A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!). चरण 1: दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। चरण 2: एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। चरण 3: परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें।
While finding inverse, first write (y=f(x)), then isolate (x). चरण 1: (y=2x-5) मानिए। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय पहले (y) लिखें, फिर (x) को अलग करें।
Substitute (g(x)=3x-2) into (f), giving ((3x-2)2+1=9x-2-12x+5).
Step 3
Exam Tip
In composition, the order matters. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)) का अर्थ (f(g(x))) है। चरण 2: (g(x)=3x-2) को (f) में रखने पर ((3x-2)2+1=9x-2-12x+5) मिलता है। चरण 3: संयुक्त फलन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है।
Not onto functions use only (a) or only (b), giving (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Hence onto functions are (16-2=14). चरण 1: (A) से (B) में कुल फलन \(2^4=16\) हैं। चरण 2: आच्छादी न होने वाले फलन वे हैं जिनमें केवल (a) या केवल (b) आता है, ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे।
In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Hence the maximum possible size of (B) is (5). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। चरण 2: (A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। चरण 3: इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं।
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so distinct inputs have the same image; it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
No negative real number is an output, so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For absolute value functions, check both domain and codomain carefully. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए अलग इनपुट की एक ही छवि है; फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी भी नहीं है। चरण 3: निरपेक्ष मान में प्रांत और सहप्रांत को ध्यान से देखें।
In composition, apply the right-side function first. चरण 1: पहले (f(-3)) निकालें, (f(-3)=-1)। चरण 2: अब (g(-1)=(-1)2=1)। चरण 3: संयुक्त फलन में दाएँ वाले फलन को पहले लगाएँ।
In a one-one function, the three elements of (A) must get distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The choices are (4), then (3), then (2).
Step 3
Exam Tip
Total number is \(4\times3\times2=24\). चरण 1: एकैकी फलन में (A) के तीनों तत्वों की छवियाँ अलग-अलग होंगी। चरण 2: पहले तत्व के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प मिलते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(4\times3\times2=24\) होगी।
For rational functions, also check that the denominator is not zero. चरण 1: \(\frac{x-1}{x+1}=2\) लिखें। चरण 2: (x-1=2x+2), इसलिए (x=-3) मिलता है। चरण 3: भिन्न वाले फलन में हर का शून्य न होना अलग से जाँचें।
(f) is a bijective linear function, so its inverse exists.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse reverses the effect of (f), hence (f^{-1}(f(10))=10).
Step 3
Exam Tip
Recognize the property first; full calculation is not always needed. चरण 1: (f) एकैकी और आच्छादी रैखिक फलन है, इसलिए प्रतिलोम मौजूद है। चरण 2: प्रतिलोम फलन (f) के प्रभाव को वापस कर देता है, इसलिए (f^{-1}(f(10))=10)। चरण 3: पहले पूरे फलन का गुण पहचानें, गणना हमेशा जरूरी नहीं होती।
In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
For (6) distinct images, (B) must have at least (6) elements.
Step 3
Exam Tip
For injective functions, the codomain cannot be smaller than the domain. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व की अलग छवि होनी चाहिए। चरण 2: (6) अलग छवियों के लिए (B) में कम से कम (6) तत्व चाहिए। चरण 3: एकैकी फलन में सहप्रांत का आकार प्रांत से छोटा नहीं हो सकता।
Therefore, the minimum value of the function is (3). चरण 1: वर्ग पूर्ण करें: (x-2-4x+7=(x-2)2+3)। चरण 2: ((x-2)2) का न्यूनतम मान (0) है। चरण 3: इसलिए फलन का न्यूनतम मान (3) है।
In a one-one function, distinct inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
Once two different inputs give the same output, the function is not one-one. चरण 1: एकैकी फलन में अलग इनपुट की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\neq -1\), लेकिन (f(1)=1) और (f(-1)=1)। चरण 3: एक ही छवि देने वाले दो अलग इनपुट मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता।
In a constant function, all elements of (A) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
This common image can be (1), (2), or (3).
Step 3
Exam Tip
The number of constant functions equals the number of elements in the codomain. चरण 1: स्थिर फलन में (A) के सभी तत्वों की छवि एक ही तत्व होती है। चरण 2: यह एक ही छवि (1), (2), या (3) में से कोई भी हो सकती है। चरण 3: स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
The denominator cannot be zero, so \(x-1\neq 0\), meaning \(x\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
The domain includes only those real numbers for which the function is defined. चरण 1: भिन्न में हर (x-1) है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-1\neq 0\), अर्थात \(x\neq 1\)। चरण 3: प्रांत में वही वास्तविक संख्याएँ रखें जिन पर फलन परिभाषित हो।
So it is a constant function and not one-one, because many inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
To identify a constant function, check whether the value depends on (x). चरण 1: हर (x) के लिए फलन का मान (5) ही है। चरण 2: इसलिए यह स्थिर फलन है, एकैकी नहीं क्योंकि कई इनपुट की छवि समान है। चरण 3: स्थिर फलन को पहचानने के लिए देखें कि मान (x) पर निर्भर है या नहीं।
(f^{-1}(7)) means the value of (x) for which (f(x)=7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3-1=7\), so \(x^3=8\) and (x=2).
