यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा उदाहरण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), then (f) is not one-one. Which example is correct?
#one-one function
#cosine function
#periodicity
A (f(0)=f\(2\pi\))
B (f(0)=f\(\frac{\pi}{2}\))
C (f(0)=0)
D (f\(\pi\)=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(0)=f\(2\pi\))
Step 1
Concept
\(\cos x\) आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\ne 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\ne 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर आवर्तिता एकैकी न होने का मजबूत प्रमाण देती है। / Periodicity on the whole real domain strongly proves the function is not one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), तो (f) की एकैकी स्थिति क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), what is the one-one status of (f)?
#one-one function
#cosine restricted domain
#decreasing function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D हर जगह समान मान देता है / Gives same value everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
सख्ती से घटने वाला फलन दो अलग आगतों को समान निर्गत नहीं देता। / A strictly decreasing function does not give the same output for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता या घटता होना एकैकी पहचानने का अच्छा संकेत है। / Strictly increasing or decreasing behavior is a good sign of one-one nature.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x).
#one-one function
#sine restricted domain
#trigonometry
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (0) पर परिभाषित है / Defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
दिए गए क्षेत्र में \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अलग-अलग (x) मानों पर \(\sin x\) के मान अलग होते हैं। / So different (x)-values give different \(\sin x\)-values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को सीमित क्षेत्र पर एकैकी बनाया जा सकता है। / A trigonometric function can become one-one when its domain is restricted properly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#one-one function
#sine function
#periodic function
A क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
B क्योंकि (f(0)=1) / Because (f(0)=1)
C क्योंकि \(\sin x\) परिभाषित नहीं है / Because \(\sin x\) is not defined
D क्योंकि हर निर्गत अलग है / Because every output is different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\pi\)) / Because (f(0)=f\(\pi\))
Step 1
Concept
त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं। / Trigonometric functions are periodic.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\ne \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\ne \pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन को पूरे वास्तविक क्षेत्र पर सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता। / Periodic functions are generally not one-one on the entire real domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-2x), तो (f) की एकैकी प्रकृति क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7-2x), what is the one-one nature of (f)?
#one-one function
#decreasing linear function
#proof
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=7) पर एकैकी है / One-one only at (x=7)
D स्थिर फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(7-2a=7-2b) से (a=b) मिलता है। / (7-2a=7-2b) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
घटता रैखिक फलन भी एकैकी होता है, क्योंकि वह हर आगत को अलग निर्गत देता है। / A decreasing linear function is also one-one because it gives distinct outputs for distinct inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सा कारण सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -x), then (f) is not one-one. Which reason is correct?
#one-one function
#cubic function
#counterexample
A (f(-1)=f(0)=f(1))
B (f(2)=f(3))
C (f(x)) परिभाषित नहीं है / (f(x)) is not defined
D (f) स्थिर है / (f) is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f(-1)=f(0)=f(1))
Step 1
Concept
(f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1))। / (f(x)=x-3 -x=x(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0), जबकि ये आगत अलग हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
एक ही निर्गत के लिए कई आगत मिलें तो फलन एकैकी नहीं होता। / If many inputs give the same output, the function is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x)?
#one-one function
#increasing function
#cubic plus linear
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C स्थिर है / Constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (a>b)। / Assume (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। / Then \(a^3>b^3\) and (a>b), so \(a^3+a>b^3+b\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन सख्ती से बढ़ता है, तो वह एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -4x+7), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#restricted domain
#quadratic
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D केवल ऋणात्मक निर्गत देता है / Gives only negative outputs
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge 2\) पर ((x-2)2 ) बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देंगे। / For \(x\ge 2\), ((x-2)2 ) increases, so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी बन सकता है। / Restricting a quadratic function to one side of its vertex can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -4x+7), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic symmetry
#counterexample
A क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(2)) परिभाषित नहीं है / Because (f(2)) is not defined
D क्योंकि सभी निर्गत अलग हैं / Because all outputs are different
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(3)) / Because (f(1)=f(3))
Step 1
Concept
द्विघात फलन में सममिति के कारण दो अलग आगत समान निर्गत दे सकते हैं। / A quadratic function can give equal outputs for two different inputs due to symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\ne 3\)। / (f(1)=4) and (f(3)=4), while \(1\ne 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करके या दो मान रखकर एकैकी न होना जल्दी दिखाया जा सकता है। / Completing the square or substituting two values can quickly disprove one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x-2 }), which statement is correct?
