यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement for (f).
#restricted domain
#quadratic function
#one-one function
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
D (f) का प्रत्येक मान ऋणात्मक है / Every value of (f) is negative
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Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
यहां प्रांत में केवल (0) और धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। / The domain contains only (0) and positive real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x_1^2=x_2^2\) और \(x_1,x_2\ge 0\), तो \(x_1=x_2\) होगा। / If \(x_1^2=x_2^2\) and \(x_1,x_2\ge 0\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से एक ही नियम वाला फलन एक-एक बन सकता है। / Changing the domain can make the same rule one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-5) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-5), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
#pyq pattern
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) सभी (x) पर स्थिर है / (f) is constant for all (x)
D (f) केवल धनात्मक संख्याओं पर एक-एक है / (f) is one-one only on positive numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
एक-एक फलन में अलग-अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग होने चाहिए। / In a one-one function different inputs must give different images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(3x_1-5=3x_2-5\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(3x_1-5=3x_2-5\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एक-एक होता है। / A linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x+2,&x\ge 1\end{cases}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\x+2,&x\ge 1\end{cases}), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#piecewise function
#range comparison
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
अलग-अलग भागों में समान निर्गत आने की संभावना जाँचें। / Check whether the two pieces can produce the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(-1)= -1) अलग हैं, लेकिन (f(1)=3) तथा (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2) से अभी निर्णय नहीं होगा; सही जाँच में (f(1)=3) और (f\left\(1\right\)=3) वही आगत है, इसलिए दूसरा मान लें (f(2)=4) तथा पहले भाग में (2x+1=4) से \(x=\frac{3}{2}\) आता है जो पहले भाग में नहीं है। अब देखें (f(1)=3) और पहले भाग में (2x+1=3) से (x=1) आता है जो पहले भाग में शामिल नहीं है। दोनों भागों के निर्गत नहीं टकराते, इसलिए (f) एकैकी है। / For (x<1), outputs are less than (3); for \(x\ge 1\), outputs are at least (3).
Step 3
Exam Tip
Each piece is increasing and their output ranges do not overlap, so (f) is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\), तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{a,b,c,d,e,f,g\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one function
#counting functions
#finite sets
A (2520)
B (35)
C (120)
D (16807)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (7) विकल्प हैं। / The first element has (7) choices.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी होने के कारण अगले तत्वों के लिए विकल्प क्रमशः (6,5,4,3) रहेंगे। / Because the function is one-one, the next elements have (6,5,4,3) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(7\times6\times5\times4\times3=2520\) होगी। / Total number is \(7\times6\times5\times4\times3=2520\).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +3x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 +3x), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#increasing function
#restricted domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D हर आगत का निर्गत (0) है / Every input has output (0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 0\) पर \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ते हैं। / For \(x\ge 0\), both \(x^3\) and (3x) increase.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a>b\ge 0\), तो \(a^3>b^3\) और (3a>3b), इसलिए (f(a)>f(b))। / If \(a>b\ge 0\), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
सख्ती से बढ़ने वाला फलन हमेशा एकैकी होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x-2 ), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x-2 ), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#cubic polynomial
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर फलन है / Constant function
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on positive numbers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-3)=0), जबकि \(0\ne -3\)। / (f(0)=0) and (f(-3)=0), while \(0\ne -3\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन दिखने पर भी पहले समान निर्गत वाले सरल मान जाँचें। / Even if a function looks cubic, first check simple values that may give the same output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge 0\x-1,&x<0\end{cases}), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge 0\x-1,&x<0\end{cases}), which statement is correct about (f)?
#one-one function
#piecewise function
#range comparison
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 0\) पर निर्गत \([1,\infty\)) में आता है। / For \(x\ge 0\), outputs lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर निर्गत (\(-\infty,-1\)) में आता है। दोनों भागों के निर्गत अलग-अलग क्षेत्रों में हैं। / For (x<0), outputs lie in (\(-\infty,-1\)). The output ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
जब अलग भागों के निर्गत भी न टकराएँ और हर भाग एकैकी हो, तो पूरा फलन एकैकी होता है। / If each part is one-one and their output ranges do not clash, the whole piecewise function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+(-1)^n), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+(-1)^n), is (f) one-one?
