Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मान लें कि त्रिभुज की ऊँचाई \(x\) सेमी है। तब उसका आधार \((x+4)\) सेमी होगा। क्षेत्रफल के सूत्र से \(\frac{1}{2}x(x+4)=60\), अर्थात् \(x^2+4x-120=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-10)(x+12)=0\) है, इसलिए \(x=10\) या \(x=-12\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः ऊँचाई \(10\) सेमी है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को लंबाई के लिए अस्वीकार करें। / Let the height of the triangle be \(x\) cm. Then its base is \((x+4)\) cm. Using the area formula, \(\frac{1}{2}x(x+4)=60\), which gives \(x^2+4x-120=0\). Factoring, \((x-10)(x+12)=0\), so \(x=10\) or \(x=-12\). Since a length cannot be negative, the height is \(10\) cm. Exam tip: Always reject a negative root when the variable represents a physical length.
मान लें कि त्रिभुज की ऊँचाई \(x\text{ cm}\) है। तब उसका आधार \((x+6)\text{ cm}\) होगा। क्षेत्रफल के सूत्र से \(\frac{1}{2}x(x+6)=140\), अतः \(x^2+6x-280=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-14)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=14\) या \(x=-20\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए ऊँचाई \(14\text{ cm}\) है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल के प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को हमेशा लंबाई के संदर्भ में अस्वीकार करें। / Let the height be \(x\text{ cm}\); then the base is \((x+6)\text{ cm}\). Using the triangle-area formula, \(\frac{1}{2}x(x+6)=140\), which gives \(x^2+6x-280=0\). Factoring, \((x-14)(x+20)=0\), so \(x=14\) or \(x=-20\). Since a length cannot be negative, the height is \(14\text{ cm}\). Exam tip: after solving a quadratic word problem, reject any root that is not physically meaningful.
त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र है \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\)। अतः \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\)। दोनों ओर को 2 से गुणा करने पर \((x+5)(x+9)=190\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+14x+45=190\) और सरल करने पर \(x^2+14x-145=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलती से क्षेत्रफल को सीधे \((x+5)(x+9)=95\) मानता है, जो आधा हटाने में त्रुटि है; विकल्प C और D में स्थायी पद गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा क्षेत्रफल का सूत्र लिखकर दोनों طرفों को 2 से गुणा करें ताकि सरल द्विघात समीकरण बन जाए। / Area of the triangle is given by \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). So \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\). Multiplying both sides by 2 gives \((x+5)(x+9)=190\). Expanding yields \(x^2+14x+45=190\), which simplifies to \(x^2+14x-145=0\); hence option A is correct. Option B is the common mistake of setting \((x+5)(x+9)=95\) (forgetting the factor 1/2). Options C and D have incorrect constant terms. Exam tip: write the area formula first and multiply by 2 immediately to avoid sign/constant errors when forming the quadratic.
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72\), अर्थात \((x+4)(x+8)=144\)। विस्तार करने पर \(x^2+12x+32=144\), इसलिए \(x^2+12x-112=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(144\) के स्थान पर \(72\) घटाया गया है, जो \(\frac{1}{2}\) का सही समायोजन नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले त्रिभुज प्रश्नों में \(\frac{1}{2}\) अवश्य लगाएँ। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72\), so \((x+4)(x+8)=144\). Expanding gives \(x^2+12x+32=144\), and therefore \(x^2+12x-112=0\). Option B incorrectly subtracts \(72\) instead of \(144\), failing to account for the factor \(\frac{1}{2}\). Exam tip: In triangle-area problems, do not forget the factor \(\frac{1}{2}\).
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55\), अर्थात् \((x+3)(x+7)=110\)। विस्तार करने पर \(x^2+10x+21=110\), जिससे \(x^2+10x-89=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में क्षेत्रफल के सूत्र का \(\frac{1}{2}\) वाला गुणक सही ढंग से नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को 2 से गुणा करके फिर विस्तार करें। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55\), so \((x+3)(x+7)=110\). Expanding gives \(x^2+10x+21=110\), and therefore \(x^2+10x-89=0\). Option B results from mishandling the factor \(\frac{1}{2}\) in the area formula. Exam tip: In triangle-area problems, first multiply both sides by 2 and then expand the product.
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। अतः \(\frac{1}{2}(x+2)(x+6)=40\), इसलिए \((x+2)(x+6)=80\)। विस्तार करने पर \(x^2+8x+12=80\), अर्थात् \(x^2+8x-68=0\)। विकल्प B में क्षेत्रफल के सूत्र का \(\frac{1}{2}\) कारक ठीक से नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले सूत्र लिखें, फिर कोष्ठकों का विस्तार करें। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Therefore, \(\frac{1}{2}(x+2)(x+6)=40\), giving \((x+2)(x+6)=80\). Expanding, \(x^2+8x+12=80\), so the required equation is \(x^2+8x-68=0\). Option B incorrectly uses 40 instead of 80 after removing the \(\frac{1}{2}\) factor. Exam tip: write the area formula first, then expand and collect all terms on one side.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30\), अर्थात \((x+1)(x+3)=60\)। विस्तार करने पर \(x^2+4x+3=60\), अतः \(x^2+4x-57=0\) प्राप्त होता है। विकल्प D में \(\frac{1}{2}\) का प्रभाव सही रूप से नहीं लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले \(\frac{1}{2}\) अवश्य शामिल करें, फिर कोष्ठक खोलें। / The area of a right triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30\), giving \((x+1)(x+3)=60\). Expanding, \(x^2+4x+3=60\), so the quadratic equation is \(x^2+4x-57=0\). Option D results from mishandling the factor \(\frac{1}{2}\). Exam tip: For triangle-area problems, include the factor \(\frac{1}{2}\) before expanding the algebraic expression.
एक समकोण त्रिभुज का आधार \(x\) सेमी और ऊँचाई \(x+2\) सेमी है। यदि उसका क्षेत्रफल \(24\text{ cm}^2\) है, तो \(x\) के लिए सही द्विघात समीकरण कौन-सा होगा?
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। अतः \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\)। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x(x+2)=48\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+2x-48=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 2 से गुणा करने का चरण छूट गया है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में सूत्र में \(\frac{1}{2}\) को ध्यान से शामिल करें। / The area of a right triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Therefore, \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\). Multiplying both sides by 2 gives \(x(x+2)=48\). On expanding, we get \(x^2+2x-48=0\), so option A is correct. Option B incorrectly misses the step of multiplying by 2. Exam tip: In area-based questions, carefully account for the \(\frac{1}{2}\) in the triangle-area formula.
