Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Quiz

A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction

A. पहले वर्ग करें, फिर दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करें/First square, then multiply both sides by \(y^2\)

A. (q) सम है/(q) is even

A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत/Principle of prime factor

A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false

A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd

A. \(9m^2=3b^2\)

A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता/A finite decimal approximation is not a proof

A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास/Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction

A. \(p^2=rq^2\)

A. (b) (3) से विभाज्य है/(b) is divisible by (3)

A. \(y^2=5n^2\)

A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form

A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)

A. \(5\mid y\)

A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality

A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं/We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary

A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)/If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)

A. दो बार/Twice

A. (3) और (5)/(3) and (5)

A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)

A. (\gcd(x,y)\ge5)

A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form

A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)

A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form

A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator

A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)

A. (2)

A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)

A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption

A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof

A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational

A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)

A. सम होना अकेले कारण नहीं है; प्रमाण में सरलतम भिन्न का विरोधाभास चाहिए/Being even alone is not the reason; the proof needs contradiction of a lowest-form fraction

A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)

A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor

A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है/If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even

A. (5) अभाज्य है/(5) is prime

A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है/Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)

A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं/When both (p) and (q) are proved even

A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational

A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है/\(b^2\) is divisible by (3)

A. क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय पूर्णांक है/Because \(\sqrt{4}=2\) is a rational integer

A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime

A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator

A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor

A. (x) अवश्य (25) से विभाज्य है/(x) is necessarily divisible by (25)

A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें/Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order

A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना/To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction