फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x}) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
Which option is correct for \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x})?
#relations-functions
#one-one-function
#square-root
#domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
वर्गमूल फलन (0) से आगे बढ़ता हुआ रहता है। / The square root function increases from (0) onward.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) से (a=b) मिलता है जहाँ \(a,b\geq 0\)। / \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) gives (a=b), where \(a,b\geq 0\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल की एकैकीता में क्षेत्र का (0) से आगे होना जरूरी है। / The domain starting from (0) is important for this one-one nature.
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यदि \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-4}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-4}), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x-4}\) increases on its domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। / If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\log_3 x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_3 x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#logarithmic-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\log_3 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_3 x\) is increasing on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(\log_3 a=\log_3 b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log_3 a=\log_3 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x+1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा करने पर ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)) और सरल करने पर (a=b) मिलता है। / Cross-multiplication gives ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)), and simplification gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को हटाकर एकैकीपन जाँचें। / For rational functions, remove denominator-zero values before testing one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{x+1}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{-1}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{x+1}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा करने पर (a(b+1)=b(a+1)) यानी (ab+a=ab+b), इसलिए (a=b)। / Cross-multiplication gives (a(b+1)=b(a+1)), so (ab+a=ab+b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाकर जाँच करें। / In rational functions, remove the denominator-zero value from the domain before checking one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\log_2 x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_2 x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#logarithmic-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सभी वास्तविक पर परिभाषित / Defined on all real numbers
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\log_2 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_2 x\) increases on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log_2 a=\log_2 b\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\log_2 a=\log_2 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a-2}=\frac{1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq2\) और \(b\neq2\) होने से (a-2=b-2) इसलिए (a=b)। / Since \(a\neq2\) and \(b\neq2\), we get (a-2=b-2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाना जरूरी है। / The value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने प्रांत \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) increases on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) हो तो (a=b) होता है। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / The square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) और (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। / Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / The reciprocal function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-2}) हो तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:[2,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-2}), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#square-root
#domain
A \(x^2+2\)
B \(x^2-2\)
C \(\sqrt{x+2}\)
D \(\frac{1}{x^2+2}\)
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Correct Answer
A. \(x^2+2\)
Step 1
Concept
\(y=\sqrt{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\sqrt{x-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर वर्ग करने पर \(y^2=x-2\) इसलिए \(x=y^2+2\)। / Squaring both sides gives \(y^2=x-2\), so \(x=y^2+2\).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम लिखते समय नए प्रांत और परास भी बदल जाते हैं। / When writing the inverse, the domain and range are interchanged.
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फलन (f(x)=\sqrt{9-x-2 }) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of (f(x)=\sqrt{9-x-2 })?
#functions
#domain
#inequality
#square-root
A ([-3,3])
B (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\))
C ((0,3))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([-3,3])
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2\leq9\) यानी \(-3\leq x\leq3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq9\), so \(-3\leq x\leq3\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले असमानताओं में दोनों ओर की सीमा याद रखें। / In square inequalities, remember both lower and upper bounds.
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फलन (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?
What is the real domain of (f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}})?
#functions
#domain
#denominator
#square-root
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C (\(-\infty,2\))
D \(\mathbb{R}-{2}\)
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Correct Answer
B. (\(2,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के लिए \(x-2\geq0\) चाहिए। / For the square root, \(x-2\geq0\) is needed.
Step 2
Why this answer is correct
हर में वर्गमूल है इसलिए (x-2=0) नहीं हो सकता। / Since the square root is in the denominator, (x-2=0) is not allowed.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों से (x>2) मिलता है। / Combining both conditions gives (x>2).
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फलन (f(x)=\sqrt{x-4}) का वास्तविक प्रांत क्या है?
What is the real domain of the function (f(x)=\sqrt{x-4})?
#functions
#domain
#square-root
A \([4,\infty\))
B (\(4,\infty\))
C (\(-\infty,4]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर की मात्रा ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-4\geq0\) से \(x\geq4\) मिलता है। / \(x-4\geq0\) gives \(x\geq4\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की मात्रा को (0) से बड़ा या बराबर रखें। / For square-root functions, set the radicand greater than or equal to (0).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}) से दिया गया है, तो यह फलन किस प्रांत पर (x+1) जैसा व्यवहार करेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-1}), on which domain does it behave like (x+1)?
#domain
#simplification
#rational function
A \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
D ({1})
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
Step 1
Concept
(x-2 -1=(x-1)(x+1)) है। / (x-2 -1=(x-1)(x+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। / For \(x\neq1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\).
Step 3
Exam Tip
काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें। / Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से परिभाषित माना जाए, तो इसे फलन बनाने के लिए प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is considered as (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which value must be removed from the domain to make it a function?
#domain
#rational function
#well defined
A (3)
B (-3)
C (1)
D (-1)
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Step 1
Concept
भिन्न में हर (x+3) है। / The denominator is (x+3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। / Solving (x+3=0) gives (x=-3).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है। / A value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो सही प्रांत लेने पर कौन सा प्रांत उचित होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is described by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what should be the correct domain?
