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B. विरोध की तीव्रता और क्षेत्रफल/Intensity of contrast and area
Explanation
Simple Explanation
पूरक रंग बड़े क्षेत्र में बहुत तीखे लग सकते हैं। परीक्षा में contrast control याद रखें। / Complementary colours can look very sharp in large areas. Exam tip: remember contrast control.
(l-b=8) और (l+b=36) से (l=22), (b=14) मिलता है। परीक्षा में क्षेत्रफल के लिए \(l\times b\) लगाना न भूलें। / From (l-b=8) and (l+b=36), we get (l=22), (b=14). In exams, do not forget to use \(l\times b\) for area.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+5\) मीटर होगी और \(x(x+5)=336\), अर्थात् \(x^2+5x-336=0\)। इसका गुणनखंडन \((x+21)(x-16)=0\) है, इसलिए \(x=16\) या \(x=-21\)। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः सही उत्तर 16 मीटर है। परीक्षा-युक्ति: लंबाई या चौड़ाई से संबंधित द्विघात समीकरण में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) m. Then the length is \(x+5\) m, so \(x(x+5)=336\), giving \(x^2+5x-336=0\). Factoring, \((x+21)(x-16)=0\), so \(x=16\) or \(x=-21\). Since a breadth cannot be negative, the correct answer is 16 m. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a physical length.
मान लीजिए आयत की चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+4\) मीटर होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+4)=96\), अर्थात् \(x^2+4x-96=0\)। इसका गुणनखंड \((x-8)(x+12)=0\) है, इसलिए \(x=8\) या \(x=-12\)। लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई 8 मीटर है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले आयत के प्रश्नों में पहले एक आयाम को \(x\) मानकर दूसरे आयाम को दिए गए संबंध के अनुसार लिखें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) metres. Then its length is \(x+4\) metres. Using the area, \(x(x+4)=96\), so \(x^2+4x-96=0\). Factoring gives \((x-8)(x+12)=0\), hence \(x=8\) or \(x=-12\). Since a length cannot be negative, the breadth is 8 metres. Exam tip: In rectangle word problems, assign a variable to one dimension and express the other using the given relationship before applying the area formula.
यदि चौड़ाई (x) है तो (x(x+5)=150) से (x=10) मिलता है। शब्द प्रश्न में पहले चर सही मानें। / If breadth is (x), then (x(x+5)=150), so (x=10). In word problems choose the variable carefully first.
छोटी भुजा की लंबाई \(x\) cm मानें। तब बड़ी भुजा \((x+9)\) cm होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+9)=252\), अर्थात \(x^2+9x-252=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+21)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-21\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः छोटी भुजा \(12\text{ cm}\) है। परीक्षा-युक्ति: आयत की लंबाइयों के लिए प्राप्त ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the smaller side be \(x\) cm. Then the larger side is \((x+9)\) cm. Using the area, \(x(x+9)=252\), so \(x^2+9x-252=0\). Factoring gives \((x-12)(x+21)=0\), yielding \(x=12\) or \(x=-21\). Since a length cannot be negative, the smaller side is \(12\text{ cm}\). Exam tip: Always reject a negative root when solving for a physical length.
एक पार्क की लंबाई चौड़ाई से (12 m) अधिक है। पार्क के अंदर चारों ओर (2 m) चौड़ा रास्ता है और रास्ते का क्षेत्रफल \(184 m^2\) है। पार्क की चौड़ाई क्या है?
चौड़ाई (x) और लंबाई (x+12) हो, तो रास्ते का क्षेत्रफल (x(x+12)-(x-4)(x+8)=184)। इससे (8x+32=184), इसलिए (x=19) नहीं; यहाँ सही चौड़ाई (24 m) हेतु रास्ते का क्षेत्रफल \(224 m^2\) होगा। / Let breadth be (x) and length (x+12), then path area is (x(x+12)-(x-4)(x+8)). The given values should give (8x+32); for (24 m), the path area is (224 m\(^2).\)
वर्ग की भुजा (x) हो, तो शेष क्षेत्रफल (x(x-3)=70)। इससे \(x^2-3x-70=0\), इसलिए (x=10)। / Let the square side be (x), then the remaining area is (x(x-3)=70). This gives \(x^2-3x-70=0\), so (x=10).
चौड़ाई (x) हो, तो (x-2+(x+7)2=172)। \(इससे (x=8), लंबाई (15) और क्षेत्रफल (120\) cm-2) है। \(/ Let breadth be (x), then (x^2+(x+7)^2=17^2). This gives (x=8), length (15), and area (120\) cm\(^2).\)
एक आयताकार फोटो की लंबाई चौड़ाई से (7 cm) अधिक है। उसके चारों ओर (1 cm) चौड़ा फ्रेम लगाने पर कुल क्षेत्रफल \(180 cm^2\) हो जाता है। फोटो की चौड़ाई क्या है?
फोटो की चौड़ाई (x) हो, तो बाहरी माप ((x+2)) और ((x+9)) हैं। ((x+2)(x+9)=180) से (x=9)। / Let the photo breadth be (x), so outer dimensions are ((x+2)) and ((x+9)). From ((x+2)(x+9)=180), we get (x=9).
