A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
If (p) were odd, \(p^2\) would be odd; so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
The same parity idea is then used for (q). चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) विषम होता; इसलिए (p) सम है। चरण 3: यही सम-विषम विचार फिर (q) के लिए भी उपयोग होता है।
A. यदि संख्या विषम होती, तो उसका वर्ग विषम होता; पर वर्ग सम है, इसलिए संख्या सम है/If the number were odd, its square would be odd; but the square is even, so the number is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
When the square is even, the original number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
This idea proves both (p) and (q) even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: जब वर्ग सम मिला, तो मूल संख्या विषम नहीं हो सकती। चरण 3: इस विचार से (p) और (q) दोनों के सम होने का प्रमाण बनता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
If (p) were odd, \(p^2\) would be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity rule is very useful for \(\sqrt{2}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: यदि (p) विषम होता तो \(p^2\) विषम होता, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सम-विषम का यह नियम \(\sqrt{2}\) में बहुत उपयोगी है।
This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof. चरण 1: विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। चरण 2: उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। चरण 3: यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है।
\(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.
Step 3
Exam Tip
Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8. चरण 1: ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। चरण 2: \(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें।
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 8; for example, \(1^2\) and \(5^2\) both leave remainder 1.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule that odd squares leave remainder 1 on division by 8. चरण 1: (4q+1) रूप की संख्या विषम होती है। चरण 2: किसी विषम संख्या का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है; उदाहरण के लिए \(1^2\) और \(5^2\) दोनों 8 से 1 शेषफल देते हैं। चरण 3: विषम वर्गों में 8 से शेषफल 1 वाला नियम याद रखें।
\(1^2=1\) and \(3^2=9=4\times2+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 4. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 3 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(3^2=9=4\times2+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 4 से शेषफल 1 होता है।
