\(p^2=3q^2\) usually comes from the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
To identify the proof, look at the factor in the equation. चरण 1: समीकरण में मुख्य गुणनखंड (3) है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) सामान्य रूप से \(\sqrt{3}\) की सिद्धि से आता है। चरण 3: प्रमाण पहचानने के लिए समीकरण का गुणनखंड देखें।
A. केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) is a middle step, not the end.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=3q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है, अंतिम नहीं। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Identify the square root from the factor in the equation. चरण 1: \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। चरण 3: समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें।
Do not forget this small condition while writing the rational form. चरण 1: किसी भी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq 0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह छोटी शर्त न भूलें।
So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Write this condition when expressing a rational number. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
The rational assumption and squaring steps come first.
Step 2
Why this answer is correct
Near the end, both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This creates a contradiction against the coprime condition. चरण 1: पहले परिमेय मान्यता और वर्ग करने के चरण आते हैं। चरण 2: अंत के पास (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: इसी से सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध विरोधाभास बनता है।
A. (p) भी (3) से विभाज्य है/(p) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If the square of an integer is divisible by (3), then the integer is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main step in the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: (3) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (3) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में मुख्य कदम है।
\(\sqrt{507}=13\sqrt{3}\) and \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(13\sqrt{3}-8\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals completely before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{507}=13\sqrt{3}\) और \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\)। चरण 2: \(13\sqrt{3}-8\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)। चरण 3: घटाने से पहले वर्गमूलों को पूरी तरह सरल करें।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
Simplify radicals before adding them. चरण 1: \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)। चरण 2: \(x=\sqrt{3}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ने से पहले वर्गमूलों को सरल रूप में बदलें।
In approximation questions, directly use the given value. चरण 1: दिए गए लगभग मान को (4) से गुणा करें। चरण 2: \(4\sqrt{3}\approx4\times1.732=6.928\)। चरण 3: अनुमान वाले प्रश्न में दिए गए मान का सीधा उपयोग करें।
\(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(11\sqrt{3}-5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify radicals completely before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। चरण 2: \(11\sqrt{3}-5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। चरण 3: घटाने से पहले वर्गमूलों को पूरी तरह सरल करें।
Multiply numerator and denominator by \(\sqrt{3}\) to remove the square root from the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
After rationalising, the denominator should not contain a square root. चरण 1: हर से वर्गमूल हटाने के लिए ऊपर और नीचे \(\sqrt{3}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद हर में वर्गमूल नहीं रहना चाहिए।
Before adding, simplify radicals and make them like terms. चरण 1: \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{3}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ने से पहले वर्गमूलों को सरल करके समान रूप बनाएं।
For estimation, remember common square-root values. चरण 1: \(\sqrt{3}\) का मान लगभग (1.732) है। चरण 2: इसलिए (1.73) सबसे सही निकट मान है। चरण 3: अनुमान के लिए सामान्य वर्गमूलों के मान याद रखें।
Before adding, convert radicals into like terms if possible. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ से पहले वर्गमूलों को समान रूप में बदलें।
The value of \(\sqrt{3}\) is approximately (1.732).
Step 2
Why this answer is correct
So (1.73) is the closest option.
Step 3
Exam Tip
In estimation questions, first see between which perfect squares the number lies. चरण 1: \(\sqrt{3}\) का मान लगभग (1.732) होता है। चरण 2: इसलिए (1.73) सबसे निकट विकल्प है। चरण 3: अनुमान वाले प्रश्न में पहले देखें कि संख्या किन पूर्ण वर्गों के बीच है।
Dividing it by the non-zero rational number (2) still gives an irrational number.
Step 3
Exam Tip
Multiplying or dividing an irrational number by a non-zero rational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: इसे अशून्य परिमेय संख्या (2) से भाग देने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय से गुणा या भाग करने पर सामान्यतः अपरिमेय परिणाम मिलता है।
C. यह अनवसानी और अनावर्ती है/It is non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
(3) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
An irrational decimal has no fixed repeating pattern. चरण 1: (3) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी और अनावर्ती होगा। चरण 3: अपरिमेय संख्या के दशमलव में कोई स्थिर दोहराव नहीं होता।
