Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए principal value \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\tan^{-1}x\) का उत्तर (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) में दें। / \(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Give the answer of \(\tan^{-1}x\) in (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\).
\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The answer of \(\cos^{-1}x\\) is not negative.
\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(-\frac{\pi}{3}\) है। \(\sin^{-1}x\) का उत्तर हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), so the principal value is -\(\frac{\pi}{3}\). Keep the answer of \(\sin^{-1}x\) in \(-[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
\(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) का उत्तर \([0,\pi]\) में दें। / \(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), so \(\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}\). Give the answer of \(\cos^{-1}x) in ([0,\pi]\).
\(\tan^{-1}x\) का principal range \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) है। \(\tan\) period वाला है, इसलिए principal interval जरूरी है। / The principal range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)). Since \(\tan\) is periodic, the principal interval is necessary.
\(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) हो। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / \(\sin^{-1}x\) is defined only when \(x\in[-1,1]\). Always check the domain first in exams.
\(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) से \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए \(y=\frac{\pi}{3}\) है। \(\csc^{-1}\) को \(\sin^{-1}\) से जोड़कर हल करें। / From \(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), so \(y=\frac{\pi}{3}\). Solve \(\csc^{-1}\) by relating it to \(\sin^{-1}\).
\(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर हमेशा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में रखें। / Since \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). Keep the answer in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
\(\sec y=-\sqrt{2}\) से \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए मुख्य मान \(y=\frac{3\pi}{4}\) है। \(\sec^{-1}\) में चिह्न से चतुर्थांश तय करें। / From \(\sec y=-\sqrt{2}\), \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), so the principal value is \(y=\frac{3\pi}{4}\). For \(\sec^{-1}\), decide the quadrant from the sign.
\(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर मुख्य परिसर में होना चाहिए। / Since \(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). The answer must lie in the principal range.
\(\csc y=-2\) से \(\sin y=-\frac{1}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(y=-\frac{\pi}{6}\) है। \(\csc^{-1}\) का परिसर याद रखें। / From \(\csc y=-2\), \(\sin y=-\frac{1}{2}\), so the principal value is \(y=-\frac{\pi}{6}\). Remember the range of \(\csc^{-1}\).
\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए। / Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\)। कोण को हमेशा \(\left[0,\pi\right]\) में लाएं। / Since \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}\), \(\cos^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\). Always bring the angle into \(\left[0,\pi\right]\).
\(\tan^{-1}x\) का परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है और (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) and (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1). Keep the quadrant in mind.
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
\(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। / We have \(tan\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Thus \(tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। हमेशा मुख्य परिसर का कोण चुनें। / Since \(sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Always choose the angle in the principal range.
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) है। इसलिए \(\csc\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\) और मुख्य मान (principal value) की परिभाषा के अनुसार \(\csc^{-1}x\) का मान \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) पर लिया जाता है। इस रेंज में सही कोण \(-\tfrac{\pi}{6}\) है। अन्य विकल्पों पर: \(\tfrac{\pi}{6}\) और \(\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए \(\csc=+2\) होगा, जबकि \(-\tfrac{5\pi}{6}\) के लिए भी \(\csc=-2\) मिलता है पर वह मुख्य रेंज में नहीं आता। परीक्षा-टिप: \(\csc^{-1}x\) को \(\sin^{-1}(1/x)\) की तरह बदलकर और मुख्य रेंज याद रखकर जल्दी हल करें। / Use \(\csc\theta=1/\sin\theta\). Since \(\sin(-\pi/6)=-1/2\), we have \(\csc(-\pi/6)=-2\). The usual principal range for \(\csc^{-1}x\) is \([-\pi/2,\pi/2]\setminus\{0\}\), so the principal value is \(-\pi/6\). Why others are wrong: \(\pi/6\) and \(5\pi/6\) give \(+2\), not \(-2\); \(-5\pi/6\) also gives \(-2\) but lies outside the principal range. Exam tip: convert to \(\sin^{-1}(1/x)\) and check the principal-range restriction to choose the correct sign and angle.
