मान लीजिए \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6\}\)। कितने फलन \(f:A\to B\) एकैकी और आच्छादी दोनों होंगे?
Let \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6\}\). How many functions \(f:A\to B\) are both one-one and onto?
#functions
#one-one
#onto
#bijection
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (6)
C (9)
D (27)
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Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?
#inverse-function
#linear-function
#class12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2x+5)
B \(\frac{x+5}{2}\)
C \(\frac{x-5}{2}\)
D (5-2x)
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Correct Answer
B. \(\frac{x+5}{2}\)
Step 1
Concept
(y=2x-5) मानिए। / Put (y=2x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x), we get \(x=\frac{y+5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय पहले (y) लिखें, फिर (x) को अलग करें। / While finding inverse, first write (y=f(x)), then isolate (x).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसे हैं कि (f(x)=x-2 +1) तथा (g(x)=3x-2), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are such that (f(x)=x-2 +1) and (g(x)=3x-2), what is (\(f\circ g\)(x))?
#composition
#function-composition
#polynomial
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(9x^2-12x+5\)
B \(9x^2+12x+5\)
C \(3x^2+1\)
D \(3x^2-1\)
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Correct Answer
A. \(9x^2-12x+5\)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)) का अर्थ (f(g(x))) है। / (\(f\circ g\)(x)) means (f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=3x-2) को (f) में रखने पर ((3x-2)2 +1=9x-2 -12x+5) मिलता है। / Substitute (g(x)=3x-2) into (f), giving ((3x-2)2 +1=9x-2 -12x+5).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, the order matters.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) से \(B=\{a,b\}\) में कुल कितने आच्छादी फलन बनाए जा सकते हैं?
How many onto functions can be formed from \(A=\{1,2,3,4\}\) to \(B=\{a,b\}\)?
#onto-functions
#counting-functions
#finite-sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (14)
C (16)
D (8)
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Step 1
Concept
(A) से (B) में कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions from (A) to (B) are \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी न होने वाले फलन वे हैं जिनमें केवल (a) या केवल (b) आता है, ऐसे (2) फलन हैं। / Not onto functions use only (a) or only (b), giving (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence onto functions are (16-2=14).
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यदि \(f:A\to B\) एक आच्छादी फलन है और (A) में (5) तत्व हैं, तो (B) में अधिकतम कितने तत्व हो सकते हैं?
If \(f:A\to B\) is an onto function and (A) has (5) elements, what is the maximum possible number of elements in (B)?
#onto-function
#domain-codomain
#finite-functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (4)
B (5)
C (6)
D (10)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। / The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं। / Hence the maximum possible size of (B) is (5).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है, तो यह फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x|), what type of function is it?
#absolute-value
#one-one
#onto
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए अलग इनपुट की एक ही छवि है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so distinct inputs have the same image; it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी भी नहीं है। / No negative real number is an output, so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान में प्रांत और सहप्रांत को ध्यान से देखें। / For absolute value functions, check both domain and codomain carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=x+2) तथा (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(-3)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+2) and (g(x)=x-2 ), what is the value of (\(g\circ f\)(-3))?
#composition
#value-of-function
#class12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (5)
C (25)
D (-1)
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Step 1
Concept
पहले (f(-3)) निकालें, (f(-3)=-1)। / First find (f(-3)), which is (-1).
Step 2
Why this answer is correct
अब (g(-1)=(-1)2 =1)। / Then compute (g(-1)=(-1)2 =1).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन में दाएँ वाले फलन को पहले लगाएँ। / In composition, apply the right-side function first.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{p,q,r,s\}\) में कितने एकैकी फलन हो सकते हैं?
How many one-one functions can be formed from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{p,q,r,s\}\)?
#injective-functions
#counting
#finite-sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (18)
C (24)
D (64)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के तीनों तत्वों की छवियाँ अलग-अलग होंगी। / In a one-one function, the three elements of (A) must get distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
पहले तत्व के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प मिलते हैं। / The choices are (4), then (3), then (2).
