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Subjects
Class 10 Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Level 18

यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानने के बाद \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो विरोधाभास तक पहुँचने के लिए कौन-सा क्रम सबसे तार्किक है?

If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, which sequence is most logical to reach the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम\(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even

Step 1

Concept

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even.

Step 2

Why this answer is correct

(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.

Step 3

Exam Tip

दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है। / Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction.

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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानने के बाद \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो विरोधाभास तक पहुँचने के लिए कौन-सा क्रम सबसे तार्किक है? / If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, which sequence is most logical to reach the contradiction?

Correct Answer: A. \(p^2\) सम, फिर (p) सम, फिर (p=2k), फिर (q) सम / \(p^2\) even, then (p) even, then (p=2k), then (q) even. Explanation: चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम मिलता है। चरण 2: (p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। चरण 3: दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है। / Step 1: From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so (p) is even. Step 2: Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even. Step 3: Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction.

Why is option A correct in this Mathematics MCQ?

(p=2k) रखने पर \(q^2=2k^2\) और फिर (q) सम मिलता है। / Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\), so (q) is even.

What should I remember for this Mathematics concept?

दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से टकराता है। / Both being even contradicts coprimality of the lowest-form fraction.