मैदान की भुजा (x m) हो, तो बाहरी भुजा (x+4) होगी और ((x+4)2=196)। इसलिए (x=10)। / Let the side of the field be (x m\(), so the outer side is (x+4) and ((x+4)^2=196). Hence (x=10).\)
मान लें चौड़ाई (x m) है, तब (x(x+5)=300), इसलिए (x=15)। परीक्षा में ऋणात्मक माप को अस्वीकार करें। / Let the breadth be (x m\(), so (x(x+5)=300), giving (x=15). In exams, reject the negative dimension.\)
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+23)=2220), जिससे (x=37) है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / If breadth is (x), then (x(x+23)=2220), giving (x=37). For a rectangle, use the product of length and breadth for area.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 15 मीटर अधिक है। यदि लंबाई में 6 मीटर और चौड़ाई में 5 मीटर की वृद्धि की जाए, तो नया क्षेत्रफल 1944 वर्ग मीटर हो जाता है। आयत की मूल चौड़ाई लगभग कितनी है?
मूल चौड़ाई को x मीटर मानें। तब मूल लंबाई x+15 मीटर होगी। वृद्धि के बाद लंबाई x+21 और चौड़ाई x+5 हो जाएगी, इसलिए \((x+21)(x+5)=1944\)। विस्तार करने पर \(x^2+26x-1839=0\) मिलता है। इसका धनात्मक हल \(x=-13+2\sqrt{502}\approx31.81\) है। ऋणात्मक हल लंबाई या चौड़ाई के लिए मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: आयामों से जुड़े प्रश्नों में पहले चर निर्धारित करके बदले हुए आयामों का गुणनफल क्षेत्रफल के बराबर रखें। / Let the original breadth be x m. Then the original length is x+15 m. After the increases, the length is x+21 m and the breadth is x+5 m, so \((x+21)(x+5)=1944\). On simplifying, \(x^2+26x-1839=0\), whose positive solution is \(x=-13+2\sqrt{502}\approx31.81\). The negative solution is not valid for a length or breadth. Exam tip: In dimension-change problems, define one dimension as x and equate the product of the changed dimensions to the new area.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब उसकी लंबाई \(x+16\) सेमी होगी। क्षेत्रफल से \(x(x+16)=2145\), अर्थात \(x^2+16x-2145=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-39)(x+55)=0\) है। इसलिए \(x=39\) सेमी लिया जाएगा, क्योंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। अतः लंबाई \(39+16=55\) सेमी है। परीक्षा में आयामों से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+16\) cm. Using the area, \(x(x+16)=2145\), so \(x^2+16x-2145=0\). Factoring gives \((x-39)(x+55)=0\). Since a breadth cannot be negative, \(x=39\) cm. Therefore, the length is \(39+16=55\) cm. Exam tip: reject any negative root when the variable represents a physical dimension.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+21)=1870), जिससे (x=34) है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / If breadth is (x), then (x(x+21)=1870), giving (x=34). For a rectangle, use the product of length and breadth for area.
मान लें कि आयत की चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+18\) सेमी होगी और \(x(x+18)=1240\)। इससे \(x^2+18x-1240=0\), अतः \(x=-9\pm\sqrt{1321}\)। धनात्मक मान लेने पर चौड़ाई \(\sqrt{1321}-9\) सेमी और लंबाई \(x+18=9+\sqrt{1321}\) सेमी प्राप्त होती है। इसलिए विकल्प D सही है। परीक्षा में आयामों के लिए सदैव धनात्मक मूल ही चुनें; 31 सेमी को चौड़ाई मानना गलत है, क्योंकि \(31\times49=1519\), 1240 नहीं। / Let the breadth of the rectangle be \(x\) cm. Its length is then \(x+18\) cm, so \(x(x+18)=1240\). Thus, \(x^2+18x-1240=0\), giving \(x=-9\pm\sqrt{1321}\). Since a dimension must be positive, the breadth is \(\sqrt{1321}-9\) cm and the length is \(x+18=9+\sqrt{1321}\) cm. Therefore, option D is correct. In an exam, select only the positive root for a physical dimension; 31 cm is not correct because \(31\times49=1519\), not 1240.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+14)=1152), जिससे (x=32) मिलता है। क्षेत्रफल में लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / Taking breadth as (x), (x(x+14)=1152), giving (x=32). For area, multiply length and breadth.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) इकाई है। तब लंबाई \(x+6\) होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+6)=216\), अर्थात् \(x^2+6x-216=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+18)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-18\)। लंबाई या चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः चौड़ाई \(12\) इकाई है। परीक्षा-युक्ति: आयत के ऐसे प्रश्नों में पहले छोटी माप को \(x\) मानकर क्षेत्रफल का समीकरण बनाएँ। / Let the breadth be \(x\) units. Then the length is \(x+6\) units. Using the area, \(x(x+6)=216\), so \(x^2+6x-216=0\). Factoring gives \((x-12)(x+18)=0\), leading to \(x=12\) or \(x=-18\). Since a length cannot be negative, the breadth is \(12\) units. Exam tip: In rectangle word problems, assign \(x\) to the smaller dimension and form the area equation first.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+8)=1056), जिससे (x=32) मिलता है। आयामों की जाँच \(32 \times 40=1280\) नहीं, बल्कि सही गुणनफल से करें। / Taking breadth as (x), (x(x+8)=1056), giving (x=32). Check dimensions using the correct product.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+16)=576), जिससे (x=18) है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / Taking breadth as (x), (x(x+16)=576), giving (x=18). For a rectangle, use the product of length and breadth.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+3\) सेमी होगी और क्षेत्रफल के सूत्र से \(x(x+3)=154\), अर्थात् \(x^2+3x-154=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-11)(x+14)=0\) है, इसलिए \(x=11\) या \(x=-14\)। लंबाई और चौड़ाई धनात्मक होने के कारण \(-14\) मान्य नहीं है। अतः चौड़ाई 11 सेमी है। परीक्षा-युक्ति: आयाम से संबंधित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+3\) cm. Using the area formula, \(x(x+3)=154\), so \(x^2+3x-154=0\). Factoring gives \((x-11)(x+14)=0\), yielding \(x=11\) or \(x=-14\). Since length and breadth must be positive, \(-14\) is not physically valid. Therefore, the breadth is 11 cm. Exam tip: In dimension-based word problems, reject any negative root.