#one-one function
#natural numbers
#parity
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं के छोटे मान रखकर देखें। / Check the rule separately for even and odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(2)=3) अलग हैं, लेकिन (f(3)=2) और (f(1)=0) से निर्णय पूरा नहीं होता; बेहतर युग्म (f(2)=3) और (f(4)=5) भी अलग है, इसलिए नियम की सही जाँच चाहिए। / (f(2k)=2k+1) and (f(2k+1)=2k), so the outputs alternate but do not repeat.
Step 3
Exam Tip
(f(2k)=2k+1) और (f(2k+1)=2k), ये सभी अलग मान देते हैं; अतः यह एकैकी है। / Since no two different natural numbers give the same output, the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#integer function
#increasing
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (n=0) पर परिभाषित है / Defined only at (n=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यदि (m>n), तो \(m^3>n^3\) और (m>n)। / If (m>n), then \(m^3>n^3\) and (m>n).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^3+m>n^3+n\), यानी फलन बढ़ता है। / Therefore, \(m^3+m>n^3+n\), so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर बढ़ता फलन एकैकी होता है। / An increasing function on integers is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), is (f) one-one?
#one-one function
#greatest integer function
#step function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on integers
D सदैव ऋणात्मक है / Always negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) sends many values in an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), जबकि \(1.2\ne 1.8\)। / \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), while \(1.2\ne 1.8\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे चरणदार फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होते। / Such step functions are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), what is correct about (f)?
#one-one function
#square root
#restricted domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यहाँ \(x\ge 0\) है। / Here \(x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 0\) पर \(x^2+1\) बढ़ता है और वर्गमूल भी बढ़ता है। / On \(x\ge 0\), \(x^2+1\) increases and the square root also increases.
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक क्षेत्र पर यह फलन अलग आगतों को अलग निर्गत देता है। / On the non-negative domain, this function gives different outputs for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{x-2 +1}), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#square root
#even expression
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C परिभाषित नहीं है / Not defined
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
मूल के अंदर \(x^2+1\) है, इसलिए (x) और (-x) समान निर्गत देंगे। / The expression inside the root is \(x^2+1\), so (x) and (-x) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt{2}) और (f(-1)=\sqrt{2}), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=\sqrt{2}) and (f(-1)=\sqrt{2}), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पर आधारित सम रूप वाले फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सावधानी से जाँचें। / Functions based on even expressions must be checked carefully on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+4) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=3x-2), तो \(g\circ f\) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+4) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=3x-2), what type is \(g\circ f\)?
#one-one function
#composition
#linear functions
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(x+4)=3(x+4)-2)। / (\(g\circ f\)(x)=g(x+4)=3(x+4)-2).
Step 2
Why this answer is correct
यह (3x+10) है, जो रैखिक फलन है और (x) का गुणांक \(3\ne 0\) है। / This is (3x+10), a linear function with coefficient \(3\ne 0\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे रैखिक संयोजन को एकैकी माना जाएगा। / Such a linear composition is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+1) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=x-2 ), तो \(g\circ f\) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+1) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (g(x)=x-2 ), is \(g\circ f\) one-one?
#one-one function
#composition
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D स्थिर है / Constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=(2x+1)2 )। / (\(g\circ f\)(x)=(2x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) और (x=-1) रखने पर दोनों बार मान (1) आता है। / At (x=0) and (x=-1), the output is (1) both times.
Step 3
Exam Tip
बाहरी फलन \(x^2\) पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं है, इसलिए संयोजन भी यहाँ एकैकी नहीं है। / The outer function \(x^2\) is not one-one on the whole real domain, so this composition is also not one-one here.
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यदि \(g\circ f\) एकैकी है, तो निम्न में से कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If \(g\circ f\) is one-one, which of the following statements is always true?
#one-one function
#composition
#logical implication
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (g) एकैकी है / (g) is one-one
C (f) और (g) दोनों स्थिर हैं / Both (f) and (g) are constant
D (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (g(f(a))=g(f(b))), अर्थात (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 3
Exam Tip
\(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b), अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b), hence (f) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2kx), तो (f) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2kx), is (f) one-one on the whole of \(\mathbb{R}\)?
#one-one function
#quadratic parameter
#whole real domain
A हमेशा एकैकी / Always one-one
B कभी एकैकी नहीं / Never one-one
C केवल (k=0) पर एकैकी / One-one only when (k=0)
D केवल (k=1) पर एकैकी / One-one only when (k=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. कभी एकैकी नहीं / Never one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+k)2 -k-2 ) है। / (f(x)=(x+k)2 -k-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले दो अलग आगत समान निर्गत देंगे। / Two different inputs at equal distance from the vertex give the same output.