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
\(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए सही है। परीक्षा में यह मूल पहचान याद रखें। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is true for all \(x\in\left[-1,1\right]\). Remember this basic identity for exams.
\(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) है और \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\)। मुख्य परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) याद रखें। / We have \(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\). Remember the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मुख्य मान हमेशा निर्धारित परिसर में लेना चाहिए। / Since \(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Always choose the principal range value.
\(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Hence the value is \(\frac{\pi}{6}\).
यदि \(\csc y=1\) तो \(\sin y=1\) होता है। \(\sin y=1\) का सामान्य हल \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)) है। inverse cosec (arccosec) का प्रधान मान प्रायः \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) में लिया जाता है, और इस श्रेणी का एकमात्र समाहित हल \(\frac{\pi}{2}\) है। अतः \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\)। निकट की ग़लत विकल्पों के बारे में: \(0\) पर \(\csc\) परिभाषित नहीं है; \(-\frac{\pi}{2}\) पर \(\csc=-1\) होता है; और \(\pi\) पर \(\sin\pi=0\) होने से \(\csc\) परिभाषित नहीं। परीक्षा टिप: arccosec के प्रधान मान और \(\csc y\) को \(\sin y\) से जोडकर सामान्य हल याद रखें। / If \(\csc y=1\) then \(\sin y=1\). The general solution of \(\sin y=1\) is \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). The principal value for \(cosec^{-1}x\) is usually taken in \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\), and the only solution in this interval is \(\frac{\pi}{2}\). Therefore \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\). About distractors: \(0\) is not allowed (\(\csc\) undefined), \(-\frac{\pi}{2}\) gives \(\csc=-1\), and at \(\pi\) \(\sin\pi=0\) so \(\csc\) is undefined. Exam tip: convert \(\csc y=\) value to \(\sin y=\) value and then pick the principal value from the defined range.
परिभाषा और रेंज: आमतौर पर \(\sec^{-1}x\) (arcsec) की प्रमुख माननी रेंज \([0,\pi]\), पर \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\) ली जाती है।\nकारण: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\)। \(\cos\pi=-1\) होने से \(\sec\pi= -1\)। अतः प्रमुख मान के अनुसार \(\sec^{-1}(-1)=\pi\)।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(0\) पर \(\sec0=1\) (इसलिए गलत)। \(\tfrac{\pi}{2}\) पर \(\sec\) परिभाषित नहीं है (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\))। \(-\pi\) पर भी \(\sec(-\pi)=-1\) होता है पर \(-\pi\) प्रमुख रेंज \([0,\pi]\) में नहीं आता, इसलिए arcsec का मान \(-\pi\) नहीं माना जाता।\nइम्तिहानी सुझाव: इन्वर्स त्रिकोणमितीय फलनों में हमेशा फंक्शन की प्रमुख रेंज याद रखें और उस रेंज के भीतर कोण चुनें। / Definition and range: The principal value of \(\sec^{-1}x\) (arcsec) is usually taken as \([0,\pi]\) with \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\).\nReason: \(\sec\theta=1/\cos\theta\). Since \(\cos\pi=-1\), we have \(\sec\pi=-1\). Therefore the principal value \(\sec^{-1}(-1)=\pi\).\nWhy other options fail: At \(0\), \(\sec0=1\). \(\tfrac{\pi}{2}\) is not allowed because \(\sec\) is undefined there (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\)). Although \(\sec(-\pi)=-1\) algebraically, \(-\pi\) is not in the principal range, so it is not the inverse's value.\nExam tip: Always check the principal-value range for inverse trig functions before selecting the angle.
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(0,\pi\right\)) में लिया जाता है। याद रखें कि \(\cot^{-1}x\) में दोनों सिरे नहीं आते। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in (\left\(0,\pi\right\)). Remember that both endpoints are excluded.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints are not included.
