कौन सा कथन संख्या रेखा पर \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) के स्थान के बारे में सही है?
Which statement about the position of \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) on the number line is correct?
#number-line
#irrational-sum
#estimation
A यह (3) और (4) के बीच है / It lies between (3) and (4)
B यह (2) और (3) के बीच है / It lies between (2) and (3)
C यह (4) और (5) के बीच है / It lies between (4) and (5)
D यह (1) और (2) के बीच है / It lies between (1) and (2)
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Correct Answer
A. यह (3) और (4) के बीच है / It lies between (3) and (4)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{2}\approx1.414\) और \( \sqrt{3}\approx1.732\), योग लगभग (3.146) है। कठिन योगों में अनुमान लगाना सुरक्षित तरीका है। / \( \sqrt{2}\approx1.414\) and \( \sqrt{3}\approx1.732\), so the sum is about (3.146). Estimation is a safe method for such sums.
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कौन सा विकल्प सही प्रतिउदाहरण है कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता?
Which option is a correct counterexample showing that the sum of two irrational numbers is not always irrational?
#counterexample
#irrational-sum
#reasoning
A \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
B \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) और \(2\sqrt{5}\) / \(\sqrt{5}\) and \(2\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{2}\) / \(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{8}\) और \(-\sqrt{8}\) / \(\sqrt{8}\) and \(-\sqrt{8}\)
Explanation
Simple Explanation
(\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), जो परिमेय है। परीक्षा में गलत सार्वत्रिक कथन तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / (\sqrt{8}+\(-\sqrt{8}\)=0), which is rational. In exams one counterexample is enough to disprove a universal statement.
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किस विकल्प में दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय है?
In which option is the sum of two irrational numbers rational?
#counterexample
#irrational-sum
#conjugates
A \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{7}\) और \(\sqrt{7}\) / \(\sqrt{7}\) and \(\sqrt{7}\)
D \(3+\sqrt{2}\) और \(4+\sqrt{2}\) / \(3+\sqrt{2}\) and \(4+\sqrt{2}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2+\sqrt{5}\) और \(2-\sqrt{5}\) / \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
योग (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4) है, जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़ों को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / The sum is (\(2+\sqrt{5}\)+\(2-\sqrt{5}\)=4), which is rational. In exams remember conjugate pairs as counterexamples.
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यदि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है और (a,b) अलग-अलग अभाज्य संख्याएं हैं, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) is rational and (a,b) are distinct prime numbers, which conclusion is correct?
#prime radicals
#irrational sum
#reasoning
A यह संभव है / This is possible
B यह असंभव है / This is impossible
C यह तभी संभव है जब (a+b) सम हो / Possible only when (a+b) is even
D यह तभी संभव है जब (ab) पूर्ण वर्ग हो / Possible only when (ab) is a perfect square
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Correct Answer
B. यह असंभव है / This is impossible
Explanation
Simple Explanation
अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूल अलग अपरिमेय होते हैं और उनका योग परिमेय नहीं हो सकता। परीक्षा में स्वतंत्र वर्गमूलों को जोड़कर परिमेय न मानें। / Square roots of distinct primes are different irrationals and their sum cannot be rational. In exams do not assume independent radicals can combine to a rational number.
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यदि \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) किसी द्विघात बहुपद के शून्यक हैं, तो उस बहुपद के गुणांक किस प्रकार होंगे?
If \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are zeroes of a quadratic polynomial, what type of coefficients will that polynomial have?
#coefficients
#irrational-sum
#conceptual
A सभी परिमेय अनिवार्य होंगे / All must be rational
B कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational
C सभी पूर्णांक होंगे / All will be integers
D कोई वास्तविक गुणांक नहीं होगा / No coefficient will be real
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Correct Answer
B. कम से कम एक गुणांक अपरिमेय होगा / At least one coefficient will be irrational
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए एकक बहुपद में (x) का गुणांक अपरिमेय होगा। परिमेय गुणांक के लिए ऐसे शून्यक संयुग्मी रूप में होने चाहिए। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) is irrational, so the coefficient of (x) in the monic polynomial is irrational. For rational coefficients, such zeroes must occur as conjugates.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{289}+\sqrt{290}\) की प्रकृति बताता है?
Which option describes the nature of \(\sqrt{289}+\sqrt{290}\)?
#perfect-square
#irrational-sum
#classification
A अपरिमेय संख्या / Irrational number
B परिमेय संख्या / Rational number
C पूर्णांक / Integer
D सांत दशमलव / Terminating decimal
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Correct Answer
A. अपरिमेय संख्या / Irrational number
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{289}=17\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
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कौन सा विकल्प दिखाता है कि अपरिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिमेय परिणाम मिल सकता है?
Which option shows that adding an irrational number to an irrational number can give a rational result?
#counterexample
#irrational sum
#class 10
A \(\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
B (\sqrt{5}+\(2-\sqrt{5}\)=2)
C \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\)
D \(\sqrt{7}+\sqrt{11}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{7}+\sqrt{11}\) is irrational
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Correct Answer
B. (\sqrt{5}+\(2-\sqrt{5}\)=2)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) अपरिमेय है और \(2-\sqrt{5}\) भी अपरिमेय है। / \(\sqrt{5}\) is irrational and \(2-\sqrt{5}\) is also irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग (2) है जो परिमेय है। / Their sum is (2) which is rational.