Step 3
Exam Tip
कोई भी द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / No quadratic function is one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx-2 ), तो किस स्थिति में (f) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx-2 ), under which condition will (f) be one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#one-one function
#parameter
#quadratic
A हर \(k\ne 0\) पर / For every \(k\ne 0\)
B केवल (k=1) पर / Only for (k=1)
C किसी भी (k) पर नहीं / For no value of (k)
D केवल (k=-1) पर / Only for (k=-1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. किसी भी (k) पर नहीं / For no value of (k)
Step 1
Concept
यदि \(k\ne 0\), तो (f(1)=k) और (f(-1)=k) होगा। / If \(k\ne 0\), then (f(1)=k) and (f(-1)=k).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (k=0), तो फलन स्थिर हो जाएगा। / If (k=0), the function becomes constant.
Step 3
Exam Tip
इसलिए पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(kx^2\) किसी भी (k) के लिए एकैकी नहीं है। / Therefore, \(kx^2\) is not one-one on the whole real domain for any value of (k).
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी नहीं है, तो कौन-सा कथन हमेशा सही होगा?
If \(f:A\to B\) is not one-one, which statement will always be true?
#one-one function
#not injective
#definition
A ऐसे \(a,b\in A\) मिलेंगे जहाँ \(a\ne b\) और (f(a)=f(b)) / There exist \(a,b\in A\) with \(a\ne b\) and (f(a)=f(b))
B हर आगत का अलग निर्गत होगा / Every input will have a different output
C (A) खाली होगा / (A) will be empty
D (B) में कोई तत्व नहीं होगा / (B) will have no element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऐसे \(a,b\in A\) मिलेंगे जहाँ \(a\ne b\) और (f(a)=f(b)) / There exist \(a,b\in A\) with \(a\ne b\) and (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
एकैकी न होना परिभाषा का उल्टा है। / Not one-one is the negation of the one-one definition.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि दो अलग आगत समान निर्गत देते हैं। / It means two distinct inputs give the same output.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में प्रमाण माँगा हो तो ऐसे दो आगत दिखाना काफी होता है। / If proof is needed, showing such two inputs is enough.
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यदि (A) में (3) तत्व और (B) में (6) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (3) elements and (B) has (6) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?
#one-one function
#counting
#permutation
A (120)
B (18)
C (216)
D (6)
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Step 1
Concept
पहले तत्व के लिए (6) विकल्प मिलते हैं। / The first element has (6) choices.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (5) और (4) विकल्प बचते हैं। / The second and third elements have (5) and (4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की संख्या \(6\times5\times4=120\) है। / The number of one-one functions is \(6\times5\times4=120\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{p,q,r,s,t\}\), तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{p,q,r,s,t\}\), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one function
#counting functions
#finite sets
A (120)
B (20)
C (24)
D (625)
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Step 1
Concept
(A) के पहले तत्व के लिए (5) विकल्प हैं। / The first element of (A) has (5) choices.
Step 2
Why this answer is correct
अगले तत्वों के लिए क्रमशः (4,3,2) विकल्प बचते हैं। / The next elements have (4,3,2) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(5\times4\times3\times2=120\) होगी। / Total one-one functions are \(5\times4\times3\times2=120\).
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यदि (A) में (4) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) में एकैकी फलन के बारे में सही कथन क्या है?
If (A) has (4) elements and (B) has (3) elements, what is correct about a one-one function from (A) to (B)?
#one-one function
#finite sets
#pigeonhole idea
A ऐसा फलन संभव है / Such a function is possible
B ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
C हर फलन एकैकी होगा / Every function will be one-one
D केवल स्थिर फलन एकैकी होगा / Only constant function will be one-one
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Correct Answer
B. ऐसा फलन संभव नहीं है / Such a function is not possible
Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के चार अलग निर्गत चाहिए। / A one-one function needs four distinct outputs for four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में केवल तीन तत्व हैं, इसलिए चार अलग निर्गत संभव नहीं। / (B) has only three elements, so four distinct outputs are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब परिभाषा-क्षेत्र बड़ा और सहक्षेत्र छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the domain is larger than the codomain, a one-one function cannot exist.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (5) तत्व हैं, तो (B) में कम से कम कितने तत्व होने चाहिए?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (5) elements, what is the minimum number of elements required in (B)?
