\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि कोई \(5\mid a^2\) से (a=25k) लिख दे, तो गलती क्या है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if someone writes (a=25k) from \(5\mid a^2\), what is the mistake?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#overclaim
A \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
B \(5\mid a^2\) से (a) विषम होता है / From \(5\mid a^2\), (a) is odd
C \(5\mid a^2\) से (a=0) होता है / From \(5\mid a^2\), (a=0)
D \(5\mid a^2\) से (b=5) होता है / From \(5\mid a^2\), (b=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
Step 1
Concept
अभाज्य नियम से \(5\mid a^2\) होने पर \(5\mid a\) मिलता है। / By the prime rule, \(5\mid a^2\) gives \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a=5k) लिखना सही है, (a=25k) आवश्यक नहीं। / So (a=5k) is correct, but (a=25k) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में अतिरिक्त दावा करने से बचें। / Avoid making extra claims in proofs.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) तक जाने में कौन-सा गलत छोटा रास्ता है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), which shortcut from \(p^2=3q^2\) to (p=3k) is wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#variables
A पहले \(3\mid p^2\), फिर \(3\mid p\), फिर (p=3k) / First \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\), then (p=3k)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य नियम लगाएँ / \(p^2\) is divisible by (3), so apply the prime rule
C \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
D (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) / (3) is prime, so \(3\mid p\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है, न कि सीधे (p=3q)। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), not directly (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है और फिर (p=3k) लिखा जाता है। / The correct conclusion is \(3\mid p\), then (p=3k).
Step 3
Exam Tip
वर्ग हटाते समय मन से बराबरी न बना दें। / Do not create an unsupported equality while removing squares.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष तुरंत गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after showing (a) is divisible by (5) from \(a^2=5b^2\), which conclusion would be immediately wrong?
#real-numbers
#root5
#overclaim
#error-analysis
A (a=5k) लिखा जा सकता है / (a=5k) can be written
B \(5\mid a\) है / \(5\mid a\)
C (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
D (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें। / Write only the conclusion that is actually proved.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद यदि कोई \(q^2=4k^2\) लिखता है, तो सही सुधार क्या होगा?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if someone writes \(q^2=4k^2\) after putting (p=2k), what is the correct correction?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#algebra
A \(q^2=k^2\) होना चाहिए / It should be \(q^2=k^2\)
B \(q=2k^2\) होना चाहिए / It should be \(q=2k^2\)
C \(q^2=8k^2\) होना चाहिए / It should be \(q^2=8k^2\)
D \(q^2=2k^2\) होना चाहिए / It should be \(q^2=2k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(q^2=2k^2\) होना चाहिए / It should be \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) बनता है। / Substituting (p=2k) in \(p^2=2q^2\) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है। / Dividing both sides by (2) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय सरलीकरण में गुणक ठीक से घटाएँ। / Reduce factors carefully during algebraic simplification.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(x^2=5y^2\) से (x) के बारे में गलत निष्कर्ष देता है?
Which option gives an incorrect conclusion about (x) from \(x^2=5y^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#overclaim
A (x) अवश्य (25) से विभाज्य है / (x) is necessarily divisible by (25)
B \(x^2\) (5) से विभाज्य है / \(x^2\) is divisible by (5)
C (x) (5) से विभाज्य है / (x) is divisible by (5)
D (x=5m) लिखा जा सकता है / (x=5m) can be written
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Correct Answer
A. (x) अवश्य (25) से विभाज्य है / (x) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
\(x^2=5y^2\) से \(5\mid x^2\) और फिर \(5\mid x\) मिलता है। / From \(x^2=5y^2\), we get \(5\mid x^2\) and then \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean that (x) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
जितना निष्कर्ष सिद्ध हो, उतना ही लिखें। / Write only what is proved.
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यदि \(p^2=2q^2\) में (p=2k) रखने पर कोई \(q^2=4k^2\) लिखता है, तो गलती कहाँ है?
If someone writes \(q^2=4k^2\) after putting (p=2k) in \(p^2=2q^2\), where is the mistake?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#algebra
A \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया / \(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
B (p=2k) लिखना ही गलत है / Writing (p=2k) itself is wrong
C (q) हमेशा शून्य होता है / (q) is always zero
D (k) अवश्य (2) है / (k) must be (2)
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Correct Answer
A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया / \(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)
Step 1
Concept
(p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / Putting (p=2k) gives \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। / Dividing both sides by (2) gives \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण की गलती प्रमाण को गलत बना देती है। / A simplification error can spoil the proof.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि कोई \(3\mid a^2\) से सीधे (a=3b) लिख दे, तो गलती क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if someone writes (a=3b) directly from \(3\mid a^2\), what is the mistake?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#variables
A (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं / We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
B \(3\mid a^2\) से (a) विषम होता है / \(3\mid a^2\) makes (a) odd
C (a) और (b) हमेशा बराबर होते हैं / (a) and (b) are always equal
D (b) शून्य होना चाहिए / (b) must be zero
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Correct Answer
A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं / We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
Step 1
Concept
\(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। / From \(3\mid a^2\), we get \(3\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a=3k) लिखना सही है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है; (k) को (b) मानना जरूरी नहीं। / So (a=3k) is correct, where (k) is an integer; it is not necessary that (k=b).
Step 3
Exam Tip
नए सहायक चर का प्रयोग सुरक्षित रहता है। / Using a new helper variable is safer.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे गंभीर त्रुटि है?
Which option is the most serious error in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) / After squaring, \(p^2=2q^2\)
D (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने पर (p) सम होना चाहिए। / If \(p^2\) is even, then (p) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में छोटी तार्किक गलती पूरी दलील बदल सकती है। / In proofs, a small logical error can change the whole argument.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन सही नहीं है?
Which statement is not correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#divisibility
A \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
B \(5\mid p^2\) से \(5\mid p\) होगा / From \(5\mid p^2\), \(5\mid p\)
C (p=5k) लिखा जा सकता है / (p=5k) can be written
D अंत में \(5\mid q\) भी मिलेगा / Finally \(5\mid q\) will also be obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
Step 1
Concept
\(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। / From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। / This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).
Step 3
Exam Tip
चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें। / Do not create an unsupported relation between variables.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत तर्क दिखाता है?
Which option shows an incorrect argument in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\) implies \(p^2\) is even
C (p) सम है तो (p=2r) / If (p) is even, then (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) से (q) सम है / \(q^2=2r^2\) implies (q) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। / If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें। / In error-based questions, check small rules carefully.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#coprime
#hard
A \(5\mid a^2\) से \(5\mid a\) / From \(5\mid a^2\), \(5\mid a\)
B (a=5k) रखने पर \(5\mid b^2\) / After putting (a=5k), \(5\mid b^2\)
C \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) / From \(5\mid b^2\), \(5\mid b\)
D \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। / \(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। / Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है। / So coprimality is not proved; a contradiction is obtained.
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यदि कोई लिखता है \(p^2=3q^2\) इसलिए (p=3q), तो यह गलती क्यों है?
If someone writes \(p^2=3q^2\), therefore (p=3q), why is this wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#squaring
#hard
A वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
B क्योंकि \(3q^2\) हमेशा शून्य होता है / Because \(3q^2\) is always zero
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि \(p^2\) कभी \(3q^2\) नहीं हो सकता / Because \(p^2\) can never equal \(3q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। / The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें। / Be careful when removing squares in a proof.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
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Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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