मान लें कि चौड़ाई x मीटर है। तब लंबाई (x + 14) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार x(x + 14) = 480, अर्थात x² + 14x − 480 = 0। इसका गुणनखंडन (x − 16)(x + 30) = 0 से x = 16 या x = −30 प्राप्त होता है। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, इसलिए चौड़ाई 16 मीटर है। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में पहले क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई लगाएँ और ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करें। / Let the breadth be x metres. Then the length is (x + 14) metres. Using area = length × breadth, we get x(x + 14) = 480, or x² + 14x − 480 = 0. Factoring gives (x − 16)(x + 30) = 0, so x = 16 or x = −30. Since a length cannot be negative, the breadth is 16 m. Exam tip: In rectangle word problems, first use area = length × breadth and reject any negative dimension.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+6)=135), जिससे (x=9) मिलता है। आयत में क्षेत्रफल के लिए लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लें। / Taking breadth as (x), (x(x+6)=135), giving (x=9). For a rectangle, take the product of length and breadth for area.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) मीटर है। तब लंबाई \(x+7\) मीटर होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+7)=260\), अर्थात \(x^2+7x-260=0\)। इसका गुणनखंड \((x-13)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=13\) या \(x=-20\)। लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, अतः चौड़ाई 13 मीटर है। परीक्षा में आयत के क्षेत्रफल के लिए लंबाई × चौड़ाई अवश्य लगाएँ। / Let the breadth be \(x\) metres. Then the length is \(x+7\) metres. Using area, \(x(x+7)=260\), so \(x^2+7x-260=0\). Factoring gives \((x-13)(x+20)=0\), hence \(x=13\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the breadth is 13 metres. Exam tip: for a rectangle, always use area = length × breadth.
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+10\) सेमी होगी और क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+10)=375\), अर्थात् \(x^2+10x-375=0\)। इसका गुणनखंड \((x-15)(x+25)=0\) है। इसलिए \(x=15\) या \(x=-25\); लंबाई-चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए चौड़ाई 15 सेमी है। 25 सेमी इस प्रश्न में लंबाई है, चौड़ाई नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त उत्तर को \(15\times25=375\) से जाँचें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+10\) cm, so the area condition gives \(x(x+10)=375\), or \(x^2+10x-375=0\). Factoring gives \((x-15)(x+25)=0\). Thus \(x=15\) or \(x=-25\); a dimension cannot be negative, so the breadth is 15 cm. The value 25 cm is the length, not the breadth. Exam tip: verify the result using \(15\times25=375\).
(x(x+5)=150) से चौड़ाई (10) और लंबाई (15) मिलती है। उत्तर पूछे गए आयाम के अनुसार दें। / (x(x+5)=150) gives breadth (10) and length (15). Give the answer according to the dimension asked.
चौड़ाई (x) लेने पर (x(x+4)=96) है, जिससे (x=8) मिलता है। क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में इकाई जरूर ध्यान रखें। / Taking breadth as (x), (x(x+4)=96), giving (x=8). In area questions, always note the unit.
चौड़ाई (x) हो तो (x(x+5)=84), जिससे (x=7) और लंबाई (12) है। लंबाई और चौड़ाई को अलग-अलग अंत में जाँचें। / If breadth is (x), then (x(x+5)=84), giving (x=7) and length (12). Check length and breadth separately at the end.
वर्ग की भुजा (x) हो तो \(x^2=169\), इसलिए (x=13) है। भुजा हमेशा धनात्मक ली जाती है। / If the side of the square is (x), then \(x^2=169\), so (x=13). A side length is always taken positive.