#one-one function
#reciprocal square
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D सभी निर्गत ऋणात्मक हैं / All outputs are negative
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
परिभाषा-क्षेत्र में (1) और (-1) दोनों हैं। / The domain contains both (1) and (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले हर वाले फलन में चिह्न बदलने पर निर्गत समान हो सकता है। / In reciprocal square functions, changing the sign can keep the output same.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#reciprocal function
#domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C शून्य पर निर्भर स्थिर फलन है / Constant depending on zero
D हर दो आगत समान निर्गत देते हैं / Every two inputs give same output
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) और (a,b>0) होने से (a=b)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) with (a,b>0) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने वैध क्षेत्र में अलग-अलग आगतों को अलग-अलग निर्गत देता है। / A reciprocal function gives distinct outputs for distinct inputs in its valid domain.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ) एकैकी है या नहीं?
Is the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 ), one-one?
#one-one function
#integer function
#quadratic function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर नहीं परिभाषित / Not defined on positive integers
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों में धन और ऋण दोनों मान आते हैं। / Integers include both positive and negative values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
\(n^2\) जैसे फलन को पूर्णांकों पर एकैकी मानने से पहले विपरीत चिह्न वाले मान जाँचें। / Before calling \(n^2\) one-one on integers, test values with opposite signs.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n+3) के बारे में सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for the function \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=2n+3)?
#one-one function
#integers
#linear function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल सम पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only on even integers
D स्थिर है / Constant
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(2m+3=2n+3) से (m=n) मिलता है। / (2m+3=2n+3) gives (m=n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो एकैकी रहता है। / Even on integers, a linear function with non-zero coefficient is one-one.
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यदि \(A=\{a,b,c\}\) और \(f:A\to A\), \(f=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\), तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(A=\{a,b,c\}\) and \(f:A\to A\), \(f=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\), choose the correct statement about (f).
#one-one function
#finite mapping
#set function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D स्थिर फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
हर आगत का केवल एक निर्गत है। / Every input has exactly one output.
Step 2
Why this answer is correct
निर्गत (b,c,a) अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो आगत समान निर्गत नहीं देते। / The outputs (b,c,a) are all distinct, so no two inputs have the same output.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जल्दी पहचाना जा सकता है। / For finite sets, checking repeated outputs quickly identifies one-one behavior.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\), तो \(f:A\to B\), \(f=\{(1,4),(2,5),(3,4)\}\) के लिए सही कथन कौन-सा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), which statement is correct for \(f:A\to B\), \(f=\{(1,4),(2,5),(3,4)\}\)?
#one-one function
#set mapping
#finite set
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D सभी मान (B) में नहीं हैं / All values are not in (B)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
फलन में हर आगत का एक निर्गत है, इसलिए यह फलन है। / Each input has one output, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का निर्गत (4) है। / Inputs (1) and (3) both have output (4).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों का समान निर्गत मिले तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs share an output, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), तो एकैकी जाँच में (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x-3 +1), what conclusion follows from (f(a)=f(b)) in a one-one test?
#one-one function
#proof method
#cubic function
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=1)
D \(a^2=b\)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखें। / Write (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^3+1=2b^3+1\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(2a^3+1=2b^3+1\) gives \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
यह तरीका लिखित परीक्षा में एकैकी सिद्ध करने का सबसे सुरक्षित तरीका है। / This is the safest method to prove one-one in written exams.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
For the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5), which option is correct?
#one-one function
#constant function
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=5) पर परिभाषित है / Defined only at (x=5)
D केवल पूर्णांकों पर एकैकी है / One-one only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत को एक ही निर्गत देता है। / A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) और (f(2)=5), पर \(1\ne 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\ne 2\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन तभी एकैकी हो सकता है जब परिभाषा-क्षेत्र में केवल एक तत्व हो। / A constant function can be one-one only if the domain has a single element.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 ).
#one-one function
#domain restriction
#quadratic function
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर है / (f) is constant
D (f) केवल (x=0) पर परिभाषित है / (f) is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एकैकी है / (f) is one-one
Step 1
Concept
इस फलन का परिभाषा-क्षेत्र केवल \(x\ge 0\) है। / The domain is only \(x\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) is increasing, so \(a^2=b^2\) implies (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा-क्षेत्र बदलने से एकैकी होने का निर्णय बदल सकता है। / Changing the domain can change whether a function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x|), तो कौन-सा युग्म (f) को एकैकी न होना दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one function
#absolute value
#counterexample
A (2) और (-2) / (2) and (-2)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (0) और (1) / (0) and (1)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (2) और (-2) / (2) and (-2)
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों को समान मान दे सकता है। / Absolute value can give the same output for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\ne -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\ne -2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी जाँच में ऐसे दो अलग आगत खोजें जिनका निर्गत समान हो। / In one-one tests, search for two different inputs with equal outputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार है कि (f(x)=x-3 -4), तो (f) कैसा फलन है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -4), what type of function is (f)?
