\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3m) रखने पर \(a^2=3b^2\) किस रूप में बदलेगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3m), into what form does \(a^2=3b^2\) change?
#real-numbers
#root3
#substitution
#algebra
A \(9m^2=3b^2\)
B \(3m^2=3b^2\)
C \(m^2=3b^2\)
D \(a^2=b^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9m^2=3b^2\)
Step 1
Concept
(a=3m) का वर्ग \(a^2=9m^2\) होगा। / Squaring (a=3m) gives \(a^2=9m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(a^2=3b^2\) में रखने पर \(9m^2=3b^2\) मिलता है। / Substituting in \(a^2=3b^2\) gives \(9m^2=3b^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग सही रखना आगे के निष्कर्ष के लिए जरूरी है। / Squaring the coefficient correctly is necessary for the next conclusion.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) निष्कर्ष निकालना किस सिद्धांत पर आधारित है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), the conclusion \(3\mid a\) from \(3\mid a^2\) is based on which principle?
#real-numbers
#root3
#prime-factor
#divisibility
A अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत / Principle of prime factor
B सम संख्या का सिद्धांत / Principle of even number
C दशमलव विस्तार का सिद्धांत / Principle of decimal expansion
D त्रिभुज का सिद्धांत / Principle of triangle
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत / Principle of prime factor
Step 1
Concept
(3) एक अभाज्य संख्या है। / (3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग देती है, तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य भूमिका निभाता है। / This principle plays the main role in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) में (a) और (b) को सहअभाज्य न लेने से प्रमाण में क्या कमी आ जाएगी?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), what weakness occurs if (a) and (b) in \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) are not taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#proof-logic
A साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
B वर्ग करना संभव नहीं होगा / Squaring will not be possible
C (3) अभाज्य नहीं रहेगा / (3) will no longer be prime
D \(\sqrt{3}\) पूर्णांक बन जाएगी / \(\sqrt{3}\) will become an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। / Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है। / Therefore lowest form must be stated at the beginning.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंततः कौन-सी असंगति मिलती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what inconsistency would finally appear in the proof?
#real-numbers
#root3
#inconsistency
#lowest-form
A सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
B सरलतम भिन्न का हर शून्य हो जाता / The denominator of a lowest-form fraction would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) पूर्ण वर्ग बन जाता / (3) would become a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। / In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। / The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी। / This inconsistency shows that the assumption was false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p) के (3) से विभाज्य होने के बाद (q) तक पहुँचने का सही रास्ता क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after \(p^2=3q^2\) shows (p) divisible by (3), what is the correct path to reach (q)?
#real-numbers
#root3
#proof-path
#substitution
A (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
B (p=q) रखकर (q=3) पाना / Put (p=q) and get (q=3)
C (q=0) रखकर विरोधाभास पाना / Put (q=0) and get contradiction
D (p=2k) रखकर (q) सम पाना / Put (p=2k) and get (q) even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। / From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(3\mid q\) साबित होता है। / Then \(3\mid q\) is proved.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3r), तो \(p^2\) का सही मान कौन-सा है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3r), what is the correct value of \(p^2\)?
#real-numbers
#root3
#algebra
#squaring
A \(9r^2\)
B \(3r^2\)
C (6r)
D \(r^2+3\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। / When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p-2 =(3r)2 =9r-2 )। / Therefore (p-2 =(3r)2 =9r-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा। / Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are divisible by (3), what will be said about the fraction?
#real-numbers
#root3
#fraction
#lowest-form
A भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
B भिन्न अवश्य शून्य थी / The fraction was necessarily zero
C भिन्न अवश्य पूर्णांक थी / The fraction was necessarily an integer
D भिन्न का हर शून्य था / The denominator of the fraction was zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। / So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / This directly contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(3\mid p\), तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(3\mid p\), in which form is it proper to write (p)?