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(4\times3\times2=24\) होगी। / Total number is \(4\times3\times2=24\).
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), जहाँ \(x\neq -1\), तो (f(x)=2) के लिए (x) का मान क्या होगा?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), where \(x\neq -1\), what is the value of (x) for which (f(x)=2)?
#rational-function
#function-value
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (-1)
C (-3)
D (3)
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Step 1
Concept
\(\frac{x-1}{x+1}=2\) लिखें। / Write \(\frac{x-1}{x+1}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x-1=2x+2), इसलिए (x=-3) मिलता है। / Then (x-1=2x+2), so (x=-3).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर का शून्य न होना अलग से जाँचें। / For rational functions, also check that the denominator is not zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+7), तो (f^{-1}(f(10))) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+7), what is the value of (f^{-1}(f(10)))?
#inverse-property
#linear-function
#shortcut
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (10)
B (47)
C (40)
D (7)
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Step 1
Concept
(f) एकैकी और आच्छादी रैखिक फलन है, इसलिए प्रतिलोम मौजूद है। / (f) is a bijective linear function, so its inverse exists.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम फलन (f) के प्रभाव को वापस कर देता है, इसलिए (f^{-1}(f(10))=10)। / The inverse reverses the effect of (f), hence (f^{-1}(f(10))=10).
Step 3
Exam Tip
पहले पूरे फलन का गुण पहचानें, गणना हमेशा जरूरी नहीं होती। / Recognize the property first; full calculation is not always needed.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (6) तत्व हैं, तो (B) में न्यूनतम कितने तत्व होने चाहिए?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (6) elements, what is the minimum number of elements required in (B)?
#one-one-function
#finite-sets
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (5)
C (6)
D (12)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व की अलग छवि होनी चाहिए। / In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
(6) अलग छवियों के लिए (B) में कम से कम (6) तत्व चाहिए। / For (6) distinct images, (B) must have at least (6) elements.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन में सहप्रांत का आकार प्रांत से छोटा नहीं हो सकता। / For injective functions, the codomain cannot be smaller than the domain.
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यदि (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If (f(x)=x-2 -4x+7), what is the minimum value of (f)?
#quadratic-function
#range
#minimum-value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (3)
C (4)
D (7)
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Step 1
Concept
वर्ग पूर्ण करें: (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3)। / Complete the square: (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)2 ) का न्यूनतम मान (0) है। / The least value of ((x-2)2 ) is (0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन का न्यूनतम मान (3) है। / Therefore, the minimum value of the function is (3).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 ), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), why is (f) not one-one?
#injectivity
#quadratic-function
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=1) / Because (f(0)=1)
C क्योंकि (f(x)) हमेशा ऋणात्मक है / Because (f(x)) is always negative
D क्योंकि (f(x)) परिभाषित नहीं है / Because (f(x)) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग इनपुट की छवियाँ अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq -1\), लेकिन (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
एक ही छवि देने वाले दो अलग इनपुट मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / Once two different inputs give the same output, the function is not one-one.
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यदि \(f:A\to A\), जहाँ \(A=\{1,2,3\}\), एक स्थिर फलन है, तो ऐसे कितने फलन संभव हैं?
If \(f:A\to A\), where \(A=\{1,2,3\}\), is a constant function, how many such functions are possible?
#constant-function
#counting-functions
#finite-set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (6)
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Step 1
Concept
स्थिर फलन में (A) के सभी तत्वों की छवि एक ही तत्व होती है। / In a constant function, all elements of (A) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
यह एक ही छवि (1), (2), या (3) में से कोई भी हो सकती है। / This common image can be (1), (2), or (3).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of constant functions equals the number of elements in the codomain.
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यदि (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), what is the domain of (f)?
