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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Medium Level 39

यदि समीकरण \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) के दो असमान वास्तविक मूल हों, तो \\(k\\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the equation \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) has two distinct real roots, which condition on \\(k\\) is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) याor \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).

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यदि समीकरण \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) के दो असमान वास्तविक मूल हों, तो \\(k\\) के लिए कौन-सी शर्त सही है? / If the equation \\(3x^2+(k-2)x+4=0\\) has two distinct real roots, which condition on \\(k\\) is correct?

Correct Answer: A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या / or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Explanation: द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).