Step 3
Exam Tip
दो अपरिमेय संख्याओं के योग के लिए एक ही नियम हर बार लागू नहीं होता। / There is no single always rule for the sum of two irrational numbers.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) के परिमेय होने के दावे को गलत दिखाने में मदद करता है?
Which option helps show that the claim \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is rational is false?
#irrational sum
#conceptual proof
#class 10
A विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं / Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
B सभी वर्गमूल हमेशा परिमेय होते हैं / All square roots are always rational
C तीन अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा परिमेय होता है / The sum of three irrational numbers is always rational
D \(\sqrt{6}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) होता है / \(\sqrt{6}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
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Correct Answer
A. विभिन्न अपूर्ण वर्गों के मूल स्वतंत्र अपरिमेय भाग देते हैं / Roots of different non-perfect squares give independent irrational parts
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{6}\) अलग-अलग अपूर्ण वर्गों से जुड़े हैं। / \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{6}\) are linked to different non-perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके अपरिमेय भाग सामान्य जोड़ से पूरी तरह नहीं कटते, इसलिए योग परिमेय नहीं बनता। / Their irrational parts do not cancel through ordinary addition, so the sum is not rational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे दावों में गलत पहचान जैसे \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से बचें। / Avoid false identities such as \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
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किस विकल्प में \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) अपरिमेय है, पर (\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)) परिमेय है?
In which option is \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) irrational but (\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)) rational?
#conjugate product
#irrational sum
#class 10
A (a=7,b=2)
B (a=9,b=4)
C (a=16,b=25)
D (a=36,b=49)
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Correct Answer
A. (a=7,b=2)
Step 1
Concept
(a=7,b=2) पर \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / For (a=7,b=2), \(\sqrt{7}+\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
गुणन (\(\sqrt{7}\)2 -\(\sqrt{2}\)2 =7-2=5) परिमेय है। / The product is (\(\sqrt{7}\)2 -\(\sqrt{2}\)2 =7-2=5), which is rational.
Step 3
Exam Tip
संयुग्मी गुणन अपरिमेय योग को भी परिमेय गुणनफल दे सकता है। / A conjugate product can give a rational result even when the sum is irrational.
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यदि \(x=\sqrt{3}\) और \(y=2\sqrt{3}\), तो (x+y) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(x=\sqrt{3}\) and \(y=2\sqrt{3}\), which statement about (x+y) is correct?
#like surds
#irrational sum
#class 10
A यह \(3\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है / It is \(3\sqrt{3}\) and irrational
B यह \(3\sqrt{3}\) है और परिमेय है / It is \(3\sqrt{3}\) and rational
C यह \(5\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है / It is \(5\sqrt{3}\) and irrational
D यह (6) है और परिमेय है / It is (6) and rational
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Correct Answer
A. यह \(3\sqrt{3}\) है और अपरिमेय है / It is \(3\sqrt{3}\) and irrational
Step 1
Concept
समान मूल वाले पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। / Add the coefficients of like surds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\), and \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
गुणांक जुड़ते हैं, मूल के अंदर की संख्या नहीं बदलती। / Coefficients add; the number inside the radical remains unchanged.
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यदि \(z=8+\sqrt{11}\), तो (z) की प्रकृति क्या है?
If \(z=8+\sqrt{11}\), what is the nature of (z)?
#real-numbers
#irrational-sum
#concept
A परिमेय / Rational
B अपरिमेय / Irrational
C पूर्णांक / Integer
D सम संख्या / Even number
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Correct Answer
B. अपरिमेय / Irrational
Step 1
Concept
(8) परिमेय है और \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। / (8) is rational and \(\sqrt{11}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / Adding an integer does not remove the irrational square-root part.
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कौन-सा युग्म दो अपरिमेय संख्याओं का है जिनका योग परिमेय है?
Which pair has two irrational numbers whose sum is rational?
#real-numbers
#irrational-sum
#rational-result
A \(\sqrt{11},-\sqrt{11}\)
B \(\sqrt{2},\sqrt{8}\)
C \(\sqrt{3},\sqrt{12}\)
D \(\sqrt{6},2\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{11},-\sqrt{11}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{11}\) और \(-\sqrt{11}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{11}\) and \(-\sqrt{11}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग (0) है, जो परिमेय है। / Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है। / Opposite irrational terms can give a rational sum.
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यदि \(z=6+\sqrt{5}\), तो (z) की प्रकृति क्या है?
If \(z=6+\sqrt{5}\), what is the nature of (z)?
#real-numbers
#irrational-sum
#concept
A परिमेय / Rational
B अपरिमेय / Irrational
C पूर्णांक / Integer
D सम संख्या / Even number
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Correct Answer
B. अपरिमेय / Irrational
Step 1
Concept
(6) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / (6) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक जोड़ने से वर्गमूल वाला अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / Adding an integer does not remove the irrational square-root part.