#domain
#rational-function
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\)
B \(\mathbb{R}-{1}\)
C \(\mathbb{R}-{-1}\)
D \(\mathbb{R}-{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\mathbb{R}-{1}\)
Step 1
Concept
भिन्न में हर (x-1) है। / The denominator is (x-1).
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-1\neq 0\), अर्थात \(x\neq 1\)। / The denominator cannot be zero, so \(x-1\neq 0\), meaning \(x\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत में वही वास्तविक संख्याएँ रखें जिन पर फलन परिभाषित हो। / The domain includes only those real numbers for which the function is defined.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), which statement about (f) is correct?
#constant-function
#conceptual
#one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह आच्छादी है / It is onto
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह प्रतिलोम रखने वाला फलन है / It has an inverse function
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Correct Answer
C. यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Step 1
Concept
हर (x) के लिए फलन का मान (5) ही है। / For every (x), the function value is always (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह स्थिर फलन है, एकैकी नहीं क्योंकि कई इनपुट की छवि समान है। / So it is a constant function and not one-one, because many inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन को पहचानने के लिए देखें कि मान (x) पर निर्भर है या नहीं। / To identify a constant function, check whether the value depends on (x).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 -1) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(7)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 -1), what is the value of (f^{-1}(7))?
#inverse-value
#cubic-function
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (8)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(7)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=7)। / (f^{-1}(7)) means the value of (x) for which (f(x)=7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3-1=7\), इसलिए \(x^3=8\) और (x=2)। / \(x^3-1=7\), so \(x^3=8\) and (x=2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम मान के प्रश्न में सीधे मूल फलन का मान बराबर रख सकते हैं। / For inverse value questions, set the original function equal to the given output.
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यदि (f(x)=\sqrt{x-3}) है, तो (f) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\sqrt{x-3}), what is the real domain of (f)?
#domain
#square-root-function
#real-functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (\(-\infty,3]\)
B \([3,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(3,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-3\geq 0\), इसलिए \(x\geq 3\)। / \(x-3\geq 0\), so \(x\geq 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की राशि को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For square-root functions, always set the inside expression \(\geq 0\).
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यदि (A) में (m) तत्व और (B) में (n) तत्व हैं, तो (A) से (B) में कुल फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (m) elements and (B) has (n) elements, what is the total number of functions from (A) to (B)?
#number-of-functions
#finite-sets
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(m^n\)
B \(n^m\)
C (mn)
D (m+n)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(n^m\)
Step 1
Concept
(A) का हर तत्व (B) के (n) तत्वों में से किसी एक पर जा सकता है। / Each element of (A) can be mapped to any one of the (n) elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे (m) स्वतंत्र चुनाव होंगे। / There are (m) independent choices.
Step 3
Exam Tip
गुणन नियम से कुल फलन \(n^m\) होंगे। / By the multiplication rule, the total number of functions is \(n^m\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=ax+b) एकैकी है, तो (a) के लिए कौन सी शर्त जरूरी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b) is one-one, which condition on (a) is necessary?
#linear-function
#injective
#parameter
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (a=0)
B \(a\neq 0\)
C (b=0)
D (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(a\neq 0\)
Step 1
Concept
यदि (a=0), तो (f(x)=b) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन एकैकी नहीं हो सकता। / A constant function cannot be one-one.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन (ax+b) के एकैकी होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Therefore, a linear function (ax+b) is one-one only when \(a\neq 0\).
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यदि (f(x)=\frac{1}{x}) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) का प्रांत क्या है?
If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=x+1), what is the domain of (\(f\circ g\)(x))?
#composition
#domain
#rational-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\)
B \(\mathbb{R}-{0}\)
C \(\mathbb{R}-{-1}\)
D \(\mathbb{R}-{1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\mathbb{R}-{-1}\)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1})। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1}).
Step 2
Why this answer is correct
हर (x+1) शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator (x+1) must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x\neq -1\) और प्रांत \(\mathbb{R}-{-1}\) है। / Hence \(x\neq -1\), so the domain is \(\mathbb{R}-{-1}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -2x), तो (f(1+h)-f(1)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x), what is the value of (f(1+h)-f(1))?
