A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
Avoid unnecessary decimals in exams. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें।
D. अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof obtains a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction shows that the starting assumption was false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final sentence should clearly state that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास प्राप्त होता है। चरण 2: विरोधाभास बताता है कि आरंभिक मान्यता गलत थी। चरण 3: इसलिए अंतिम वाक्य स्पष्ट होना चाहिए कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
C. अतः परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence the rational assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof starts by assuming \(\sqrt{3}\) rational.
Step 2
Why this answer is correct
That assumption gives a common factor against coprimality.
Step 3
Exam Tip
Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर शुरुआत की जाती है। चरण 2: उस मान्यता से सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: इसलिए अंतिम निष्कर्ष यही होगा कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. \(p^2=2q^2\) से (p) सम है और यहीं रुक जाना/From \(p^2=2q^2\), (p) is even, and stopping there
Step 1
Concept
Proving (p) even is only half of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
We must next put (p=2k) and show (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
Without reaching the final contradiction, the answer is incomplete. चरण 1: (p) सम होना केवल आधा प्रमाण है। चरण 2: आगे (p=2k) रखकर (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: अंतिम विरोधाभास तक पहुँचे बिना उत्तर पूरा नहीं माना जाएगा।
A. सरलतम परिमेय रूप, वर्ग, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखें/Write lowest rational form, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
First write \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use the related prime factor to show divisibility of both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Finally state the contradiction with coprimality clearly. चरण 1: पहले \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिखें। चरण 2: फिर वर्ग करके संबंधित अभाज्य गुणनखंड से अंश और हर दोनों की विभाज्यता दिखाएँ। चरण 3: अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास साफ लिखें।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
So write the fraction in lowest form at the start. चरण 1: विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। चरण 2: सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। चरण 3: इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें।
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
To save time, write only the logical steps. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना/Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction. चरण 1: \(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। चरण 2: इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। चरण 3: इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें।
A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है/The necessary condition of the rational form is incomplete
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
This condition is necessary when writing the rational form.
Step 3
Exam Tip
Small conditions make the proof complete. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\) हो। चरण 2: परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। चरण 3: छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं।
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. विरोधाभास किस शर्त से आ रहा है, यह स्पष्ट लिखना/Clearly write which condition creates the contradiction
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, contradiction comes from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
Clearly writing the reason for contradiction helps in exams. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास का कारण साफ लिखना अंक दिलाता है।
A. हर चरण में साझा गुणनखंड और सहअभाज्य विरोधाभास साफ लिखना/Clearly write the common factor and coprime contradiction at each final stage
Step 1
Concept
Such proofs begin with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly writing the coprime contradiction is most important. चरण 1: ऐसे प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: परीक्षा में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास साफ लिखना सबसे जरूरी है।
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a contradiction appears with the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
The final line should clearly state the contradiction and irrationality conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता लेकर शुरुआत करते हैं। चरण 2: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखना चाहिए।
A. मान्यता में विरोधाभास आया, इसलिए संख्या अपरिमेय है/The assumption led to a contradiction, so the number is irrational
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, this assumption contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
In the final line, clearly write the contradiction and the irrational conclusion. चरण 1: प्रमाण में शुरुआत परिमेय मान्यता से होती है। चरण 2: अंत में यह मान्यता सहअभाज्य शर्त से टकराती है। चरण 3: अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता का निष्कर्ष साफ लिखें।
