\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
A. यह \(3\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है/It is \(3\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
Add the coefficients of like surds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Coefficients add; the number inside the radical remains unchanged. चरण 1: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणांक जुड़ते हैं, मूल के अंदर की संख्या नहीं बदलती।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the irrational square-root part. चरण 1: (8) परिमेय है और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the irrational square-root part. चरण 1: (6) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the square-root part. चरण 1: (5) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल पूर्णांक जुड़ने से वर्गमूल वाला भाग खत्म नहीं होता।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है/The sum of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements using a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा शब्द वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जांचें।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और (4) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (5) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not add the numbers inside different square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the nature of both parts separately. चरण 1: (2) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दोनों भागों की प्रकृति अलग-अलग पहचानें।
Adding a rational number does not make it rational.
Step 3
Exam Tip
Adding a simple rational number to an irrational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बन जाती। चरण 3: अपरिमेय में कोई साधारण परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम आम तौर पर अपरिमेय रहता है।
