Check whether the two pieces can produce the same output.
Step 2
Why this answer is correct
For (x<1), outputs are less than (3); for \(x\ge 1\), outputs are at least (3).
Step 3
Exam Tip
Each piece is increasing and their output ranges do not overlap, so (f) is one-one. चरण 1: अलग-अलग भागों में समान निर्गत आने की संभावना जाँचें। चरण 2: (f(0)=1) और (f(-1)= -1) अलग हैं, लेकिन (f(1)=3) तथा (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=2) से अभी निर्णय नहीं होगा; सही जाँच में (f(1)=3) और (f\left\(1\right\)=3) वही आगत है, इसलिए दूसरा मान लें (f(2)=4) तथा पहले भाग में (2x+1=4) से \(x=\frac{3}{2}\) आता है जो पहले भाग में नहीं है। अब देखें (f(1)=3) और पहले भाग में (2x+1=3) से (x=1) आता है जो पहले भाग में शामिल नहीं है। दोनों भागों के निर्गत नहीं टकराते, इसलिए (f) एकैकी है।
For (x<0), outputs lie in (\(-\infty,-1\)). The output ranges of the two parts do not overlap.
Step 3
Exam Tip
If each part is one-one and their output ranges do not clash, the whole piecewise function is one-one. चरण 1: \(x\ge 0\) पर निर्गत \([1,\infty\)) में आता है। चरण 2: (x<0) पर निर्गत (\(-\infty,-1\)) में आता है। दोनों भागों के निर्गत अलग-अलग क्षेत्रों में हैं। चरण 3: जब अलग भागों के निर्गत भी न टकराएँ और हर भाग एकैकी हो, तो पूरा फलन एकैकी होता है।
For \(x\geq0\), the range of \(x^2+3\) is at least (3).
Step 3
Exam Tip
The two ranges do not overlap and both pieces are one-one on their domains, so the whole function is one-one. चरण 1: (x<0) पर (x+3) का परास (3) से कम है। चरण 2: \(x\geq0\) पर \(x^2+3\) का परास (3) या उससे अधिक है। चरण 3: दोनों परास नहीं टकराते और दोनों भाग अपने क्षेत्र में एकैकी हैं, इसलिए पूरा फलन एकैकी है।
In a piecewise function, the images from different pieces must be compared.
Step 2
Why this answer is correct
The left part gives values less than (2), while the right part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
Since each part is one-one and their image ranges do not overlap, the function is one-one. चरण 1: अलग-अलग भागों से समान छवि मिल सकती है। चरण 2: (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{3}{2}) केवल बाएँ भाग में अलग हैं, पर (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)\neq1); अब (f(-1)=1) और दाएँ भाग में (2x+2=1) देने वाला \(x=-\frac{1}{2}\) क्षेत्र में नहीं है। इस जाँच से टकराव नहीं मिलता। चरण 3: फिर भी सीमा पर (f(0)=2) और बाएँ भाग में (x+2=2) देने वाला (x=0) क्षेत्र में नहीं है, इसलिए दोनों भाग अलग छवि-क्षेत्र रखते हैं और फलन एकैकी है।
