\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) को अभाज्य गुणनखंडों की घातों से कैसे समझा जा सकता है?
How can \(p^2=3q^2\) in the proof of \(\sqrt{3}\) be understood using exponents of prime factors?
#sqrt3 proof
#prime exponent
#hard
#class 10
A वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
B वर्ग में हर अभाज्य की घात शून्य होती है / In a square, every prime has exponent zero
C (3) पूर्ण वर्ग है, इसलिए कोई समस्या नहीं / (3) is a perfect square, so there is no issue
D (q) शून्य होने से समीकरण बनता है / The equation forms because (q) is zero
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Correct Answer
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। / In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। / In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है। / This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा कथन सही है पर अंतिम निष्कर्ष नहीं है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), which statement is correct but not the final conclusion?
#sqrt3 proof
#incomplete conclusion
#hard
#class 10
A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B \(\sqrt{3}=3\)
C (q=0)
D (p=q)
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Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। / But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा। / Only then does contradiction arise with the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने का उद्देश्य क्या है?
What is the purpose of substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution purpose
#hard
#class 10
A (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
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Correct Answer
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (3).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
D \(\sqrt{3}=9\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{3}=9\)
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Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। / Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{3}\).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि को सही ढंग से पूरा करता है?
Which option correctly completes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए सिद्धि पूरी / \(\sqrt{3}=3\), so the proof is complete
C (q=0), इसलिए विरोधाभास है / (q=0), so there is contradiction
D (p=q), इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / (p=q), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर क्या असर पड़ेगा?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are divisible by (3), what is the effect on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt3 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
B यह अवश्य (3) हो जाएगी / It must become (3)
C यह शून्य हो जाएगी / It will become zero
D यह परिभाषित नहीं होगी / It will be undefined
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती / It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है। / Therefore the lowest-form assumption breaks.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत बीजगणितीय सरलीकरण है?
Which option is a wrong algebraic simplification in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#algebra mistake
#hard
#class 10
A (p=3k) से \(p^2=9k^2\) / From (p=3k), \(p^2=9k^2\)
B \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) / From \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
C (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है / From \(q^2=3k^2\), (q) is divisible by (3)
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Correct Answer
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2 ) मिलेगा। / Squaring (p=3k) gives ((3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। / The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें। / Square the whole expression.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में तार्किक क्रम को बिगाड़ता है?
Which option disturbs the logical order in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#logical order
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से पहले (p) और फिर (q) के (3) से विभाज्य होने तक जाना / From \(p^2=3q^2\), first show (p), then (q), divisible by (3)
B \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना / Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
C (p=3k) रखने पर \(q^2=3k^2\) पाना / Getting \(q^2=3k^2\) after putting (p=3k)
D (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास लिखना / Writing contradiction when both (p) and (q) are divisible by (3)
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Correct Answer
B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना / Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से पहले (p) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। / From \(p^2=3q^2\), first (p) is concluded divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (p=3k), \(q^2=3k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सीधे (q) पर जाना क्रम की गलती है। / Therefore jumping directly to (q) is an order mistake.
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यदि कोई विद्यार्थी \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से सीधे \(3=\frac{p}{q}\) लिखता है, तो सही सुधार क्या है?
If a student writes \(3=\frac{p}{q}\) directly from \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), what is the correct correction?
#sqrt3 proof
#squaring error
#hard
#class 10
A दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
B दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p}{q^2}\)
C बिना वर्ग किए \(3=\frac{p}{q}\) सही है / \(3=\frac{p}{q}\) is correct without squaring
D दोनों ओर वर्ग करने पर \(9=\frac{p}{q}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(9=\frac{p}{q}\)
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना जरूरी है। / To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। / The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है। / So the correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) लिखने का आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the basis for writing (q=3r) after getting \(q^2=3k^2\)?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B (q=3) पहले से है / (q=3) already
C (k=q) है / (k=q)
D (q) शून्य है / (q) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है। / Therefore (q=3r) is written.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलने पर (\gcd(p,q)) के बारे में क्या निश्चित है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3r) and (q=3s), what is definite about (\gcd(p,q))?