#function-evaluation
#algebra
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(h^2\)
B \(h^2-1\)
C \(2h+h^2\)
D (h)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(h^2\)
Step 1
Concept
(f(1+h)=(1+h)2 -2(1+h)=h-2 -1)। / (f(1+h)=(1+h)2 -2(1+h)=h-2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1-2=-1)। / (f(1)=1-2=-1).
Step 3
Exam Tip
अंतर (\(h^2-1\)-(-1)=h-2 ) है। / The difference is (\(h^2-1\)-(-1)=h-2 ).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-5 +x-3 +x), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 +x-3 +x), which statement about (f) is correct?
#bijection
#polynomial-function
#real-functions
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह केवल आच्छादी है / It is only onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) बढ़ते (x) के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(x^5+x^3+x\) keeps increasing with (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक होता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / For very negative (x), values are very negative, and for very positive (x), values are very positive, so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपदों में परास \(\mathbb{R}\) हो सकता है। / Increasing odd-degree polynomial functions often have range \(\mathbb{R}\).
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यदि (f(x)=\frac{x+2}{x-2}), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If (f(x)=\frac{x+2}{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse-function
#rational-function
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{2x+2}{x-1}\)
B \(\frac{2x+2}{x+1}\)
C \(\frac{2x-2}{x-1}\)
D \(\frac{x+2}{x-2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{2x+2}{x-1}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{x+2}{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x+2}{x-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-2)=x+2), इसलिए (x(y-1)=2y+2) और \(x=\frac{2y+2}{y-1}\)। / (y(x-2)=x+2), so (x(y-1)=2y+2) and \(x=\frac{2y+2}{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
अंत में (y) की जगह (x) लिखने से प्रतिलोम मिलता है। / Replace (y) by (x) at the end to get the inverse.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=x-2 ), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 ), which statement about (f) is correct?
#codomain
#onto
#quadratic-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
B यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
D यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\geq 0\) के लिए कोई (x) मिलता है जैसे \(x=\sqrt{y}\), इसलिए फलन आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), there is an (x), such as \(x=\sqrt{y}\), so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)=4), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से आच्छादी होने का उत्तर बदल सकता है। / Changing the codomain can change whether a function is onto.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=x-2 ), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), which statement about (f) is correct?
#bijection
#restricted-domain
#quadratic-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादी है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है। / For every \(y\geq 0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से वही सूत्र एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can make the same formula one-one.
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यदि (f(x)=x+1), (g(x)=2x) और (h(x)=x-2 ), तो (\(h\circ g\circ f\)(x)) क्या है?
If (f(x)=x+1), (g(x)=2x), and (h(x)=x-2 ), what is (\(h\circ g\circ f\)(x))?
#composition
#three-functions
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(4x^2+8x+4\)
B \(2x^2+2\)
C \(4x^2+1\)
D \(x^2+2x+1\)
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Correct Answer
A. \(4x^2+8x+4\)
Step 1
Concept
पहले (f(x)=x+1) लगाएँ। / First apply (f(x)=x+1).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (g(f(x))=2(x+1)=2x+2)। / Then (g(f(x))=2(x+1)=2x+2).
Step 3
Exam Tip
अंत में (h(2x+2)=(2x+2)2 =4x-2 +8x+4)। / Finally (h(2x+2)=(2x+2)2 =4x-2 +8x+4).
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यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4,5\}\), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या है?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2\}\), and \(B=\{3,4,5\}\), how many onto functions exist from (A) to (B)?
#onto-functions
#finite-sets
#impossible-case
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (3)
C (6)
D (9)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। / In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। / (A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता। / When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +2x+2), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x+2), what is the range of (f)?