#real-numbers
#divisibility
#root3
#multiple-form
A (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=k+3), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=k+3), where (k) is an integer
C \(p=\frac{3}{k}\)
D \(p=3+k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। / So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है। / Converting divisibility into a multiple form helps in the proof.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों की तुलना में कौन-सा अंतर सही है?
Which difference is correct when comparing the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (2) और \(\sqrt{5}\) में (3) मिलता है / The common factor is (2) for \(\sqrt{3}\) and (3) for \(\sqrt{5}\)
C दोनों में दशमलव विस्तार ही प्रमाण है / In both, decimal expansion is the proof
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(q\neq0\) की शर्त क्यों आवश्यक है?
Why is the condition \(q\neq0\) necessary in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#denominator
#rational-form
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B क्योंकि (q) हमेशा (3) होता है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) शून्य होना चाहिए / Because (p) must be zero
D क्योंकि \(\sqrt{3}\) शून्य है / Because \(\sqrt{3}\) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। / A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Complete conditions make the proof stronger.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#real-numbers
#root3
#equation
#divisibility
A क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
B क्योंकि (q) हमेशा (3) है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) हमेशा (q) है / Because (p) is always (q)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?
Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-basis
#divisibility
A \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
B (p) सम सिद्ध हो चुका है / (p) has been proved even
C (p=q) सिद्ध हो चुका है / (p=q) has been proved
D (q=3) सिद्ध हो चुका है / (q=3) has been proved
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन-सी बात (3) के अभाज्य होने पर निर्भर करती है?
Which point in the proof of \(\sqrt{3}\) depends on (3) being prime?
#real-numbers
#root3
#prime-property
#proof-detail
A \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
B \(\sqrt{3}\) को वर्ग करना / Squaring \(\sqrt{3}\)
C \(q\neq0\) लिखना / Writing \(q\neq0\)
D भिन्न को \(\frac{p}{q}\) लिखना / Writing the fraction as \(\frac{p}{q}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। / \(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। / This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें। / Mention the word prime in the proof.
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\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिला। इससे (p) के बारे में सही निष्कर्ष कौन-सा है?
After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring, \(p^2=3q^2\) is obtained. What is the correct conclusion about (p)?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) शून्य है / (p) is zero
D (p) (q) के बराबर है / (p) equals (q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है। / Here divisibility by (3), not evenness, is the main point.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने पर आगे कौन-सा सही निष्कर्ष मिलेगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), which correct conclusion follows?
#real-numbers
#root3
#substitution
#common-factor
A \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
B \(b^2=k^2\), इसलिए (b=k) / \(b^2=k^2\), so (b=k)
C (b=3a), इसलिए (b) (3) से विभाज्य है / (b=3a), so (b) is divisible by (3)
D (a=b), इसलिए दोनों बराबर हैं / (a=b), so both are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। / From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है। / This shows (3) in both numerator and denominator.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया। यहाँ (a) और (b) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
When \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), why are (a) and (b) taken coprime?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#coprime
A क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
B क्योंकि (a) और (b) हमेशा अभाज्य होते हैं / Because (a) and (b) are always prime
C क्योंकि (a=b) होना जरूरी है / Because (a=b) is necessary
D क्योंकि (b=0) होना चाहिए / Because (b=0) is required
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Later, getting a common factor contradicts this condition.
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इनमें से कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के लिए सही है?
Which conclusion is correct for all three numbers \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#conclusion
#hard
A तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं / All three are irrational numbers
B तीनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं / All three are natural numbers
C तीनों पूर्ण वर्ग हैं / All three are perfect squares
D तीनों पूर्णांक हैं / All three are integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं / All three are irrational numbers
Step 1
Concept
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। / Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं। / Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों के प्रमाण में सही है?