#one-one function
#cubic function
#increasing function
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C केवल सम संख्याओं पर परिभाषित / Defined only on even numbers
D स्थिर फलन / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3-4=b^3-4\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / \(a^3-4=b^3-4\) gives \(a^3=b^3\), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
\(x^3\) जैसा बढ़ता फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी रहता है। / A strictly increasing function like \(x^3\) remains one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +1), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +1), why is (f) not one-one?
#one-one function
#quadratic function
#counterexample
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(x)) सदा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
D क्योंकि परिभाषा-क्षेत्र खाली है / Because the domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान निर्गत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\ne -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में धन और ऋण मानों को अवश्य जाँचें। / For even power functions, always check positive and negative inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार है कि (f(x)=3x-7), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#linear function
#class 12
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल शून्य परिभाषित है / Defined only at zero
D केवल धनात्मक संख्याओं पर एकैकी है / One-one only on positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है। / (3a-7=3b-7) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function with non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-1}{x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-1}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#rational-function
#injective
#algebraic-test
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is a constant function
D केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To check one-one nature, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है। / In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|})?
#one-one-function
#absolute-value
#rational-function
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। / For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है। / The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|x-2 ), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|x-2 ), which option is correct for (f)?
#one-one-function
#absolute-value
#even-behaviour
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D हर जगह ऋणात्मक है / It is negative everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
\(|x|x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In \(|x|x^2\), (x) and (-x) give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन सम व्यवहार दिखाए तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता टूटती है। / If a function behaves evenly, one-one nature fails on all of \(\mathbb{R}\).
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x|x|) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x|x|).
#one-one-function
#absolute-value
#piecewise-view
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D सम फलन है इसलिए एकैकी है / It is even, so it is one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2 ) और (x<0) पर (f(x)=-x-2 )। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2 ), and for (x<0), (f(x)=-x-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक भाग पर छवि ऋणात्मक और धनात्मक भाग पर छवि धनात्मक है, तथा दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में एकैकी हैं। / The negative part gives negative images and the positive part gives positive images, while each part is one-one on its domain.
Step 3
Exam Tip
खंडों का परास अलग हो तो पूरा फलन एकैकी हो सकता है। / If the ranges of pieces are separated, the whole function can be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n-2 +n), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n-2 +n), what is (f)?
#one-one-function
#natural-numbers
#domain-effect
#injective
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D हर दो आगतों की छवि समान / Every two inputs have the same image
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में (n) बढ़ने पर \(n^2\) और (n) दोनों बढ़ते हैं। / In natural numbers, as (n) increases, both \(n^2\) and (n) increase.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2+n\) भी बढ़ता है और अलग (n) अलग छवि देते हैं। / Hence \(n^2+n\) also increases and different (n) give different images.
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र पूर्णांकों पर अलग व्यवहार कर सकता है, क्षेत्र ध्यान से पढ़ें। / The same formula may behave differently on integers, so read the domain carefully.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 +n) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option about \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-2 +n).
#one-one-function
#integers
#quadratic
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल धनात्मक पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on positive integers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
पूर्णांकों पर विपरीत पास के मान जाँचें। / On integers, check neighbouring opposite-side values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक क्षेत्र में भी समान छवि वाले अलग मान मिल सकते हैं। / Even on an integer domain, different values can have the same image.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#greatest-integer-function
#non-injective
#step-function
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C हर जगह बढ़ता हुआ और एकैकी है / It is increasing and one-one everywhere
D केवल पूर्णांकों पर अपरिभाषित है / It is undefined only at integers
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
महत्तम पूर्णांक फलन में एक ही अंतराल के कई मानों की छवि समान होती है। / In the greatest integer function, many values in the same interval have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A step function is not one-one on the whole real domain.
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फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=|x-2|+3)?
#one-one-function
#absolute-value
#restricted-domain
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=2) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=2)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
क्षेत्र \(x\geq2\) है, इसलिए (|x-2|=x-2)। / The domain is \(x\geq2\), so (|x-2|=x-2).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x+1) बन जाता है, जो एकैकी है। / The function becomes (f(x)=x+1), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान हटाने से पहले क्षेत्र का चिन्ह समझें। / Before removing absolute value, understand the sign from the domain.
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