) बढ़ता है / Because \(x^5+x\) increases as (x) increases
Step 1
Concept
\(x^5\) और (x) दोनों वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हैं। / Both \(x^5\) and (x) increase on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इनका योग भी बढ़ने वाला फलन बनाता है, इसलिए अलग आगत अलग मान देंगे। / Their sum also increases, so different inputs give different values.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन को एक-एक पहचानने में जल्दी मिलती है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), choose the correct statement about (f).
#rational function
#counterexample
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\)) / (f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। / Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें। / Do not assume a rational expression is one-one without testing.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), is (f) one-one?
#reciprocal function
#real domain
#one-one function
#hard
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x>0) के लिए / Only for (x>0)
D केवल (x<0) के लिए / Only for (x<0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रांत में शून्य को हटाया गया है, इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / Zero is removed from the domain, so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक और धनात्मक दोनों भाग मिलकर भी यहां एक-एकता नहीं बिगाड़ते। / Negative and positive parts together do not destroy injectivity here.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal function
#one-one function
#domain
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर भी परिभाषित है / (f) is also defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। / Test the function by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For reciprocal functions always check the domain first.
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यदि \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), choose the correct statement about (f).
#restricted domain
#sine function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\sin x\) नहीं मिलता। / So two different (x)-values do not give the same sine value.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में प्रांत सीमित करना बहुत महत्वपूर्ण होता है। / Restricting the domain is very important for trigonometric functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\sin x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#trigonometric function
#sine
#one-one function
#class 12
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि \(\sin x\) कभी शून्य नहीं होता / Because \(\sin x\) is never zero
C क्योंकि (f) केवल धनात्मक है / Because (f) is only positive
D क्योंकि (f) परिभाषित नहीं है / Because (f) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर दोहराव वाला व्यवहार रखते हैं। / Trigonometric functions repeat values over the full real domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\neq \pi\), लेकिन \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\) है। / \(0\neq \pi\), but \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एक-एक नहीं होते। / Periodic functions are usually not one-one on the whole real domain.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=2^x) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=2^x), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#one-one function
#class 12
#hard
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) शून्य मान देता है / (f) gives zero value
D (f) ऋणात्मक मान देता है / (f) gives negative values
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(2^x\) वास्तविक संख्याओं पर लगातार बढ़ता है। / \(2^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(2^{x_1}=2^{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) होता है। / If \(2^{x_1}=2^{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में आधार (1) से बड़ा हो तो वह एक-एक होता है। / An exponential function with base greater than (1) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कारण सहित कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement with reason.
#cubic polynomial
#counterexample
#one-one function
#class 12
A यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
B यह एक-एक है क्योंकि इसमें \(x^3\) है / It is one-one because it contains \(x^3\)
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एक-एक नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(0)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
केवल घन पद देखकर निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। / Do not decide only by seeing the cubic term.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
तीन अलग आगतों का समान मान मिलना एक-एक होने को तुरंत गलत कर देता है। / Same image for different inputs immediately disproves one-one nature.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{a,b,c,d\}\) तक फलन (f) के लिए (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a) है। सही कथन चुनिए।
For a function (f) from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{a,b,c,d\}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=a). Choose the correct statement.
#finite function
#mapping
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
B (f) एक-एक है / (f) is one-one
C (f) फलन ही नहीं है / (f) is not a function
D (f) केवल (B) पर निर्भर है / (f) depends only on (B)
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Correct Answer
A. (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में (A) के दो अलग तत्व (B) के एक ही तत्व पर नहीं जा सकते। / In a one-one function two different elements of (A) cannot map to the same element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\neq 3\), लेकिन दोनों का प्रतिबिंब (a) है। / Here \(1\neq 3\), but both have image (a).
Step 3
Exam Tip
तालिका वाले प्रश्न में पहले दोहराया प्रतिबिंब खोजें। / In mapping-table questions first look for repeated images.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-2|) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), is (f) one-one?
#absolute value
#one-one function
#counterexample
#class 12
A नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
B हाँ क्योंकि हर मान अलग है / Yes because every value is different
C हाँ क्योंकि परास धनात्मक है / Yes because the range is positive
D नहीं क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / No because (f(2)) is not defined
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Correct Answer
A. नहीं क्योंकि (f(1)=f(3)) / No because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से बराबर दूरी वाले आगत समान मान दे सकते हैं। / In an absolute value function inputs equally distant from the center can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq 3\), लेकिन (f(1)=1) और (f(3)=1) है। / \(1\neq 3\), but (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एक-एक नहीं रहता। / One repeated image is enough to reject one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-3 +1) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 +1), what is the nature of (f)?
#cubic function
#one-one function
#real functions
#hard
A एक-एक / One-one
B एक-एक नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर / Constant
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Correct Answer
A. एक-एक / One-one
Step 1
Concept
घन फलन वास्तविक संख्याओं पर क्रम बनाए रखता है। / The cube function preserves order on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x_1^3+1=2x_2^3+1\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(2x_1^3+1=2x_2^3+1\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल बढ़ते फलन अक्सर एक-एक होते हैं। / Simple increasing odd-power functions are often one-one.
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