Which statement is true in both proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
#hard
A संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
B दोनों प्रमाणों में अंश और हर सम होते हैं / In both proofs, numerator and denominator become even
C दोनों प्रमाणों में (2) साझा गुणनखंड है / In both proofs, (2) is the common factor
D दोनों प्रमाण दशमलव विस्तार पर आधारित हैं / Both proofs are based on decimal expansion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor obtained is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor obtained is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में विचार समान है, केवल अभाज्य संख्या बदलती है। / The idea is the same; only the prime number changes.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#real-numbers
#coprime
#root3
#lowest-form
#hard
A यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह हमेशा शून्य है / It is always zero
C यह हमेशा पूर्णांक है / It is always an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। / So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\).
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर अंतिम निष्कर्ष देता है?
Which statement gives the final conclusion about (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-step
#divisibility
#hard
A \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B \(q^2=3k^2\), इसलिए (q=1) / \(q^2=3k^2\), so (q=1)
C \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=3k^2\), so (q) is even
D \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) ऋणात्मक है / \(q^2=3k^2\), so (q) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / \(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3k) है, तो \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3k), what is \(p^2\) equal to?
#real-numbers
#root3
#squaring
#algebra
#hard
A \(9k^2\)
B \(3k^2\)
C (6k)
D \(k^2+3\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 ) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives (p-2 =(3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। / Therefore \(p^2=9k^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है। / Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उचित अंतिम वाक्य है?
Which option gives a proper final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
#hard
A अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}\) एक पूर्ण वर्ग है / Hence \(\sqrt{3}\) is a perfect square
C अतः (3) परिमेय नहीं है / Hence (3) is not rational
D अतः हर संख्या अपरिमेय है / Hence every number is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। / Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि कोई लिखता है \(p^2=3q^2\) इसलिए (p=3q), तो यह गलती क्यों है?
If someone writes \(p^2=3q^2\), therefore (p=3q), why is this wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#squaring
#hard
A वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
B क्योंकि \(3q^2\) हमेशा शून्य होता है / Because \(3q^2\) is always zero
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि \(p^2\) कभी \(3q^2\) नहीं हो सकता / Because \(p^2\) can never equal \(3q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। / The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें। / Be careful when removing squares in a proof.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के लिए सही और \(\sqrt{3}\) के सामान्य प्रमाण के लिए सीधे सही नहीं है?
Which statement is correct for \(\sqrt{2}\) but not directly correct for the usual proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#comparison
#hard
A अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / Numerator and denominator both become even
B अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड आता है / Numerator and denominator get a common factor
C प्रमाण विरोधाभास से होता है / The proof is by contradiction
D भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / The fraction is taken in lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / Numerator and denominator both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) आता है, इसलिए अंश और हर सम होते हैं। / For \(\sqrt{2}\), the common factor is (2), so numerator and denominator become even.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) आता है, समपन जरूरी नहीं। / For \(\sqrt{3}\), the common factor is (3), so evenness is not the direct point.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग मूलों में संबंधित अभाज्य को पहचानें। / Identify the related prime for each root.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
#hard
A (p=3k)
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.
Step 3
Exam Tip
किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान है?
Which statement is common to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#common-method
#hard
A परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
B हर प्रमाण में अंश और हर दोनों सम होते हैं / In every proof, numerator and denominator both become even
C हर प्रमाण में (2) साझा गुणनखंड बनता है / In every proof, (2) becomes the common factor
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है / In every proof, the square root becomes an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में संख्या को पहले परिमेय माना जाता है। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है। / Then the related prime number is forced to divide both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
समान ढाँचा समझने से तीनों प्रमाण आसानी से याद रहते हैं। / Understanding this common structure makes all three proofs easier to remember.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो उसे किस रूप में सही तरह लिखा जाता?
If \(\sqrt{3}\) were rational, in which form would it be correctly written?
#real-numbers
#root3
#rational-form
#definition
#hard
A \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
C \(\sqrt{3}=p+q\), जहाँ (p,q) दशमलव हैं / \(\sqrt{3}=p+q\), where (p,q) are decimals
D \(\sqrt{3}=3p\), जहाँ (p) कोई भी संख्या है / \(\sqrt{3}=3p\), where (p) is any number
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें। / Write this complete form at the beginning of the proof.
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