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कौन-सा युग्म दो अपरिमेय संख्याओं का है जिनका योग परिमेय है?
Which pair has two irrational numbers whose sum is rational?
#real-numbers
#irrational-sum
#rational-result
A \(\sqrt{5},-\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2},\sqrt{8}\)
C \(\sqrt{3},\sqrt{12}\)
D \(\sqrt{6},2\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5},-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग (0) है, जो परिमेय है। / Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
विपरीत अपरिमेय पदों का योग परिमेय हो सकता है। / Opposite irrational terms can give a rational sum.
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यदि \(a=5+\sqrt{2}\), तो (a) की प्रकृति क्या है?
If \(a=5+\sqrt{2}\), what is the nature of (a)?
#real-numbers
#irrational-sum
#concept
A परिमेय / Rational
B अपरिमेय / Irrational
C पूर्णांक / Integer
D प्राकृतिक / Natural
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Correct Answer
B. अपरिमेय / Irrational
Step 1
Concept
(5) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / (5) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
केवल पूर्णांक जुड़ने से वर्गमूल वाला भाग खत्म नहीं होता। / Adding an integer does not remove the square-root part.
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कौन-सा कथन गलत है?
Which statement is false?
#real-numbers
#false-statement
#irrational-sum
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{49}\) परिमेय है / \(\sqrt{49}\) is rational
C दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है / The sum of two irrational numbers is always irrational
D \(0.727272\ldots\) परिमेय है / \(0.727272\ldots\) is rational
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Correct Answer
C. दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है / The sum of two irrational numbers is always irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
इनका योग (0) है, जो परिमेय है। / Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
हमेशा शब्द वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जांचें। / Test always-type statements using a counterexample.
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निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म ऐसे दो अपरिमेय संख्याओं का है जिनका योग परिमेय है?
Which pair consists of two irrational numbers whose sum is rational?
#real-numbers
#irrational-sum
#rational-result
A \(\sqrt{2},-\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3},\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5},\sqrt{20}\)
D \(\sqrt{7},1\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2},-\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग (0) है, जो परिमेय संख्या है। / Their sum is (0), which is rational.
Step 3
Exam Tip
विपरीत अपरिमेय संख्याएँ जोड़ने पर परिमेय परिणाम आ सकता है। / Opposite irrational numbers can give a rational sum.
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\(\sqrt{7}+4\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about \(\sqrt{7}+4\)?
#real-numbers
#irrational-sum
#sqrt7
A यह परिमेय है / It is rational
B यह पूर्णांक है / It is an integer
C यह अपरिमेय है / It is irrational
D यह शून्य है / It is zero
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Correct Answer
C. यह अपरिमेय है / It is irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और (4) परिमेय है। / \(\sqrt{7}\) is irrational and (4) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। / Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is generally irrational.
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\(\sqrt{2}+5\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about \(\sqrt{2}+5\)?
#real-numbers
#irrational-sum
#sqrt2
A यह परिमेय है / It is rational
B यह अपरिमेय है / It is irrational
C यह (7) है / It is (7)
D यह पूर्णांक है / It is an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह अपरिमेय है / It is irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (5) परिमेय है। / \(\sqrt{2}\) is irrational and (5) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। / Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is generally irrational.
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\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#radicals
#irrational-sum
A यह परिमेय है / It is rational
B यह अपरिमेय है / It is irrational
C यह (5) है / It is (5)
D यह \(\sqrt{5}\) है / It is \(\sqrt{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह अपरिमेय है / It is irrational
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका योग \(\sqrt{5}\) नहीं होता; \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय रहता है। / Their sum is not \(\sqrt{5}\); \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) remains irrational.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गमूलों को सीधे अंदर की संख्याएँ जोड़कर न लिखें। / Do not add the numbers inside different square roots directly.
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\(2+\sqrt{5}\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about \(2+\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrational-sum
#sqrt5
A यह परिमेय है / It is rational
B यह अपरिमेय है / It is irrational
C यह (7) के बराबर है / It is equal to (7)
D यह पूर्ण वर्ग है / It is a perfect square
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Correct Answer
B. यह अपरिमेय है / It is irrational
Step 1
Concept
(2) परिमेय है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / (2) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The sum of a rational and an irrational number is irrational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दोनों भागों की प्रकृति अलग-अलग पहचानें। / In such questions, identify the nature of both parts separately.
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\(\sqrt{2}+3\) कैसी संख्या है?
What type of number is \(\sqrt{2}+3\)?
#real-numbers
#irrational-sum
#sqrt2
A परिमेय संख्या / Rational number
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C पूर्ण वर्ग / Perfect square
D प्राकृतिक संख्या / Natural number
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Correct Answer
B. अपरिमेय संख्या / Irrational number
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) परिमेय है। / \(\sqrt{2}\) is irrational and (3) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बन जाती। / Adding a rational number does not make it rational.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय में कोई साधारण परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम आम तौर पर अपरिमेय रहता है। / Adding a simple rational number to an irrational number generally keeps it irrational.
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