\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(3\mid p\) and then \(3\mid q\), which statement would be false?
#real-numbers
#root3
#false-statement
#coprime
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are both divisible by (3)
B (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
C (3) साझा गुणनखंड है / (3) is a common factor
D \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। / \(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। / With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime becomes false.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा कथन अनावश्यक है?
Which statement is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=3q^2\) बनाना / Forming \(p^2=3q^2\)
D \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दिखाना / Showing \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। / The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें। / Avoid unnecessary decimals in exams.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंत में कौन-सी असंभव स्थिति बनती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what impossible situation would appear at the end of the proof?
#real-numbers
#root3
#impossible-result
#contradiction
A सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
B हर शून्य हो जाता / The denominator would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) सम संख्या बन जाती / (3) would become even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। / The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है। / This is impossible in lowest form, so the assumption is false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(9k^2=3q^2\) मिला। इसे सरल करने का सही तरीका क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), \(9k^2=3q^2\) is obtained. What is the correct simplification?
#real-numbers
#root3
#algebra
#simplification
A दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना / Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
B दोनों पक्षों को (9) से भाग देकर \(q^2=k^2\) पाना / Divide both sides by (9) to get \(q^2=k^2\)
C दोनों पक्षों को \(q^2\) से भाग देकर (q=3) पाना / Divide both sides by \(q^2\) to get (q=3)
D दोनों पक्षों को (k) से भाग देकर (p=q) पाना / Divide both sides by (k) to get (p=q)
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Correct Answer
A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना / Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। / In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ। / Remove only valid common factors while simplifying.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If both (p) and (q) are found divisible by (3) in proving \(\sqrt{3}\) irrational, which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#real-numbers
#root3
#lowest-form
#fraction
A यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
B यह हमेशा (3) के बराबर है / It is always equal to (3)
C यह हमेशा शून्य है / It is always zero
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता / It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसी स्थिति संभव नहीं होती। / Such a situation is impossible in lowest form.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने का सरल कारण क्या है?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), what is the simple reason that \(p^2\) is divisible by (3)?
#real-numbers
#root3
#equation-analysis
#divisibility
A क्योंकि (q=3) है / Because (q=3)
B क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
C क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है / Because the right side is a multiple of (3)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है / Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
\(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें। / Then use the prime rule to write \(3\mid p\).
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सा विचार समान है?
Which idea is common in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A दोनों में दशमलव विस्तार से निष्कर्ष मिलता है / Both use decimal expansion for the conclusion
B दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
C दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिलता है / In both, (2) is the common factor
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है। / The prime factor changes, but the contradiction structure is the same.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का अंतिम वाक्य सबसे ठीक है?
Which option gives the most appropriate final sentence for the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
A अतः (3) अपरिमेय है / Hence (3) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}=3\) / Hence \(\sqrt{3}=3\)
C अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। / The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। / That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) मिला, तो (p=3k) लिखते समय (k) के बारे में क्या सही है?
If \(3\mid p\) is obtained from \(p^2=3q^2\), what is correct about (k) when writing (p=3k)?
#real-numbers
#root3
#helper-variable
#divisibility
A (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
B (k=q) अवश्य है / (k=q) necessarily
C (k=0) ही है / (k=0) only
D (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (k) कोई पूर्णांक है / (k) is some integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। / Therefore (p=3k), where (k) is some integer.
Step 3
Exam Tip
(k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें। / Do not assume (k=q) without reason.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(q\neq0\) लिखना क्यों आवश्यक है?
Why is it necessary to write \(q\neq0\) while proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#denominator
#rational-form
A क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा / Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
B क्योंकि (q) को (3) के बराबर होना चाहिए / Because (q) must equal (3)
C क्योंकि (q) शून्य होने पर प्रमाण आसान हो जाता है / Because the proof becomes easier if (q) is zero
D क्योंकि (p) और (q) दोनों दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा / Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। / The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। / If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है। / This condition must be written at the beginning of the proof.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सी बात बदलती है, जबकि प्रमाण की विधि समान रहती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what changes while the proof method remains the same?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#comparison
A संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
B हर बार हर शून्य होता है / The denominator is zero every time
C हर बार दशमलव विस्तार लिया जाता है / The decimal expansion is used every time
D हर बार वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root is an integer every time
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। / In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। / Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) तक जाने में कौन-सा गलत छोटा रास्ता है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), which shortcut from \(p^2=3q^2\) to (p=3k) is wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#variables
A पहले \(3\mid p^2\), फिर \(3\mid p\), फिर (p=3k) / First \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\), then (p=3k)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य नियम लगाएँ / \(p^2\) is divisible by (3), so apply the prime rule
C \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
D (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) / (3) is prime, so \(3\mid p\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना / Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है, न कि सीधे (p=3q)। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), not directly (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है और फिर (p=3k) लिखा जाता है। / The correct conclusion is \(3\mid p\), then (p=3k).