#range
#quadratic
#complete-square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([0,\infty\))
B \([1,\infty\))
C \([2,\infty\))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
B. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
वर्ग पूर्ण करें: (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1)। / Complete the square: (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। / Since ((x+1)2 \geq 0), the minimum value is (1).
Step 3
Exam Tip
अतः परास \([1,\infty\)) है। / Thus the range is \([1,\infty\)).
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यदि (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), तो (x=-4) को प्रांत से क्यों हटाया जाता है?
If (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), why is (x=-4) excluded from the domain?
#domain
#rational-function
#denominator
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि अंश शून्य हो जाता है / Because the numerator becomes zero
B क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
C क्योंकि मान (1) हो जाता है / Because the value becomes (1)
D क्योंकि फलन स्थिर हो जाता है / Because the function becomes constant
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Correct Answer
B. क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational function, the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। / Substituting (x=-4) gives (x+4=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा। / Hence (x=-4) is not included in the domain.
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यदि (f(x)=3x-1) और (g(x)=\frac{x+1}{3}), तो \(g\circ f\) कैसा फलन है?
If (f(x)=3x-1) and (g(x)=\frac{x+1}{3}), what kind of function is \(g\circ f\)?
#identity-function
#composition
#inverse
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A शून्य फलन / Zero function
B स्थिर फलन / Constant function
C तत्समक फलन / Identity function
D वर्ग फलन / Square function
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Correct Answer
C. तत्समक फलन / Identity function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। / (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। / (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x).
Step 3
Exam Tip
जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है। / A function that gives (x) for every (x) is the identity function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-4 +1), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +1), why is (f) not onto?
#onto-function
#range
#polynomial
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(x)\geq 1) होता है / Because (f(x)\geq 1)
B क्योंकि (f(x)\leq 1) होता है / Because (f(x)\leq 1)
C क्योंकि (f(0)=0) होता है / Because (f(0)=0)
D क्योंकि हर मान ऋणात्मक होता है / Because every value is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(x)\geq 1) होता है / Because (f(x)\geq 1)
Step 1
Concept
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^4\geq 0\) होता है। / For every real (x), \(x^4\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=x-4 +1\geq 1), और (0) जैसा वास्तविक मान छवि नहीं बनता। / Therefore (f(x)=x-4 +1\geq 1), so a real number like (0) is not attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के छूटे हुए मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी और आच्छादी दोनों है, तो \(f^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is both one-one and onto, which statement about \(f^{-1}\) is correct?
#inverse-function
#bijection
#theory
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है / \(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
B \(f^{-1}\) हमेशा स्थिर होता है / \(f^{-1}\) is always constant
C \(f^{-1}\) केवल \(A\to B\) होता है / \(f^{-1}\) is only from (A) to (B)
D \(f^{-1}\) कभी मौजूद नहीं होता / \(f^{-1}\) never exists
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Correct Answer
A. \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है / \(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
Step 1
Concept
एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। / One-one ensures each image has a unique original element.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। / Onto ensures every element of (B) is actually an image.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम फलन \(B\to A\) के रूप में मौजूद होता है। / Therefore, the inverse function exists from (B) to (A).
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यदि (f(x)=x-2 ) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f(x)=x-2 ) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition
#non-commutative
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
B (\(f\circ g\)(x)=x-2 +2)
C (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are not defined
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Correct Answer
C. (\(g\circ f\)(x)=x-2 +2)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is generally not commutative.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-2|), तो (f) का न्यूनतम मान किस (x) पर आएगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), at which (x) will (f) attain its minimum value?
#absolute-value
#minimum
#function-value
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x=-2)
B (x=0)
C (x=2)
D (x=4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
(|x-2|) का न्यूनतम (0) तब मिलेगा जब (x-2=0)। / The minimum of (|x-2|) is (0), which occurs when (x-2=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) पर फलन न्यूनतम है। / Therefore, the function is minimum at (x=2).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), तो (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\)) का मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), what is the value of (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\))?
