Level 31 • 7/50 questions • 40 seconds per question.
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What is the value of \(\sin^{-1}1\)?
B. \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\frac{\pi}{2}=1\) और \(\frac{\pi}{2}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) and \(\frac{\pi}{2}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{\pi}{2}\).
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What is the principal value of \(\cot^{-1}0\)?
C. \(\frac{\pi}{2}\)
\(\cot\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\) परिसर (\left\(0,\pi\right\)) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\cot\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\) lies in (\left\(0,\pi\right\)), the value is \(\frac{\pi}{2}\).
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If \(y=\sin^{-1}x\), what does it mean?
A. \(\sin y=x\)
\(\sin^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\sin\) मान (x) हो। इसलिए \(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin y=x\) है। / The expression \(\sin^{-1}x\) gives the angle whose \(\sin\) value is (x). So \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\).
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What happens when (x=2) is used in \(\sin^{-1}x\)?
B. परिभाषित नहीं होगाIt is not defined
\(\sin^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है और \(2\notin\left[-1,1\right]\)। इसलिए यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and \(2\notin\left[-1,1\right]\). Hence it is not defined.
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Which of the following statements is correct about \(\tan^{-1}5\)?
B. यह परिभाषित है — इसका मान किसी सीमित कोण के समान है जो \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता हैIt is defined — equal to a finite angle in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)
विलोम फलन \(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं \(x\in\mathbb{R}\) के लिए परिभाषित होता है और इसका प्रधान मान (principal value) दायरा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) निश्चित रूप से परिभाषित है और किसी सीमित वास्तविक कोण के बराबर है जो उपर्युक्त खुला अन्तराल में आता है। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\tan\theta\) के लिए \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) पर अनियतता (vertical asymptote) होती है और arctan उस सीमा बिंदु को कभी ग्रहण नहीं करता। विकल्प \(\pi\) भी गलत है क्योंकि arctan का प्रधान मान \(\pi\) नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(\tan^{-1}x\) की डोमेन और रेंज याद रखें — domain = all real numbers, range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)। / The inverse tangent function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number \(x\in\mathbb{R}\) and its principal value lies in the interval \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined and equals a finite angle inside that open interval. The choice \(\tfrac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\tan\theta\) has a vertical asymptote at \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) and arctan never attains that endpoint; \(\pi\) is also impossible since arctan’s principal value cannot be \(\pi\). Exam tip: memorize domain = all real numbers and range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) for \(\tan^{-1}x\).
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What type of function is \(\sin^{-1}x\)?
A. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनInverse trigonometric function
\(\sin^{-1}x\) \(\sin x\) का उपयुक्त शाखा पर व्युत्क्रम है। इसलिए यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन है। / The function \(\sin^{-1}x\) is the inverse of \(\sin x\) on a suitable branch. Hence it is an inverse trigonometric function.
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What is the correct meaning of the exponent (-1) in \(\sin^{-1}x\)?
B. यह \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन हैIt is the inverse function of \(\sin x\)
\(\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन है, प्रतिलोम \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं। यह एक महत्वपूर्ण गलती है। / The notation \(\sin^{-1}x\) means the inverse function of \(\sin x\), not the reciprocal \(\frac{1}{\sin x}\). This is an important mistake to avoid.
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