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An irrational number cannot be written exactly as a fraction.
Step 2
Why this answer is correct
(15) is not a perfect square, so \(\sqrt{15}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
For square-root options, first check whether the number inside is a perfect square. चरण 1: अपरिमेय संख्या को ठीक-ठीक भिन्न रूप में नहीं लिखा जा सकता। चरण 2: (15) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्पों में अंदर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, पहले यही देखें।
\(\sqrt{81}=9\), and (9) can be written as \(\frac{9}{1}\).
Step 3
Exam Tip
The square root of a perfect square is always rational. चरण 1: (81) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{81}=9\), और (9) को \(\frac{9}{1}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय होता है।
\(0.1234567891011\ldots\) has no fixed repeating pattern, so it is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To identify an irrational decimal, check for a repeating rule. चरण 1: समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(0.1234567891011\ldots\) में कोई निश्चित दोहराव नहीं है, इसलिए यह अनवसानी और अनावर्ती है। चरण 3: अपरिमेय दशमलव पहचानने के लिए दोहराव का नियम जांचें।
While simplifying a square root, take the perfect square factor outside. चरण 1: \(28=4 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{28}=\sqrt{4 \times 7}=2\sqrt{7}\)। चरण 3: वर्गमूल सरल करते समय पूर्ण वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें।
When multiplying square roots, multiply the numbers inside.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\).
Step 3
Exam Tip
The product of two irrational numbers can sometimes be rational. चरण 1: वर्गमूलों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा होती हैं। चरण 2: \(\sqrt{2}\times\sqrt{18}=\sqrt{36}=6\)। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
To find the rational option, look for the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(100) is a perfect square and \(\sqrt{100}=10\).
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{n}\), if (n) is a perfect square, the value is rational. चरण 1: परिमेय विकल्प खोजने के लिए पूर्ण वर्ग का वर्गमूल देखें। चरण 2: (100) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{100}=10\)। चरण 3: \(\sqrt{n}\) में यदि (n) पूर्ण वर्ग हो, तो उत्तर परिमेय होगा।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (5) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
Using the largest perfect square gives the simplest form. चरण 1: \(48=16 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{48}=\sqrt{16 \times 3}=4\sqrt{3}\)। चरण 3: सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग लेने से सरल रूप सही और छोटा मिलता है।
If the denominator has only factors (2) and (5), the decimal terminates. चरण 1: समाप्त दशमलव वाली संख्या परिमेय होती है। चरण 2: \(\frac{3}{8}=0.375\), इसलिए इसका दशमलव समाप्त होता है। चरण 3: भिन्न के हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हों तो दशमलव समाप्त होता है।
In addition, do not add the numbers inside roots to write \(\sqrt{14}\). चरण 1: समान वर्गमूलों को समान पद की तरह जोड़ा जाता है। चरण 2: \(\sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)। चरण 3: जोड़ में अंदर की संख्याएँ जोड़कर \(\sqrt{14}\) नहीं लिखना चाहिए।
Normal subtraction rules also apply to irrational numbers. चरण 1: किसी संख्या में से वही संख्या घटाने पर शून्य मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{7}-\sqrt{7}=0\), और (0) परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्याओं के साथ भी सामान्य घटाव नियम लागू होता है।
(10) is not a perfect square, so \(\sqrt{10}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, check the number inside the new root. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\)। चरण 2: (10) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणन के बाद बने वर्गमूल की अंदर की संख्या जांचें।
C. \(\sqrt{n}\) अपरिमेय हो सकता है जब (n) पूर्ण वर्ग न हो/\(\sqrt{n}\) can be irrational when (n) is not a perfect square
Step 1
Concept
If (n) is not a perfect square, \(\sqrt{n}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Testing a statement with an example makes it easier to judge. चरण 1: यदि (n) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) परिमेय नहीं होता। चरण 2: जैसे \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: सत्य कथन में उदाहरण लगाकर जांच करना आसान रहता है।
Recognising larger perfect squares like (49) helps in simplification. चरण 1: \(98=49 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{98}=\sqrt{49 \times 2}=7\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग जैसे (49) को पहचानना सरलीकरण में मदद करता है।
Before adding, convert radicals into like terms if possible. चरण 1: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। चरण 2: \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: जोड़ से पहले वर्गमूलों को समान रूप में बदलें।
(17) is not a perfect square, so \(\sqrt{17}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares in interval questions. चरण 1: (16<17<25), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। चरण 2: (17) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। चरण 3: अंतराल वाले प्रश्न में पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
Dividing it by the non-zero rational number (5) keeps it irrational.