#domain
#rational expression
#function definition
A \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \([0,\infty\))
D \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। / \(\frac{1}{x}\) is defined only when \(x\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। / At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ। / For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero.
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यदि (f(x)=\ln x), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
If (f(x)=\ln x), what is the real domain?
#logarithmic-function
#domain
#real-functions
A \(\mathbb{R}\)
B \([0,\infty\))
C (\(0,\infty\))
D (\(-\infty,0\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(\ln x\) केवल धनात्मक (x) के लिए परिभाषित होता है। / \(\ln x\) is defined only for positive (x).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) और ऋणात्मक (x) वास्तविक प्रांत में नहीं आते। / (x=0) and negative (x) are not included in the real domain.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन में अंदर की राशि हमेशा (>0) रखें। / For logarithmic functions, the inside expression must be (>0).
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यदि (f(x)=\sqrt{9-x-2 }), तो वास्तविक प्रांत क्या है?
If (f(x)=\sqrt{9-x-2 }), what is the real domain?
#domain
#square-root
#inequality
A ([-3,3])
B (\(-\infty,-3]\)
C \([3,\infty\))
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([-3,3])
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq 0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2\leq 9\), अर्थात \(-3\leq x\leq 3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq 9\), meaning \(-3\leq x\leq 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और वर्ग दोनों होने पर असमानता को सावधानी से हल करें। / When square roots and squares appear together, solve the inequality carefully.
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यदि (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), तो (x=-4) को प्रांत से क्यों हटाया जाता है?
If (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), why is (x=-4) excluded from the domain?
#domain
#rational-function
#denominator
A क्योंकि अंश शून्य हो जाता है / Because the numerator becomes zero
B क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
C क्योंकि मान (1) हो जाता है / Because the value becomes (1)
D क्योंकि फलन स्थिर हो जाता है / Because the function becomes constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि हर शून्य हो जाता है / Because the denominator becomes zero
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational function, the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। / Substituting (x=-4) gives (x+4=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा। / Hence (x=-4) is not included in the domain.
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यदि (f(x)=\frac{1}{x}) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) का प्रांत क्या है?
If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=x+1), what is the domain of (\(f\circ g\)(x))?
#composition
#domain
#rational-function
A \(\mathbb{R}\)
B \(\mathbb{R}-{0}\)
C \(\mathbb{R}-{-1}\)
D \(\mathbb{R}-{1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\mathbb{R}-{-1}\)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1})। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1}).
Step 2
Why this answer is correct
हर (x+1) शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator (x+1) must not be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x\neq -1\) और प्रांत \(\mathbb{R}-{-1}\) है। / Hence \(x\neq -1\), so the domain is \(\mathbb{R}-{-1}\).
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यदि (f(x)=\sqrt{x-3}) है, तो (f) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\sqrt{x-3}), what is the real domain of (f)?
#domain
#square-root-function
#real-functions
A (\(-\infty,3]\)
B \([3,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(3,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-3\geq 0\), इसलिए \(x\geq 3\)। / \(x-3\geq 0\), so \(x\geq 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की राशि को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For square-root functions, always set the inside expression \(\geq 0\).
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यदि (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), what is the domain of (f)?
#domain
#rational-function
#functions
A \(\mathbb{R}\)
B \(\mathbb{R}-{1}\)
C \(\mathbb{R}-{-1}\)
D \(\mathbb{R}-{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(\mathbb{R}-{1}\)
Step 1
Concept
भिन्न में हर (x-1) है। / The denominator is (x-1).
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-1\neq 0\), अर्थात \(x\neq 1\)। / The denominator cannot be zero, so \(x-1\neq 0\), meaning \(x\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत में वही वास्तविक संख्याएँ रखें जिन पर फलन परिभाषित हो। / The domain includes only those real numbers for which the function is defined.
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), जहाँ \(x\neq -1\), तो (f(x)=2) के लिए (x) का मान क्या होगा?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), where \(x\neq -1\), what is the value of (x) for which (f(x)=2)?
#rational-function
#function-value
#domain
A (1)
B (-1)
C (-3)
D (3)
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Step 1
Concept
\(\frac{x-1}{x+1}=2\) लिखें। / Write \(\frac{x-1}{x+1}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x-1=2x+2), इसलिए (x=-3) मिलता है। / Then (x-1=2x+2), so (x=-3).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर का शून्य न होना अलग से जाँचें। / For rational functions, also check that the denominator is not zero.
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यदि \(f:A\to B\) एक फलन है, तो कौन सी स्थिति फलन की परिभाषा को तोड़ती है?
If \(f:A\to B\) is a function, which situation violates the definition of a function?
