Class 10 Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Medium Level 16

\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?

Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?

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Correct Answer

A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलेंWhen both (a) and (b) are found divisible by (3)

Step 1

Concept

Coprime numbers have no common factor other than (1).

Step 2

Why this answer is correct

If both are divisible by (3), the common factor is (3).

Step 3

Exam Tip

This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा? / Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?

Correct Answer: A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3). Explanation: चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / Step 1: Coprime numbers have no common factor other than (1). Step 2: If both are divisible by (3), the common factor is (3). Step 3: This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

Coprime numbers have no common factor other than (1).

What exam hint can help solve this Mathematics question?

This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।