Step 3
Exam Tip
वर्ग हटाते समय मन से बराबरी न बना दें। / Do not create an unsupported equality while removing squares.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, फिर भी (p=3m) और (q=3n) मिलते हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सबसे सटीक है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if \(\frac{p}{q}\) is in lowest form but (p=3m) and (q=3n) are obtained, which conclusion is most precise?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#lowest-form
A \(\frac{p}{q}\) सचमुच सरलतम है / \(\frac{p}{q}\) is truly in lowest form
B (p) और (q) दोनों (1) हैं / (p) and (q) are both (1)
C परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
D (q=0) सिद्ध हो गया / (q=0) is proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है / The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। / (p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। / This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{3}\approx1.732\) लिखकर उसे अपरिमेय सिद्ध मान लेता है, तो मुख्य कमी क्या है?
If a student writes \(\sqrt{3}\approx1.732\) and treats it as proof of irrationality, what is the main weakness?
#real-numbers
#root3
#decimal-approximation
#proof-quality
A दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
B दशमलव लिखना हमेशा निषिद्ध है / Writing decimals is always forbidden
C (1.732) एक पूर्णांक है / (1.732) is an integer
D \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\) becomes true
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता / A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। / (1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write a logical proof, not an approximation.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में (p=3r) सिद्ध हो चुका है, तो आगे (q) पर निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कदम सही है?
If (p=3r) has been proved in the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which step is correct to conclude about (q)?
#real-numbers
#root3
#substitution
#q-divisibility
A (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
B सीधे (q=p) लिखना / Directly write (q=p)
C सीधे (q=0) लिखना / Directly write (q=0)
D (3) को (2) से बदल देना / Replace (3) by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना / Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। / Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
\(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। / From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें। / Do not conclude about (q) without substitution.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लिखते समय कौन-सा तर्क सबसे मजबूत माना जाएगा?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), which reasoning is strongest while writing \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)?
#real-numbers
#root3
#prime-divisibility
#proof-detail
A क्योंकि (3) विषम है / Because (3) is odd
B क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
C क्योंकि (p) हमेशा (3) होता है / Because (p) is always (3)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है / Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। / Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें। / Do not say only odd; mention primality for a complete proof.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#expert
A सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
B यह सिद्ध करना कि (p=q) है / To prove that (p=q)
C यह सिद्ध करना कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है / To prove that \(\sqrt{3}\) is an integer
D यह दिखाना कि (q=0) है / To show that (q=0)
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (3) की भूमिका सही बताई गई है?
Which option correctly states the role of (3) in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#prime-role
#proof-concept
A (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
B (3) हर को शून्य बना देता है / (3) makes the denominator zero
C (3) भिन्न को पूर्णांक बना देता है / (3) makes the fraction an integer
D (3) को (2) में बदल दिया जाता है / (3) is changed into (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है / (3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। / From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। / Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है। / This gives a common factor in numerator and denominator.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलने से क्या साफ होता है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), what becomes clear from \(b^2=3k^2\)?
#real-numbers
#root3
#b-square
#divisibility
A \(b^2\) (3) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (3)
B \(b^2\) (2) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (2)
C (b=1) है / (b=1)
D (a=b) है / (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है / \(b^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। / Therefore \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें। / Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(a^2=3b^2\) मिला, तो \(a^2\) को (3) का गुणज कहना क्यों सही है?
If \(a^2=3b^2\) is obtained in proving \(\sqrt{3}\) irrational, why is it correct to say \(a^2\) is a multiple of (3)?
#real-numbers
#root3
#equation-analysis
#divisibility
A क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है / Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
B क्योंकि (b=3) है / Because (b=3)
C क्योंकि (a=b) है / Because (a=b)
D क्योंकि (3) पूर्ण वर्ग है / Because (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है / Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
\(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। / In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। / Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है। / Then the prime rule gives divisibility of (a).
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यदि \(3\mid a\) और \(3\mid b\), तो \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में मानने से कौन-सा विरोध पैदा होता है?
If \(3\mid a\) and \(3\mid b\), what contradiction arises with assuming \(\frac{a}{b}\) in lowest form?
