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\(\frac{27}{150}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{50}\) मिलता है। / \(\frac{27}{150}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(50=2\times5^2\), इसलिए हर में केवल (2) और (5) हैं। / Since \(50=2\times5^2\), the denominator has only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव का प्रकार बताने से पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में जरूर लिखें। / Exam tip: Always reduce the fraction to lowest form before deciding the decimal type.
\(\frac{56}{180}\) को (4) से सरल करने पर \(\frac{14}{45}\) मिलता है। / \(\frac{56}{180}\) simplifies by (4) to \(\frac{14}{45}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), इसलिए हर में (3) भी है। / Since \(45=3^2\times5\), the denominator still contains (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (5) मौजूद होने पर भी यदि (3) बच जाए तो दशमलव समाप्त नहीं होता। / Exam tip: Even if (5) is present, a remaining factor (3) makes the decimal recurring.
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
घातें (3) और (5) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। / The exponents are (3) and (5), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है। / Exam tip: For a terminating decimal, the number of places comes from the larger exponent of (2) and (5).
\(24=2^3\times3\) है, इसलिए हर में (3) बाधा बन रहा है। / \(24=2^3\times3\), so factor (3) in the denominator is the obstacle.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{7}{24}\times3=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\), जिसका हर \(2^3\) है। / \(\frac{7}{24}\times3=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\), whose denominator is \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में हर के अनचाहे गुणनखंड को सरल होकर हटाने की सोच रखें। / Exam tip: In such questions, think of cancelling unwanted denominator factors after multiplication.
\(16\times625=10000\) है। / \(16\times625=10000\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{7}{16}=\frac{4375}{10000}=0.4375\) है। / \(\frac{7}{16}=\frac{4375}{10000}=0.4375\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (16), (32), (64) जैसे हरों के लिए (10) की घात बनाना उपयोगी रहता है। / Exam tip: For denominators like (16), (32), and (64), making a power of (10) is useful.
\(0.3125=\frac{3125}{10000}\) है। / \(0.3125=\frac{3125}{10000}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों को (625) से भाग देने पर \(\frac{5}{16}\) मिलता है। / Dividing numerator and denominator by (625), we get \(\frac{5}{16}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: चार दशमलव स्थान हों तो पहले हर (10000) लें और फिर सरल करें। / Exam tip: For four decimal places, start with denominator (10000) and then simplify.
हर में (2) की बड़ी घात (3) है, इसलिए अधिकतम (3) स्थान होंगे। / The larger exponent is (3), so there can be at most (3) decimal places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश (a) चाहे जो हो, न्यूनतम रूप में हर ही दशमलव स्थान तय करता है। / Exam tip: Whatever (a) is, the denominator in lowest form decides the decimal places.
\(0.0\overline{6}=0.0666\ldots\) है। / \(0.0\overline{6}=0.0666\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(\frac{1}{15}\) के बराबर है क्योंकि \(\frac{1}{15}=0.0666\ldots\)। / It equals \(\frac{1}{15}\) because \(\frac{1}{15}=0.0666\ldots\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दशमलव के बाद पहले स्थिर अंक और फिर आवर्ती अंक को अलग पहचानें। / Exam tip: Separate the non-repeating part and the repeating part after the decimal point.
हर (q) में (2) और (5) के साथ (3) भी है। / The denominator (q) has (3) along with (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (3) बचा है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since (3) remains in lowest form, the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में (2) और (5) के अलावा कोई भी अभाज्य गुणनखंड बचा हो तो दशमलव आवर्ती होगा। / Exam tip: If any prime factor other than (2) and (5) remains in the denominator, the decimal is recurring.
A. समाप्त क्योंकि हर का सरल रूप (40) है/Terminating because the reduced denominator is (40)
Step 1
Concept
\(\frac{121}{440}\) को (11) से सरल करने पर \(\frac{11}{40}\) मिलता है। / \(\frac{121}{440}\) simplifies by (11) to \(\frac{11}{40}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / Since \(40=2^3\times5\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: मूल हर में दिख रहा (11) सरल करने पर हट सकता है। / Exam tip: A factor like (11) in the original denominator may disappear after simplification.