#sqrt3 proof
#gcd
#hard
#class 10
A (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
B (\gcd(p,q)=1) ही रहेगा / (\gcd(p,q)) will remain (1)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है / (\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। / So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप से विरोधाभास है। / This contradicts lowest form.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने पर \(p^2=3q^2\) से कौन सा मध्य समीकरण सही है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), which middle equation is correct from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra
#hard
#class 10
A \(9k^2=3q^2\)
B \(3k^2=3q^2\)
C \(k^2=3q^2\)
D \(p^2=9q^2\)
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Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। / Substitution in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\).
Step 3
Exam Tip
((3k)2 ) को \(3k^2\) न लिखें। / Do not write ((3k)2 ) as \(3k^2\).
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा गया। \(p^2=3q^2\) से (p) के बारे में सही तर्क कौन सा है?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and write \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\). What is the correct reasoning about (p) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=q)
D (p=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं। / Use the prime rule to move from square to original number.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने के बाद सही आगे का तर्क देता है?
Which option gives the correct further reasoning after substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution reasoning
#hard
A \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
B \(3k^2=3q^2\), इसलिए (q=k), अतः प्रमाण पूरा / \(3k^2=3q^2\), so (q=k), hence proof complete
C (p=q), इसलिए विरोधाभास / (p=q), so contradiction
D (q=0), इसलिए भिन्न अमान्य / (q=0), so fraction invalid
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है / \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। / If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। / From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है। / By the prime rule, (q) is divisible by (3).
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि में अंतिम निष्कर्ष से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), which statement should come just before the final conclusion?
#sqrt3 proof
#pre final step
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B (q=0), इसलिए भिन्न नहीं बन सकती / (q=0), so the fraction cannot be formed
C \(\sqrt{3}=3\), इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{3}=3\), so it is a contradiction
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा है / (p=q), so the proof is complete
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है, तो (p=3k) में (k) कैसा होगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\), what type of number is (k) in (p=3k)?
#sqrt3 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D शून्य ही / Only zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
(p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। / (p) is an integer and is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। / Therefore (p=3k), where (k) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of the new variable makes the proof clear.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय मानने पर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है, तो (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर कौन सा निष्कर्ष निकलेगा?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and \(\frac{p}{q}\) is in lowest form, what conclusion follows when both (p) and (q) are found divisible by (3)?
#sqrt3 proof
#rational assumption
#hard
#class 10
A परिमेय मान्यता असंभव है / The rational assumption is impossible
B (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
C \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता असंभव है / The rational assumption is impossible
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should not have any common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर यह शर्त टूट जाती है। / Finding both divisible by (3) breaks this condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, तो इससे कौन सा महत्तम समापवर्तक संबंध निश्चित रूप से टूटता है?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) turn out divisible by (3), which greatest common divisor condition definitely breaks?
#sqrt3 proof
#gcd
#coprime
#hard
A (\gcd(p,q)=1)
B (\gcd(p,q)=3q)
C (\gcd(p,q)=0)
D (\gcd(p,q)=p+q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। / Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। / If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है। / Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3), which statement about \(\frac{p}{q}\) is correct?
#sqrt3 proof
#fraction form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती / It cannot be in lowest form
B यह अवश्य (3) के बराबर है / It must be equal to (3)
C यह शून्य के बराबर है / It is equal to zero
D यह परिभाषित नहीं है / It is undefined
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती / It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य हैं तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (3) से और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / Hence it cannot be in lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत प्रमाण विधि है?
Which option is a wrong proof method in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#wrong method
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (3)
C (p=3k) लिखना / Writing (p=3k)
D \(q^2=3k^2\) से (q) (3) से विभाज्य है कहना / Saying (q) is divisible by (3) from \(q^2=3k^2\)
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Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना / Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। / This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
सही तरीका (p=3k) लिखना है। / The correct way is to write (p=3k).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(q^2=3k^2\) मिलने के बाद (q=3r) क्यों लिखा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after getting \(q^2=3k^2\), why can (q=3r) be written?
#sqrt3 proof
#q divisibility
#hard
#class 10
A क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B क्योंकि (q=3) है / Because (q=3)
C क्योंकि (k=q) है / Because (k=q)
D क्योंकि (q) शून्य है / Because (q) is zero
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Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q=3r) लिखना सही है। / Therefore writing (q=3r) is correct.