#real-numbers
#root3
#lowest-form
#common-factor
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / Both have no common factor
C दोनों शून्य हैं / Both are zero
D दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
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Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। / \(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है। / This is not possible in lowest form.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर पहुँचने की सही दलील है?
Which option gives the correct reasoning to reach (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#q-divisibility
#proof
A (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B (p=3k) रखने से (q=3) / Putting (p=3k) gives (q=3)
C (p=3k) रखने से (q=p) / Putting (p=3k) gives (q=p)
D (p=3k) रखने से (q) सम है / Putting (p=3k) gives (q) even
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Correct Answer
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। / Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। / Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा विभाज्यता कदम है। / This is the second divisibility step.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, पर प्रमाण से (a=3m) और (b=3n) मिलता है, तो क्या निष्कर्ष होगा?
If (a) and (b) are coprime but the proof gives (a=3m) and (b=3n), what conclusion follows?
#real-numbers
#coprime
#root3
#contradiction
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B (a) और (b) सचमुच सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are truly coprime
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (m=n=0) है / (m=n=0)
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Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। / (a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। / Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है। / This conflicts with the starting condition of coprimality.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के सही क्रम को दर्शाता है?
Which option shows the correct order for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-order
#sequence
A मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\) / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
B मानें (p=q), फिर \(\sqrt{3}=1\) / Assume (p=q), then \(\sqrt{3}=1\)
C मानें (q=0), फिर विरोधाभास / Assume (q=0), then contradiction
D मानें \(\sqrt{3}=3\), फिर \(p^2=q^2\) / Assume \(\sqrt{3}=3\), then \(p^2=q^2\)
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Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\) / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। / The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। / Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है। / This order makes the answer organized.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को सही ढंग से सामान्यीकृत करता है?
Which statement correctly generalizes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#generalization
#root3
#prime-root
A अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
B हर (r) के लिए \(\sqrt{r}=r\) होता है / For every (r), \(\sqrt{r}=r\)
C हर विषम (r) का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every odd (r) is an integer
D हर वर्गमूल दशमलव से सिद्ध होता है / Every square root is proved using decimals
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Correct Answer
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। / The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें। / While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर प्रमाण में विरोधाभास नहीं मिल रहा, तो कौन-सी शर्त शायद छूट गई है?
If no contradiction appears while proving \(\sqrt{3}\) irrational by assuming it rational, which condition is probably missing?
#real-numbers
#root3
#missing-condition
#proof-writing
A भिन्न को सरलतम रूप में लेना / Taking the fraction in lowest form
B (3) को सम मानना / Treating (3) as even
C हर को शून्य रखना / Making the denominator zero
D (p) और (q) को दशमलव मानना / Treating (p) and (q) as decimals
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Correct Answer
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना / Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में (2) की जगह क्रमशः कौन-से अभाज्य गुणनखंड आते हैं?
In the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\), which prime factors appear respectively instead of (2)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A (3) और (5) / (3) and (5)
B (5) और (3) / (5) and (3)
C (2) और (2) / (2) and (2)
D (1) और (5) / (1) and (5)
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Correct Answer
A. (3) और (5) / (3) and (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें। / Identify the related prime in each proof.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि कोई \(3\mid a^2\) से सीधे (a=3b) लिख दे, तो गलती क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if someone writes (a=3b) directly from \(3\mid a^2\), what is the mistake?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#variables
A (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं / We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
B \(3\mid a^2\) से (a) विषम होता है / \(3\mid a^2\) makes (a) odd
C (a) और (b) हमेशा बराबर होते हैं / (a) and (b) are always equal
D (b) शून्य होना चाहिए / (b) must be zero
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Correct Answer
A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं / We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
Step 1
Concept
\(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। / From \(3\mid a^2\), we get \(3\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a=3k) लिखना सही है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है; (k) को (b) मानना जरूरी नहीं। / So (a=3k) is correct, where (k) is an integer; it is not necessary that (k=b).
Step 3
Exam Tip
नए सहायक चर का प्रयोग सुरक्षित रहता है। / Using a new helper variable is safer.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का सही अंतिम विरोधाभास लिखा है?
Which option states the correct final contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / (a) and (b) are both integers
C (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(b^2=3m^2\) मिलने पर (b) के बारे में क्या निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(b^2=3m^2\), what conclusion about (b) is correct?
#real-numbers
#root3
#final-step
#divisibility
A (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b=0) है / (b=0)
D (b) पूर्ण वर्ग है / (b) is a perfect square
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Correct Answer
A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। / From \(b^2=3m^2\), we get \(3\mid b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है। / This shows (3) common to both (a) and (b).
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