Step 3
Exam Tip
For inverse value questions, set the original function equal to the given output. चरण 1: (f^{-1}(7)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=7)। चरण 2: \(x^3-1=7\), इसलिए \(x^3=8\) और (x=2)। चरण 3: प्रतिलोम मान के प्रश्न में सीधे मूल फलन का मान बराबर रख सकते हैं।
The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-3\geq 0\), so \(x\geq 3\).
Step 3
Exam Tip
For square-root functions, always set the inside expression \(\geq 0\). चरण 1: वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(x-3\geq 0\), इसलिए \(x\geq 3\)। चरण 3: वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की राशि को हमेशा \(\geq 0\) रखें।
Each element of (A) can be mapped to any one of the (n) elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
There are (m) independent choices.
Step 3
Exam Tip
By the multiplication rule, the total number of functions is \(n^m\). चरण 1: (A) का हर तत्व (B) के (n) तत्वों में से किसी एक पर जा सकता है। चरण 2: ऐसे (m) स्वतंत्र चुनाव होंगे। चरण 3: गुणन नियम से कुल फलन \(n^m\) होंगे।
If (a=0), then (f(x)=b) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
A constant function cannot be one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore, a linear function (ax+b) is one-one only when \(a\neq 0\). चरण 1: यदि (a=0), तो (f(x)=b) स्थिर फलन बन जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन एकैकी नहीं हो सकता। चरण 3: रैखिक फलन (ax+b) के एकैकी होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है।
Hence \(x\neq -1\), so the domain is \(\mathbb{R}-{-1}\). चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1})। चरण 2: हर (x+1) शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए \(x\neq -1\) और प्रांत \(\mathbb{R}-{-1}\) है।
C. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) keeps increasing with (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For very negative (x), values are very negative, and for very positive (x), values are very positive, so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
Increasing odd-degree polynomial functions often have range \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^5+x^3+x\) बढ़ते (x) के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक होता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपदों में परास \(\mathbb{R}\) हो सकता है।
(y(x-2)=x+2), so (x(y-1)=2y+2) and \(x=\frac{2y+2}{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
Replace (y) by (x) at the end to get the inverse. चरण 1: \(y=\frac{x+2}{x-2}\) लिखें। चरण 2: (y(x-2)=x+2), इसलिए (x(y-1)=2y+2) और \(x=\frac{2y+2}{y-1}\)। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) लिखने से प्रतिलोम मिलता है।
B. यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\geq 0\), there is an (x), such as \(x=\sqrt{y}\), so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=f(-2)=4), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Changing the codomain can change whether a function is onto. चरण 1: हर \(y\geq 0\) के लिए कोई (x) मिलता है जैसे \(x=\sqrt{y}\), इसलिए फलन आच्छादी है। चरण 2: (f(2)=f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत बदलने से आच्छादी होने का उत्तर बदल सकता है।
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\geq 0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same formula one-one. चरण 1: \([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 2: हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से वही सूत्र एकैकी बन सकता है।
In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible.
Step 3
Exam Tip
When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। चरण 3: जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता।
Thus the range is \([1,\infty\)). चरण 1: वर्ग पूर्ण करें: (x-2+2x+2=(x+1)2+1)। चरण 2: ((x+1)2\geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। चरण 3: अतः परास \([1,\infty\)) है।
B. क्योंकि हर शून्य हो जाता है/Because the denominator becomes zero
Step 1
Concept
In a rational function, the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (x=-4) gives (x+4=0).
Step 3
Exam Tip
Hence (x=-4) is not included in the domain. चरण 1: भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: (x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। चरण 3: इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा।
A function that gives (x) for every (x) is the identity function. चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। चरण 2: (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। चरण 3: जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है।
A. क्योंकि (f(x)\geq 1) होता है/Because (f(x)\geq 1)
Step 1
Concept
For every real (x), \(x^4\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(x)=x-4+1\geq 1), so a real number like (0) is not attained.
