B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: \(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
Avoid unnecessary decimals in exams. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is impossible in lowest form, so the assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है।
A. दोनों पक्षों को (3) से भाग देकर \(q^2=3k^2\) पाना/Divide both sides by (3) to get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
In \(9k^2=3q^2\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Dividing by (3) gives \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Remove only valid common factors while simplifying. चरण 1: \(9k^2=3q^2\) में साझा गुणनखंड (3) है। चरण 2: (3) से भाग देने पर \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में केवल वैध समान गुणनखंड हटाएँ।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Such a situation is impossible in lowest form. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसी स्थिति संभव नहीं होती।
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है/Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then use the prime rule to write \(3\mid p\). चरण 1: \(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें।
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है/In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
The prime factor changes, but the contradiction structure is the same. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। चरण 3: दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Do not assume (k=q) without reason. चरण 1: \(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है। चरण 3: (k) को बिना कारण (q) के बराबर न मानें।
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा/Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
This condition must be written at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। चरण 2: हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है।
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है/The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। चरण 2: फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। चरण 3: ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना/Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), not directly (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), then (p=3k).
Step 3
Exam Tip
Do not create an unsupported equality while removing squares. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है, न कि सीधे (p=3q)। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है और फिर (p=3k) लिखा जाता है। चरण 3: वर्ग हटाते समय मन से बराबरी न बना दें।
C. परिमेय मान्यता विरोधाभास देती है/The rational assumption gives a contradiction
Step 1
Concept
(p=3m) and (q=3n) show that (3) is a common factor of both.
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the lowest-form condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is proved false. चरण 1: (p=3m) और (q=3n) से (3) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 2: यह सरलतम रूप की शर्त के विपरीत है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत सिद्ध होता है।
A. दशमलव अनुमान पूर्ण प्रमाण नहीं होता/A decimal approximation is not a complete proof
Step 1
Concept
(1.732) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction with coprimality.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a logical proof, not an approximation. चरण 1: (1.732) केवल निकट मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर सहअभाज्यता का विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, तार्किक प्रमाण लिखें।
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना/Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Do not conclude about (q) without substitution. चरण 1: (p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। चरण 2: \(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। चरण 3: बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और वर्ग में आया अभाज्य गुणनखंड आधार में भी आता है/Because (3) is prime and a prime factor in a square also appears in the base
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, \(3\mid p\) is a valid conclusion.
Step 3
Exam Tip
Do not say only odd; mention primality for a complete proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) निष्कर्ष सही है। चरण 3: केवल विषम कहना पर्याप्त नहीं, अभाज्य होने का कारण लिखें।
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना/To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. (3) अभाज्य गुणनखंड बनकर अंश और हर दोनों में पहुँचता है/(3) acts as a prime factor that reaches both numerator and denominator
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (3) first appears in (p).
Step 2
Why this answer is correct
Then putting (p=3k) makes (3) appear in (q) too.
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: समीकरण \(p^2=3q^2\) से (3) पहले (p) में आता है। चरण 2: फिर (p=3k) रखने से (3) (q) में भी आता है। चरण 3: यही अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड देता है।
A. \(b^2\) (3) से विभाज्य है/\(b^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
In \(b^2=3k^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then use \(3\mid b\) to complete the contradiction. चरण 1: \(b^2=3k^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: फिर \(3\mid b\) लेकर विरोधाभास पूरा करें।
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है/Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives divisibility of (a). चरण 1: \(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This conflicts with the starting condition of coprimality. चरण 1: (a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 2: इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है।
A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)
Step 1
Concept
The rational assumption begins with a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=3q^2\), and then (3) divides first (p), then (q).
Step 3
Exam Tip
This order makes the answer organized. चरण 1: परिमेय मान्यता सरलतम भिन्न से शुरू होती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है और फिर (3) पहले (p), फिर (q) को भाग देता है। चरण 3: यही क्रम उत्तर को व्यवस्थित बनाता है।
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime nature of (3) gives the common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The same method can be applied to any prime (r).
Step 3
Exam Tip
While generalizing, do not forget the condition that (r) is prime. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) अभाज्य होने से साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 2: यही तरीका किसी अभाज्य (r) पर भी लागू किया जा सकता है। चरण 3: सामान्यीकरण करते समय अभाज्य होने की शर्त न भूलें।
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
So write the fraction in lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। चरण 2: सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें।
For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
Identify the related prime in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें।
A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं/We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary
Step 1
Concept
From \(3\mid a^2\), we get \(3\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
So (a=3k) is correct, where (k) is an integer; it is not necessary that (k=b).
Step 3
Exam Tip
Using a new helper variable is safer. चरण 1: \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) मिलता है। चरण 2: इसलिए (a=3k) लिखना सही है, जहाँ (k) कोई पूर्णांक है; (k) को (b) मानना जरूरी नहीं। चरण 3: नए सहायक चर का प्रयोग सुरक्षित रहता है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
This shows (3) common to both (a) and (b). चरण 1: \(b^2=3m^2\) से \(3\mid b^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid b\) होगा। चरण 3: यह (a) और (b) दोनों में (3) साझा दिखाता है।