#functions
#definition
#domain
#codomain
A (A) के एक अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हों / One element of (A) has two different images
B दो अवयवों का प्रतिबिंब समान हो / Two elements have the same image
C (B) का कोई अवयव प्रतिबिंब न बने / Some element of (B) is not an image
D फलन आच्छादी न हो / The function is not onto
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Correct Answer
A. (A) के एक अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हों / One element of (A) has two different images
Step 1
Concept
फलन में प्रांत के हर अवयव का ठीक एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। / In a function, every element of the domain must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
यदि एक ही अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हैं, तो वह संबंध फलन नहीं रहेगा। / If one element has two different images, the relation is not a function.
Step 3
Exam Tip
फलन होने के लिए एकैकी या आच्छादी होना जरूरी नहीं, पर प्रत्येक निवेश का एक ही निर्गत जरूरी है। / A function need not be one-one or onto, but each input must have exactly one output.
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यदि (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}) है, तो (f) के प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), which value must be excluded from the domain of (f)?
#functions
#domain
#rational-function
A (3)
B (-3)
C (2)
D (-1)
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Step 1
Concept
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं होना चाहिए। / In a rational function, the denominator must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x-3=0) रखने पर (x=3) मिलता है, इसलिए यह मान प्रांत में नहीं हो सकता। / Solving (x-3=0) gives (x=3), so this value cannot be in the domain.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले हर को शून्य बनाकर निषिद्ध मान निकालें। / In such questions, first set the denominator equal to zero to find excluded values.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) क्यों आच्छादी नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(n)=n+2), why is (f) not onto?
#functions
#natural-numbers
#onto
#domain
A (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / (1) and (2) have no preimage
B केवल (3) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Only (3) has no preimage
C हर प्राकृतिक संख्या मिल जाती है / Every natural number is obtained
D क्योंकि (f) एकैकी नहीं है / Because (f) is not one-one
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Correct Answer
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / (1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x+1}{x-1}) से दिया गया है, तो (f) का प्रांत और छूटा हुआ परास मान कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), what are the domain and the missed range value of (f)?
#domain
#range
#rational function
A प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)
B प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), missed value (1)
C प्रांत \(\mathbb{R}\), छूटा मान (-1) / Domain \(\mathbb{R}\), missed value (-1)
D प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (-1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (-1)
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Correct Answer
A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1) / Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)
Step 1
Concept
हर (x-1) है, इसलिए (x=1) प्रांत से हटेगा। / The denominator is (x-1), so (x=1) is removed from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) में (y=1) रखने पर (x+1=x-1), जो असंभव है। / Putting (y=1) in \(y=\frac{x+1}{x-1}\) gives (x+1=x-1), impossible.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में प्रांत और छूटे हुए मान दोनों अलग-अलग जांचें। / For rational functions, check domain and missed range values separately.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\tan x) से दिया गया है, तो यह फलन क्यों सही रूप से परिभाषित नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\tan x), why is this function not well-defined?
#well-defined function
#tangent
#domain
A क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं है / Because \(\tan x\) is not defined for all real (x)
B क्योंकि \(\tan 0=0\) है / Because \(\tan 0=0\)
C क्योंकि \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है / Because the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\)
D क्योंकि \(\tan x\) विषम फलन है / Because \(\tan x\) is an odd function
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं है / Because \(\tan x\) is not defined for all real (x)
Step 1
Concept
\(\tan x\) उन मानों पर परिभाषित नहीं होता जहाँ \(\cos x=0\)। / \(\tan x\) is not defined where \(\cos x=0\).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(x=\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan x\) परिभाषित नहीं है। / For example, at \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) is not defined.
Step 3
Exam Tip
फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान मिलना जरूरी है। / A function must assign a value to every element of its domain.
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यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?
If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), what is the domain of (f)?
#domain
#rational function
#excluded value
A \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
B \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
C \(\mathbb{R}\)
D \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)
Step 1
Concept
भिन्न में हर शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator of a fraction must not be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x+1=0) से (x=-1) मिलता है। / (x+1=0) gives (x=-1).
Step 3
Exam Tip
प्रांत निकालते समय सबसे पहले हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएँ। / To find the domain, first remove values that make the denominator zero.
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यदि (f(x)=\sqrt{x+1}) और (g(x)=\frac{1}{x-2}), तो (\(g\circ f\)(x)) का वास्तविक प्रान्त कौन-सा होगा?
If (f(x)=\sqrt{x+1}) and (g(x)=\frac{1}{x-2}), what is the real domain of (\(g\circ f\)(x))?
#composition
#domain
#radical function
#rational function
A \([-1,\infty\)-{3})
B \([-1,\infty\))
C (R-{3})
D (\(3,\infty\))
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Correct Answer
A. \([-1,\infty\)-{3})
Step 1
Concept
पहले (f(x)=\sqrt{x+1}) के लिए \(x+1\ge0\), इसलिए \(x\ge-1\)। / First, for (f(x)=\sqrt{x+1}), we need \(x+1\ge0\), so \(x\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}) होगा, इसलिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। / (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}), so the denominator must not be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+1}=2\) से (x=3), अतः प्रान्त \([-1,\infty\)-{3}) है। / \(\sqrt{x+1}=2\) gives (x=3), hence the domain is \([-1,\infty\)-{3}).
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