Step 3
Exam Tip
To test onto, look for values in the codomain that are missed. चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(x^4\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए (f(x)=x-4+1\geq 1), और (0) जैसा वास्तविक मान छवि नहीं बनता। चरण 3: आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के छूटे हुए मान खोजें।
A. \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है/\(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
Step 1
Concept
One-one ensures each image has a unique original element.
Step 2
Why this answer is correct
Onto ensures every element of (B) is actually an image.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the inverse function exists from (B) to (A). चरण 1: एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। चरण 2: आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम फलन \(B\to A\) के रूप में मौजूद होता है।
Composition of functions is generally not commutative. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2+2)। चरण 3: संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता।
The minimum of (|x-2|) is (0), which occurs when (x-2=0).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the function is minimum at (x=2). चरण 1: निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: (|x-2|) का न्यूनतम (0) तब मिलेगा जब (x-2=0)। चरण 3: इसलिए (x=2) पर फलन न्यूनतम है।
Adding them gives \(\frac{4}{5}\). चरण 1: (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। चरण 2: (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5})। चरण 3: दोनों को जोड़ने पर \(\frac{4}{5}\) मिलता है।
The calculated value is \(x=\frac{5}{2}\), so the options should include \(\frac{5}{2}\). चरण 1: (\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। चरण 2: (4x+9=19), इसलिए (4x=10)। चरण 3: \(x=\frac{5}{2}\) आता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सटीक नहीं दिखता; सही गणना के अनुसार \(x=\frac{5}{2}\) होना चाहिए।
A. क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है/Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), which includes values like (2) that are not attained.
Step 3
Exam Tip
For onto checking, compare the range with the codomain. चरण 1: \(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। चरण 3: आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें।
A permutation function means a one-one and onto function from (A) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
The number of ways to arrange (4) elements in (4) positions is (4!).
Step 3
Exam Tip
Hence there are (24) such functions. चरण 1: क्रमचय फलन का अर्थ है (A) से (A) में एकैकी और आच्छादी फलन। चरण 2: (4) तत्वों को (4) अलग स्थानों पर जमाने के तरीके (4!) होते हैं। चरण 3: इसलिए ऐसे फलन (24) हैं।
The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(x^2\leq 9\), meaning \(-3\leq x\leq 3\).
Step 3
Exam Tip
When square roots and squares appear together, solve the inequality carefully. चरण 1: वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq 0\) होना चाहिए। चरण 2: इससे \(x^2\leq 9\), अर्थात \(-3\leq x\leq 3\) मिलता है। चरण 3: वर्गमूल और वर्ग दोनों होने पर असमानता को सावधानी से हल करें।
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
\(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its value is always positive, so no negative real number is attained.
Step 3
Exam Tip
Knowing the range of an exponential function helps in checking onto. चरण 1: \(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। चरण 3: घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है।
(x=0) and negative (x) are not included in the real domain.
Step 3
Exam Tip
For logarithmic functions, the inside expression must be (>0). चरण 1: \(\ln x\) केवल धनात्मक (x) के लिए परिभाषित होता है। चरण 2: (x=0) और ऋणात्मक (x) वास्तविक प्रांत में नहीं आते। चरण 3: लघुगणकीय फलन में अंदर की राशि हमेशा (>0) रखें।
(f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) is not the image of any element, so the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, list the images to test both properties. चरण 1: (f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: (c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें।
A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
(f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
If two distinct inputs give the same image, the function is not one-one. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। चरण 3: दो अलग इनपुट की समान छवि मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता।
यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?
If (2y-3=0), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range. चरण 1: \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। चरण 2: (y(2x+1)=3x-4), इसलिए (x(2y-3)=-(y+4))। चरण 3: (2y-3=0) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा।
Remove functions that miss at least one element: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\).
Step 3
Exam Tip
Onto functions are (81-45=36). चरण 1: कुल फलन \(3^4=81\) हैं। चरण 2: जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\)। चरण 3: आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे।
Since the domain is \([3,\infty\)), \(x-3\geq0\), so the inverse is \(3+\sqrt{x-1}\). चरण 1: (f(x)=x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: (y=(x-3)2+1) से ((x-3)2=y-1) मिलता है। चरण 3: प्रांत \([3,\infty\)) है, इसलिए \(x-3\geq0\) और प्रतिलोम \(3+\sqrt{x-1}\) होगा।
To reverse the process, apply \(g^{-1}\) first and then \(f^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Hence the order reverses, so (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}). चरण 1: \(g\circ f\) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। चरण 2: वापस आने के लिए पहले \(g^{-1}\) और फिर \(f^{-1}\) लगाना पड़ेगा। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है।
If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the function is one-one but not onto. चरण 1: यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। चरण 3: इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है।