#function-evaluation
#rational-function
#algebra
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{2}{5}\)
B \(\frac{4}{5}\)
C \(\frac{1}{5}\)
D \(\frac{8}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\frac{4}{5}\)
Step 1
Concept
(f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}).
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5})। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
दोनों को जोड़ने पर \(\frac{4}{5}\) मिलता है। / Adding them gives \(\frac{4}{5}\).
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यदि (f(x)=2x+3) और (\(f\circ f\)(x)=19), तो (x) का मान क्या है?
If (f(x)=2x+3) and (\(f\circ f\)(x)=19), what is the value of (x)?
#composition
#self-composition
#error-check
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। / (\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9).
Step 2
Why this answer is correct
(4x+9=19), इसलिए (4x=10)। / (4x+9=19), so (4x=10).
Step 3
Exam Tip
\(x=\frac{5}{2}\) आता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सटीक नहीं दिखता; सही गणना के अनुसार \(x=\frac{5}{2}\) होना चाहिए। / The calculated value is \(x=\frac{5}{2}\), so the options should include \(\frac{5}{2}\).
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यदि (f(x)=2x+3) और (\(f\circ f\)(x)=17), तो (x) का मान क्या है?
If (f(x)=2x+3) and (\(f\circ f\)(x)=17), what is the value of (x)?
#composition
#self-composition
#linear-function
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। / (\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9).
Step 2
Why this answer is correct
(4x+9=17), इसलिए (4x=8)। / (4x+9=17), so (4x=8).
Step 3
Exam Tip
अतः (x=2) है। / Therefore, (x=2).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?
#trigonometric-function
#onto
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है / Because its range is ([-1,1])
B क्योंकि इसका प्रांत खाली है / Because its domain is empty
C क्योंकि यह हर जगह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined everywhere
D क्योंकि यह केवल धनात्मक मान देता है / Because it gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है / Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which includes values like (2) that are not attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें। / For onto checking, compare the range with the codomain.
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यदि \(f:A\to A\) जहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\), एक क्रमचय फलन है, तो ऐसे कितने फलन होंगे?
If \(f:A\to A\), where \(A=\{1,2,3,4\}\), is a permutation function, how many such functions exist?
#permutation-function
#bijection
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (4)
B (16)
C (24)
D (256)
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Step 1
Concept
क्रमचय फलन का अर्थ है (A) से (A) में एकैकी और आच्छादी फलन। / A permutation function means a one-one and onto function from (A) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
(4) तत्वों को (4) अलग स्थानों पर जमाने के तरीके (4!) होते हैं। / The number of ways to arrange (4) elements in (4) positions is (4!).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे फलन (24) हैं। / Hence there are (24) such functions.
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यदि (f(x)=\sqrt{9-x-2 }), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
If (f(x)=\sqrt{9-x-2 }), what is the real domain?
#domain
#square-root
#inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([-3,3])
B (\(-\infty,-3]\)
C \([3,\infty\))
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([-3,3])
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq 0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2\leq 9\), अर्थात \(-3\leq x\leq 3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq 9\), meaning \(-3\leq x\leq 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और वर्ग दोनों होने पर असमानता को सावधानी से हल करें। / When square roots and squares appear together, solve the inequality carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2^x), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x), which statement about (f) is correct?
#exponential-function
#one-one
#onto
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
B यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
C यह एकैकी और आच्छादी दोनों है / It is both one-one and onto
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं / It is one-one but not onto
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। / \(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। / Its value is always positive, so no negative real number is attained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है। / Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.
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यदि (f(x)=\ln x), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
If (f(x)=\ln x), what is the real domain?
#logarithmic-function
#domain
#real-functions
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{R}\)
B \([0,\infty\))
C (\(0,\infty\))
D (\(-\infty,0\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(\ln x\) केवल धनात्मक (x) के लिए परिभाषित होता है। / \(\ln x\) is defined only for positive (x).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) और ऋणात्मक (x) वास्तविक प्रांत में नहीं आते। / (x=0) and negative (x) are not included in the real domain.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन में अंदर की राशि हमेशा (>0) रखें। / For logarithmic functions, the inside expression must be (>0).
