A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), this is used for (3); in \(\sqrt{5}\), it is used for (5).
Step 3
Exam Tip
This gives a common factor in numerator and denominator. चरण 1: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में यह (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए उपयोग होता है। चरण 3: इससे अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written in lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds the same factor in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so contradiction occurs. चरण 1: परिमेय मानने पर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर दोनों में समान गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास बनता है।
A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible
Step 1
Concept
Squaring \(\sqrt{n}\) gives (n).
Step 2
Why this answer is correct
This forms an equation like \(p^2=nq^2\), which provides the base for divisibility.
Step 3
Exam Tip
Without this step, it is hard to create the common-factor contradiction. चरण 1: \(\sqrt{n}\) को वर्ग करने पर (n) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण बनता है, जो विभाज्यता का आधार देता है। चरण 3: बिना इस चरण के साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनाना कठिन होता है।
A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना/To conclude \(r\mid x\)
Step 1
Concept
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{3}\), this rule is used for (3), and in \(\sqrt{5}\), for (5).
Step 3
Exam Tip
This helps get a common factor in numerator and denominator. चरण 1: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में यह नियम (3) के लिए और \(\sqrt{5}\) में (5) के लिए लगता है। चरण 3: इसी से अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना/Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction
Step 1
Concept
All three proofs start with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, the same prime factor is found common in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible in a lowest-form fraction, so the proof is completed by contradiction. चरण 1: तीनों प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में वही अभाज्य गुणनखंड साझा मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास से सिद्धि पूरी होती है।
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor
Step 1
Concept
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) use contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
First assume rationality, write a lowest-form fraction, and square.
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor gives contradiction. चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण विरोधाभास विधि से होते हैं। चरण 2: पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। चरण 3: अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास मिलता है।
A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना/To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)
Step 1
Concept
In \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\), we square to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation gives divisibility and contradiction later. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: यही समीकरण आगे विभाज्यता और विरोधाभास देता है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
In all three, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण पाना/To remove the square root and get a divisibility equation
Step 1
Concept
We square \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) to remove the square root.
Step 2
Why this answer is correct
This gives an equation like \(p^2=nq^2\).
Step 3
Exam Tip
This equation starts the divisibility and contradiction steps. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) में वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग करते हैं। चरण 2: इससे \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण मिलता है। चरण 3: इसी समीकरण से विभाज्यता और विरोधाभास की शुरुआत होती है।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
After assuming rationality, the number is written as a lowest-form fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The proof finds a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible for a lowest-form fraction. चरण 1: परिमेय मानकर संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है/Because a rational number is written as a fraction in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, a common factor breaks this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: प्रमाण में इसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने से यही शर्त टूटती है।
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Taking the square root equal to the number under it
Step 1
Concept
Treating \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) as (2), (3), and (5) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
Do not write a square root equal to the number under it. चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) को क्रमशः (2), (3), और (5) के बराबर मानना गलत है। चरण 2: सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लेते हैं और वर्ग करते हैं। चरण 3: वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न लिखें।
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, a common factor contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 2: सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है।
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना/Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This common factor contradicts lowest form. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। चरण 2: परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। चरण 3: यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है।
A. तीनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं/In all three, we first assume rationality and write a lowest-form fraction
Step 1
Concept
All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
At the start, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
Then a common factor gives a contradiction. चरण 1: तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। चरण 2: शुरुआत में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। चरण 3: फिर साझा गुणनखंड से विरोधाभास दिखाया जाता है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides \(p^2\), it also divides (p).
Step 3
Exam Tip
This rule is needed in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\). चरण 1: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े में आते हैं। चरण 2: यदि कोई अभाज्य \(p^2\) को विभाजित करता है, तो वह (p) को भी विभाजित करेगा। चरण 3: \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह नियम जरूरी है।
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the opposite assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। चरण 2: यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। चरण 3: परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें।
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड होना/The numerator and denominator of a lowest-form fraction having a common factor
Step 1
Concept
At the beginning, the fraction is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
This is impossible for a lowest-form fraction, so a contradiction occurs. चरण 1: शुरुआत में भिन्न को सरलतम रूप में लेते हैं। चरण 2: अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास बनता है।
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। चरण 2: जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें।
A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य है/If \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)
Step 1
Concept
(3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This helps prove a common factor in (p) and (q). चरण 1: (3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। चरण 2: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। चरण 3: इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है।
A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता है/Because a rational number is written in its simplest form
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Getting another common factor later contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। चरण 2: सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
If the square of an integer is even, then the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
This small fact is very important in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: किसी पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। चरण 3: यह छोटी बात \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बहुत महत्वपूर्ण है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं/\(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
In the contradiction method, we begin by assuming the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
So we assume \(\sqrt{2}\) is rational and write it as \(\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the starting assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में हम कथन के उलटे को सही मानकर शुरू करते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखते हैं, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हों। चरण 3: परीक्षा में शुरुआत साफ लिखना बहुत जरूरी है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Finding a common factor is the key contradiction in the proof. चरण 1: \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। चरण 3: प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है।
A. यदि \(p\mid a^2\), तो \(p\mid a\)/If \(p\mid a^2\), then \(p\mid a\)
Step 1
Concept
In the proof, assume \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) and square both sides.
Step 2
Why this answer is correct
From \(a^2=pb^2\), we get \(p\mid a^2\), so the idea \(p\mid a\) is used.
Step 3
Exam Tip
The prime factor argument leads to a contradiction. चरण 1: प्रमाण में \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) मानकर वर्ग किया जाता है। चरण 2: \(a^2=pb^2\) से \(p\mid a^2\) मिलता है, इसलिए \(p\mid a\) का विचार प्रयोग होता है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड वाला तर्क विरोध तक पहुँचाता है।
