A. यह (3) और (4) के बीच है/It lies between (3) and (4)
Step 1
Concept
\( \sqrt{2}\approx1.414\) and \( \sqrt{3}\approx1.732\), so the sum is about (3.146). Estimation is a safe method for such sums.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह (3) और (4) के बीच है / It lies between (3) and (4). \( \sqrt{2}\approx1.414\) and \( \sqrt{3}\approx1.732\), so the sum is about (3.146). Estimation is a safe method for such sums.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{2}\approx1.414\) और \( \sqrt{3}\approx1.732\), योग लगभग (3.146) है। कठिन योगों में अनुमान लगाना सुरक्षित तरीका है।
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\)/\(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Step 1
Concept
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\). (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\)/\(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\). The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
Step 3
Exam Tip
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें।
Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह असंभव है / This is impossible. Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
Step 3
Exam Tip
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें।
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा/At least one coefficient will be irrational
Step 1
Concept
The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational. The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
Step 3
Exam Tip
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए।
\(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. \(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{289}=17\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है।
\(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
There is no single always rule for the sum of two irrational numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। चरण 2: उनका योग (2) है जो परिमेय है। चरण 3: दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता।
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं/Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। चरण 2: इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। चरण 3: ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें।
For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The product is (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational. चरण 1: (a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: गुणन (\(\sqrt{7}\)2-\(\sqrt{2}\)2=7-2=5) परिमेय है। चरण 3: संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है।
A. यह \(3\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है/It is \(3\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
Add the coefficients of like surds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Coefficients add; the number inside the radical remains unchanged. चरण 1: समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। चरण 3: गुणांक जुड़ते हैं, मूल के अंदर की संख्या नहीं बदलती।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the irrational square-root part. चरण 1: (8) परिमेय है और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता।
\(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the irrational square-root part. चरण 1: (6) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता।
\(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational terms can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
Adding an integer does not remove the square-root part. चरण 1: (5) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: केवल पूर्णांक जुड़ने से वर्गमूल वाला भाग खत्म नहीं होता।
C. दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है/The sum of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Test always-type statements using a counterexample. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: इनका योग (0) है, जो परिमेय है। चरण 3: हमेशा शब्द वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जांचें।
\(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
Opposite irrational numbers can give a rational sum. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। चरण 3: विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और (4) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (5) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
Do not add the numbers inside different square roots directly. चरण 1: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। चरण 2: उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें।
The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the nature of both parts separately. चरण 1: (2) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 2: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में दोनों भागों की प्रकृति अलग-अलग पहचानें।
Adding a rational number does not make it rational.
Step 3
Exam Tip
Adding a simple rational number to an irrational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बन जाती। चरण 3: अपरिमेय में कोई साधारण परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम आम तौर पर अपरिमेय रहता है।