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यदि कोई विद्यार्थी \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(3=\frac{p}{q}\) लिख देता है, तो सही सुधार क्या है?
If a student writes \(3=\frac{p}{q}\) from \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), what is the correct correction?
#sqrt3 proof
#student error
#squaring
#hard
A दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
B दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p}{q^2}\)
C बिना वर्ग किए \(3=\frac{p}{q}\) सही है / \(3=\frac{p}{q}\) is correct without squaring
D दोनों ओर वर्ग करने पर \(9=\frac{p}{q}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(9=\frac{p}{q}\)
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा / Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। / To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। / The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सही समीकरण \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है। / Therefore the correct equation is \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(p^2=3q^2\) मिला, तो (q) के (3) से विभाज्य होने तक सही श्रृंखला कौन सी है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(p^2=3q^2\), which is the correct chain until (q) is proved divisible by (3)?
#sqrt3 proof
#step chain
#hard
#class 10
A \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
B \(p^2=3q^2\), (p=3q), (q=3)
C \(p^2=3q^2\), (q=0), (p=0)
D \(p^2=3q^2\), (p=q), (q=3k)
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Correct Answer
A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p=3k)। / From \(p^2=3q^2\), (p) is divisible by (3), so (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(9k^2=3q^2\), फिर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(9k^2=3q^2\), then \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (3).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) और फिर (q=3r) मिला। इससे मूल मान्यता क्यों गलत होती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), \(p^2=3q^2\) gives (p=3k) and then (q=3r). Why does this make the original assumption false?
#sqrt3 proof
#rational assumption
#contradiction
#hard
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
B क्योंकि (q=0) हो गया / Because (q=0)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध हो गया / Because \(\sqrt{3}=3\) is proved
D क्योंकि (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / Because (p) and (q) are not integers
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया / Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। / (p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / This contradicts lowest form, so the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलते हैं, तो सबसे उचित विरोधाभास क्या है?
If (p=3r) and (q=3s) are obtained in the proof of \(\sqrt{3}\), what is the most appropriate contradiction?
#sqrt3 proof
#lowest form
#coprime
#hard
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
B \(\sqrt{3}=3\) हो जाता है / \(\sqrt{3}=3\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य हो जाती है / \(\frac{p}{q}\) becomes zero
D (p) और (q) पूर्णांक नहीं रहते / (p) and (q) are no longer integers
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
(p=3r) और (q=3s) का अर्थ है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / (p=3r) and (q=3s) mean both (p) and (q) have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / The numerator and denominator of a lowest-form fraction should be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है। / Thus this contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p=3k) लिखने का उचित आधार क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what is the proper basis for writing (p=3k) from \(p^2=3q^2\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#hard
#class 10
A \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B \(q^2\) (3) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (3)
C (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
तब (p=3k) लिखना सही है। / Then writing (p=3k) is valid.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सा विचार समान रूप से काम करता है?
Which idea works similarly in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 proof
#sqrt5 proof
#prime factor
#class 10
A अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
B वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside
C हर को शून्य मानना / Assuming the denominator as zero
D अंश और हर को बराबर मानना / Assuming numerator and denominator are equal
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Correct Answer
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है / If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। / In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। / When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है। / This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If in the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt3 proof
#fraction lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (3) है / It is necessarily (3)
C यह शून्य है / It is zero
D यह परिभाषित नहीं है / It is undefined
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (3) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / So it cannot be in lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में गलत सरलीकरण है?
Which option is a wrong simplification in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#wrong simplification
#class 10
A (p=3k) से \(p^2=9k^2\) / From (p=3k), \(p^2=9k^2\)
B \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) / From \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
C \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3)
D (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
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Correct Answer
D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\) / From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2 ) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives ((3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसका सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। / Its correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा विकल्प प्रमाण को पूरा करता है?
Which option completes the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए प्रमाण पूरा / \(\sqrt{3}=3\), so proof complete
C (q=0), इसलिए प्रमाण पूरा / (q=0), so proof complete
D (p=q), इसलिए प्रमाण पूरा / (p=q), so proof complete
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / In the proof, both (p) and (q) are proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरू में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the start.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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