Step 3
Exam Tip
A rational denominator alone does not make the whole expression rational. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: अशून्य परिमेय संख्या (5) से भाग देने पर यह अपरिमेय ही रहती है। चरण 3: हर में परिमेय संख्या होने से पूरा पद परिमेय नहीं हो जाता।
\(\sqrt{6}\) is irrational because (6) is not a perfect square.
Step 3
Exam Tip
In a pair, identify each number separately. चरण 1: (3) परिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है क्योंकि (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 3: युग्म में दोनों संख्याओं को अलग-अलग पहचानें।
Take the perfect square (25) outside as (5). चरण 1: \(125=25 \times 5\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{125}=\sqrt{25 \times 5}=5\sqrt{5}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग (25) को बाहर (5) के रूप में निकालें।
Count like radicals as coefficients. चरण 1: तीन समान अपरिमेय पद जोड़े जा रहे हैं। चरण 2: \(\sqrt{6}+\sqrt{6}+\sqrt{6}=3\sqrt{6}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों को गुणांक की तरह गिनें।
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify both radicals before subtracting. चरण 1: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) और \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)। चरण 2: \(3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\)। चरण 3: घटाने से पहले दोनों वर्गमूलों को सरल करें।
(2) is rational because it can be written as \(\frac{2}{1}\).
Step 3
Exam Tip
The square of an irrational number can sometimes be rational. चरण 1: (\(\sqrt{2}\)2=2)। चरण 2: (2) परिमेय संख्या है क्योंकि इसे \(\frac{2}{1}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है।
\(5x=5\sqrt{5}\), and (5) is a non-zero rational number.
Step 3
Exam Tip
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational. चरण 1: \(x=\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(5x=5\sqrt{5}\), और (5) अशून्य परिमेय है। चरण 3: अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
The question asks for the number that is not irrational, so find the rational one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{36}=6\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Read negative wording carefully in MCQs. चरण 1: प्रश्न अपरिमेय नहीं पूछ रहा है, इसलिए परिमेय संख्या खोजें। चरण 2: \(\sqrt{36}=6\), जो परिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में नकारात्मक भाषा को ध्यान से पढ़ें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Radicals can be added only after they become like radicals. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)। चरण 3: समान वर्गमूल बनने पर ही उन्हें जोड़ा जा सकता है।
C. \(\sqrt{49}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{49}\) is irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{49}=7\).
Step 2
Why this answer is correct
(7) is rational, so saying \(\sqrt{49}\) is irrational is false.
Step 3
Exam Tip
While choosing a false statement, check perfect squares carefully. चरण 1: \(\sqrt{49}=7\) होता है। चरण 2: (7) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{49}\) को अपरिमेय कहना गलत है। चरण 3: गलत कथन चुनते समय पूर्ण वर्गों को जरूर जांचें।
Take the perfect square factor outside and leave the remaining factor inside. चरण 1: \(150=25 \times 6\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{150}=\sqrt{25 \times 6}=5\sqrt{6}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालकर बाकी गुणनखंड अंदर छोड़ें।
In multiplication, first multiply the numbers inside the roots. चरण 1: \(\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}\)। चरण 2: \(\sqrt{100}=10\), जो परिमेय संख्या है। चरण 3: गुणन में पहले अंदर की संख्याओं का गुणन करें।
(30) is not a perfect square, so \(\sqrt{30}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to locate a square root. चरण 1: (25<30<36), इसलिए \(5<\sqrt{30}<6\)। चरण 2: (30) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{30}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल की स्थिति जानने के लिए नजदीकी पूर्ण वर्ग देखें।
Recognising a large perfect square like (100) gives the answer quickly. चरण 1: \(200=100 \times 2\) है। चरण 2: \(\sqrt{200}=\sqrt{100 \times 2}=10\sqrt{2}\)। चरण 3: बड़े पूर्ण वर्ग (100) को पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है।
For like radicals, add only the coefficients. चरण 1: दोनों पदों में \(\sqrt{3}\) समान है। चरण 2: \(1\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)। चरण 3: समान वर्गमूलों में केवल गुणांक जोड़ें।
Remembering approximate values of common roots helps in comparison. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का मान लगभग (1.414) है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में (1.41) सबसे निकट है। चरण 3: सामान्य वर्गमूलों के लगभग मान याद रखने से तुलना आसान होती है।
So \(\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}\), meaning \(3<\sqrt{10}<4\).
