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distinct-real-roots MCQ Questions for Class 10

distinct-real-roots se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

6 questions tagged with distinct-real-roots.

Question 1/6 Medium Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 39

यदि समीकरण \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) के दो असमान वास्तविक मूल हों, तो \\(k\\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the equation \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) has two distinct real roots, which condition on \\(k\\) is correct?

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Correct Answer

A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) याor \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).

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Question 2/6 Medium Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

यदि \\(2x^2+(k+1)x+3=0\\) के दो असमान वास्तविक मूल हों, तो \\(k\\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If \\(2x^2+(k+1)x+3=0\\) has two distinct real roots, which condition on \\(k\\) is correct?

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Correct Answer

A. \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)\\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \\(a=2, b=k+1, c=3\\) हैं, इसलिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\) होगा। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है। अतः \\((k+1)^2>24\\), जिससे \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) या \\(k+1>2\\sqrt{6}\\), अर्थात \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए “असमान” मूलों के लिए सदैव \\(D>0\\) लें। / For the quadratic equation, \\(a=2, b=k+1, c=3\\), so the discriminant is \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\). Hence \\((k+1)^2>24\\), which gives \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) or \\(k+1>2\\sqrt{6}\\). Therefore, \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: \\(D=0\\) gives equal roots; therefore, use \\(D>0\\) for distinct real roots.

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Question 3/6 Expert Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 29

यदि समीकरण \(x^2-16x+k=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2-16x+k=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(k\)?

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A. \(k<64\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\) है। अतः \(256-4k>0\), जिससे \(k<64\) प्राप्त होता है। \(k=64\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Thus, \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). At \(k=64\), the discriminant is zero and the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: For real and distinct roots, always apply the condition \(D>0\).

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Question 4/6 Expert Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 28

समीकरण \(x^2-12x+k=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2-12x+k=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(k\)?

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Correct Answer

A. \(k<36\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\)। इससे \(k<36\) प्राप्त होता है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “वास्तविक और भिन्न” मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are real and distinct only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is greater than zero. Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\). Therefore, \(k<36\). When \(k=36\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: For “real and distinct” roots, always apply \(D>0\).

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Question 5/6 Hard Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 30

समीकरण \(x^2-8x+k=0\) के मूल वास्तविक और अलग-अलग हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2-8x+k=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(k\)?

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A. \(k<16\)

Explanation

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द्विघात समीकरण में वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-8, c=k\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\)। शर्त \(64-4k>0\) से \(k<16\) प्राप्त होता है। \(k=16\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1, b=-8, c=k\), so \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\). Thus, \(64-4k>0\), which gives \(k<16\). When \(k=16\), the roots are equal, so option B is incorrect. Exam tip: use \(D>0\) specifically for distinct real roots.

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Question 6/6 Hard Mathematics Quadratic Equations Introduction to Quadratic Equations Class 10 Level 29

यदि समीकरण \(x^2-6x+k=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(k\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2-6x+k=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(k\)?

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Correct Answer

A. \(k<9\)

Explanation

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द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\), \(c=k\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k>0\), जिससे \(k<9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=k\), so \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Thus, \(36-4k>0\), which gives \(k<9\). At \(k=9\), the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: for two distinct real roots, always require \(D>0\).

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