#one-one function
#finite sets
#cardinality
A (5)
B (4)
C (1)
D (0)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग तत्वों के निर्गत अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए (B) में कम से कम (5) अलग निर्गतों की जगह चाहिए। / Since (A) has (5) elements, (B) must have at least (5) possible distinct outputs.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी के लिए सहक्षेत्र का आकार परिभाषा-क्षेत्र से कम नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain size cannot be smaller than the domain size for a one-one function.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x+5), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[-1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x+5), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#quadratic
#vertex restriction
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D परिभाषा-क्षेत्र खाली है / Domain is empty
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2 +4)। / (f(x)=(x+1)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge -1\) पर ((x+1)2 ) बढ़ता है। / For \(x\ge -1\), ((x+1)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष से दाईं ओर लिया गया द्विघात फलन एकैकी होता है। / A quadratic function restricted to the right side of its vertex is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 +3x+1), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा युग्म सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-2 +3x+1), then (f) is not one-one. Which pair is correct?
#one-one function
#quadratic
#counterexample
A (0) और \(-\frac{3}{2}\) / (0) and \(-\frac{3}{2}\)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (-1) और (1) / (-1) and (1)
D (2) और (3) / (2) and (3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (0) और \(-\frac{3}{2}\) / (0) and \(-\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
दो अलग मान रखकर समान निर्गत खोजें। / Substitute two different values to find equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / (f(0)=1) and (f\left\(-\frac{3}{2}\right\)=1), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A quadratic function is not one-one on the entire real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 ), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-4 ), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#even power
#domain restriction
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=4) पर परिभाषित है / Defined only at (x=4)
D स्थिर है / Constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
परिभाषा-क्षेत्र में केवल अऋणात्मक मान हैं। / The domain contains only non-negative values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 0\) पर \(x^4\) सख्ती से बढ़ता है। / On \(x\ge 0\), \(x^4\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
क्षेत्र को अऋणात्मक मानों तक सीमित करने से सम घात फलन एकैकी बन जाता है। / Restricting an even power function to non-negative values makes it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 ), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#even power
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल ऋणात्मक आगत लेता है / Takes only negative inputs
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
सम घात में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In even powers, (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=16) और (f(-2)=16), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=16) and (f(-2)=16), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even power functions are generally not one-one on the whole real domain.
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फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|) के बारे में सही कथन क्या है?
What is the correct statement about \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|)?
#one-one function
#absolute value
#restricted domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x\ge 2\) होने पर (|x-2|=x-2)। / When \(x\ge 2\), (|x-2|=x-2).
Step 2
Why this answer is correct
(x-2) रैखिक रूप में बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / The expression (x-2) increases linearly, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान फलन को एक ओर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting an absolute value function to one side can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा युग्म सही प्रमाण देता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|), then (f) is not one-one. Which pair gives a correct proof?
#one-one function
#absolute value
#shifted function
A (1) और (3) / (1) and (3)
B (2) और (3) / (2) and (3)
C (0) और (2) / (0) and (2)
D (4) और (5) / (4) and (5)
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Correct Answer
A. (1) और (3) / (1) and (3)
Step 1
Concept
(x=2) के दोनों ओर समान दूरी वाले मान समान निर्गत देते हैं। / Values equally distant from (x=2) give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\ne 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलन में मध्य बिंदु के दोनों ओर जाँच करें। / For absolute value functions, test points on both sides of the center.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\log x), तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\log x), choose the correct option about (f).
#one-one function
#logarithmic function
#domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D सभी आगतों का निर्गत (1) है / Output is (1) for all inputs
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(\log x\) अपने परिभाषा-क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\log x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\log a=\log b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log a=\log b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन को उसके सही क्षेत्र पर एकैकी माना जाता है। / A logarithmic function is one-one on its valid domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x), which statement is correct about (f)?
#one-one function
#exponential function
#increasing function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on integers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(e^x\) वास्तविक संख्याओं पर सख्ती से बढ़ता है। / \(e^x\) is strictly increasing on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(e^a=e^b\), तो (a=b) होता है। / If \(e^a=e^b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन की बढ़ती प्रकृति एकैकी होने में मदद करती है। / The increasing nature of an exponential function helps prove one-one behavior.
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