Step 3
Exam Tip
Use nearby perfect squares to find the range of a square root. चरण 1: (9<10<16) है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}\), यानी \(3<\sqrt{10}<4\)। चरण 3: वर्गमूल की सीमा के लिए पास के पूर्ण वर्गों का उपयोग करें।
Remember to take a perfect square like (9) outside the root. चरण 1: \(63=9 \times 7\) है। चरण 2: \(\sqrt{63}=\sqrt{9 \times 7}=3\sqrt{7}\)। चरण 3: (9) जैसे पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना याद रखें।
Squaring a square root gives the original number inside it. चरण 1: \(y=\sqrt{11}\) है। चरण 2: (y-2=\(\sqrt{11}\)2=11)। चरण 3: वर्गमूल का वर्ग करने पर मूल संख्या मिलती है।
The product of two irrational numbers is not always irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 2: \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\), जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
Even with zero, understand the original nature of the number. चरण 1: शून्य जोड़ने से संख्या नहीं बदलती। चरण 2: \(\sqrt{5}+0=\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: शून्य के साथ भी संख्या की मूल प्रकृति समझें।
C. अनवसानी और अनावर्ती/Non-terminating and non-recurring
Step 1
Concept
(6) is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{6}\) is irrational and its decimal is non-terminating and non-recurring.
Step 3
Exam Tip
An irrational number has no fixed repeating pattern. चरण 1: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है और इसका दशमलव अनवसानी अनावर्ती होगा। चरण 3: अपरिमेय संख्या में स्थिर दोहराव नहीं होता।
Take the perfect square outside and keep the remaining part inside. चरण 1: \(90=9 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{90}=\sqrt{9 \times 10}=3\sqrt{10}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग को बाहर निकालकर शेष भाग अंदर रखें।
To identify an equivalent form, simplify the square root first. चरण 1: \(12=4 \times 3\) है। चरण 2: \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। चरण 3: बराबर रूप पहचानने के लिए वर्गमूल को सरल करना जरूरी है।
The sum of opposite terms is always zero. चरण 1: दोनों पद एक-दूसरे के विपरीत हैं। चरण 2: (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0)। चरण 3: विपरीत पदों का योग हमेशा शून्य होता है।
A non-zero rational multiplier does not remove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(3\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplying by zero gives zero. चरण 1: अशून्य परिमेय गुणक अपरिमेयता को समाप्त नहीं करता। चरण 2: जैसे \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होगा।
After simplification, check that the remaining number has no perfect square factor. चरण 1: \(112=16 \times 7\) है। चरण 2: \(\sqrt{112}=\sqrt{16 \times 7}=4\sqrt{7}\)। चरण 3: सरलीकरण में अंदर बची संख्या को फिर पूर्ण वर्ग के लिए जांचें।
C. \(1.41421356\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(1.41421356\ldots\) with no fixed repetition
Step 1
Concept
Recurring or terminating decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
A non-terminating decimal without fixed repetition can be irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not judge only by length; check for repetition. चरण 1: आवर्ती या समाप्त दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: बिना निश्चित दोहराव वाला अनवसानी दशमलव अपरिमेय हो सकता है। चरण 3: केवल लंबा दशमलव देखकर नहीं, दोहराव देखकर निर्णय लें।
Recognising the perfect square (49) is the main step here. चरण 1: \(147=49 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(\sqrt{147}=\sqrt{49 \times 3}=7\sqrt{3}\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग (49) को पहचानना यहां मुख्य कदम है।
In multiplication, multiply the numbers inside the square roots. चरण 1: \(\sqrt{2}\times\sqrt{32}=\sqrt{64}\)। चरण 2: \(\sqrt{64}=8\), इसलिए परिणाम परिमेय है। चरण 3: गुणन में वर्गमूलों के अंदर की संख्याएँ गुणा करें।
For estimation, remember common square-root values. चरण 1: \(\sqrt{3}\) का मान लगभग (1.732) है। चरण 2: इसलिए (1.73) सबसे सही निकट मान है। चरण 3: अनुमान के लिए सामान्य वर्गमूलों के मान याद रखें।
If (6) remains inside, it cannot be simplified further because it has no perfect square factor. चरण 1: \(24=4 \times 6\) है। चरण 2: \(\sqrt{24}=\sqrt{4 \times 6}=2\sqrt{6}\)। चरण 3: यदि अंदर (6) बचे तो वह आगे सरल नहीं होगा क्योंकि (6) में पूर्ण वर्ग गुणनखंड नहीं है।
Nearby perfect squares are very useful for comparing square roots. चरण 1: (9<13<16) है। चरण 2: इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\)। चरण 3: वर्गमूल की तुलना के लिए पास के पूर्ण वर्ग बहुत उपयोगी होते हैं।
In options, simplify the result before deciding its nature. चरण 1: \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 2: \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में परिणाम निकालकर ही संख्या की प्रकृति तय करें।