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यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), तो (f) कैसा है?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), what type of function is (f)?
#finite-function
#one-one
#onto
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? Hint Small clue
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / (c) is not the image of any element, so the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें। / For finite sets, list the images to test both properties.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 -3x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -3x), why is (f) not one-one?
#injectivity
#cubic-function
#counterexample
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? Hint Small clue
A क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
B क्योंकि (f(1)=f(2)) / Because (f(1)=f(2))
C क्योंकि (f(x)) परिभाषित नहीं है / Because (f(x)) is not defined
D क्योंकि परास खाली है / Because the range is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) / Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग इनपुट की समान छवि मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / If two distinct inputs give the same image, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?
If \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}), which real value will not occur in the range of (f)?
#range
#rational-function
#functions
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A \(\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C (2)
D (-4)
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Correct Answer
A. \(\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Put \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(y(2x+1)=3x-4), इसलिए (x(2y-3)=-(y+4))। / (y(2x+1)=3x-4), so (x(2y-3)=-(y+4)).
Step 3
Exam Tip
(2y-3=0) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा। / If (2y-3=0), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?
#onto-functions
#counting-functions
#inclusion-exclusion
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A (24)
B (36)
C (48)
D (81)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(3^4=81\) हैं। / Total functions are \(3^4=81\).
Step 2
Why this answer is correct
जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\)। / Remove functions that miss at least one element: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे। / Onto functions are (81-45=36).
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यदि \(f:[3,\infty\)\to[1,\infty)) को (f(x)=x-2 -6x+10) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[3,\infty\)\to[1,\infty)) is defined by (f(x)=x-2 -6x+10), what is (f^{-1}(x))?
#inverse-function
#restricted-domain
#quadratic-function
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A \(3+\sqrt{x-1}\)
B \(3-\sqrt{x-1}\)
C \(\sqrt{x+1}-3\)
D \(x^2+3\)
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Correct Answer
A. \(3+\sqrt{x-1}\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 -6x+10=(x-3)2 +1)। / (f(x)=x-2 -6x+10=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
(y=(x-3)2 +1) से ((x-3)2 =y-1) मिलता है। / From (y=(x-3)2 +1), we get ((x-3)2 =y-1).
Step 3
Exam Tip
प्रांत \([3,\infty\)) है, इसलिए \(x-3\geq0\) और प्रतिलोम \(3+\sqrt{x-1}\) होगा। / Since the domain is \([3,\infty\)), \(x-3\geq0\), so the inverse is \(3+\sqrt{x-1}\).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों प्रतिलोम रखने वाले फलन हैं, तो (\(g\circ f\)^{-1}) किसके बराबर होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both invertible functions, then (\(g\circ f\)^{-1}) is equal to which expression?
#inverse-composition
#bijection
#function-theory
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A \(g^{-1}\circ f^{-1}\)
B \(f^{-1}\circ g^{-1}\)
C \(f\circ g\)
D \(g\circ f\)
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Correct Answer
B. \(f^{-1}\circ g^{-1}\)
Step 1
Concept
\(g\circ f\) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। / In \(g\circ f\), (f) acts first and then (g).
Step 2
Why this answer is correct
वापस आने के लिए पहले \(g^{-1}\) और फिर \(f^{-1}\) लगाना पड़ेगा। / To reverse the process, apply \(g^{-1}\) first and then \(f^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है। / Hence the order reverses, so (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}).
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से परिभाषित किया गया है, जहाँ \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(n)=n+1), where \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), what type of function is (f)?
#natural-number-function
#one-one
#onto
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A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. एकैकी पर आच्छादी नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है। / Therefore, the function is one-one but not onto.
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