यदि \(y=\sin^{-1}x\) है, तो \(x\) का सही परिभाषा-क्षेत्र (domain) क्या होगा?

Correct Answer: A. \(x\in[-1,1]\). Explanation: \(\sin^{-1}x\) (arcsin) उसी समय परिभाषित होता है जब \(x\) साइन फलन के संभावित मानों में हो। किसी भी वास्तविक \(y\) के लिए \(\sin y\) का मान केवल \([-1,1]\) में आता है, और प्राथमिक शाखा के लिए \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) पर भी \(\sin y=\pm1\) संभव है। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) (यह कारण विकल्प A को सही बनाता है)। विकल्प B गलत है क्योंकि यह अंत-बिंदु \(\pm1\) को छोड़ देता है जबकि \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) परिभाषित हैं। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं: C में सभी वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं जो संभव नहीं हैं, और D एक कोण अंतराल है न कि \(x\) के लिए योग्य वास्तविक मानों का सेट। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse trigonometric फलन की domain जानने के लिए पहले मूल trigonometric फलन की range याद रखें। / \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is defined only when \(x\) lies within the range of the sine function. For real \(y\), \(\sin y\) takes values only in \([-1,1]\); moreover on the principal branch \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) the values \(\pm1\) also occur. Thus \(\sin^{-1}x\) is defined exactly for \(x\in[-1,1]\), so option A is correct. Option B is incorrect because it excludes the endpoints \(\pm1\), but \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) are valid. Options C and D are clearly wrong: C allows all real numbers (not possible), and D gives an angle interval, not valid values of \(x\). Exam tip: to find the domain of an inverse trig function, first recall the range of the original trig function (e.g., range(sin) = [-1,1]).