\(\frac{18}{75}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{6}{25}\) नहीं बल्कि \(\frac{6}{25}\) मिलता है, यह समाप्त है; इसलिए इसे फिर जाँचते हैं। / \(\frac{18}{75}\) simplifies by (3) to \(\frac{6}{25}\), which is terminating, so it must be checked again.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), और \(\frac{22}{125}\) भी समाप्त हैं। / \(\frac{35}{56}=\frac{5}{8}\), \(\frac{49}{98}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{22}{125}\) are also terminating.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दिए गए विकल्पों में कोई असमाप्त आवर्ती नहीं है, इसलिए प्रश्न में सही उत्तर उपलब्ध नहीं होता। / Exam tip: Here no option is non-terminating recurring, so the given option set has no valid answer.
\(\frac{72}{540}\) को (36) से सरल करने पर \(\frac{2}{15}\) मिलता है। / \(\frac{72}{540}\) simplifies by (36) to \(\frac{2}{15}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15=3\times5\), इसलिए हर में (3) बचता है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(15=3\times5\), factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप में (2) और (5) के अलावा कोई गुणनखंड हो तो दशमलव आवर्ती होता है। / Exam tip: If a factor other than (2) and (5) remains in the reduced denominator, the decimal is recurring.
\(625\times16=10000\) है। / \(625\times16=10000\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{91}{625}=\frac{1456}{10000}=0.1456\) होता है। / \(\frac{91}{625}=\frac{1456}{10000}=0.1456\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर (625) हो तो उसे (10000) बनाने के लिए (16) से गुणा करना याद रखें। / Exam tip: When the denominator is (625), multiply by (16) to make (10000).
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
घातें (6) और (2) हैं, इनमें बड़ी घात (6) है। / The exponents are (6) and (2), and the larger exponent is (6).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव के अधिकतम स्थान बड़ी घात से तय होते हैं। / Exam tip: The maximum number of decimal places is decided by the larger exponent.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
दो अंकों का आवर्ती दशमलव \(0.\overline{18}\) पहले \(\frac{18}{99}\) के रूप में लिखा जाता है। / The two-digit recurring decimal \(0.\overline{18}\) is first written as \(\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{18}{99}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / Simplifying \(\frac{18}{99}\) by (9) gives \(\frac{2}{11}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दो अंक दोहरें तो हर में (99) लेना एक तेज तरीका है। / Exam tip: For two repeating digits, using denominator (99) is a quick method.
B. यह असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{143}{550}\) को (11) से सरल करने पर \(\frac{13}{50}\) नहीं बल्कि \(\frac{13}{50}\) मिलता है। / \(\frac{143}{550}\) simplifies by (11) to \(\frac{13}{50}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(50=2\times5^2\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / Since \(50=2\times5^2\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: इस गणना से पता चलता है कि सही निर्णय समाप्त दशमलव है। / Exam tip: This calculation shows that the correct decision is terminating decimal.
\(\frac{26}{143}\) सबसे सरल रूप में है क्योंकि \(143=11\times13\) और \(26=2\times13\) में (13) समान है, इसलिए पहले \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{26}{143}\) simplifies by (13) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) does not contain only (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल करने के बाद बचे हर को ही अंतिम आधार मानें। / Exam tip: After simplification, use the remaining denominator as the final basis.
\(128=2^7\) है और भिन्न पहले से सरल रूप में है। / \(128=2^7\), and the fraction is already in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
हर में केवल (2) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा और (7) स्थानों तक जा सकता है। / The denominator has only (2), so the decimal terminates and can go up to (7) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: \(2^n\) वाले हर में दशमलव स्थान सामान्यतः (n) तक जाते हैं। / Exam tip: For a denominator \(2^n\), the decimal usually goes up to (n) places.
\(18=2\times3^2\) है, इसलिए हर में \(3^2\) बाधा है। / \(18=2\times3^2\), so \(3^2\) in the denominator is the obstacle.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5}{18}\times3=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\) अभी भी समाप्त नहीं है, इसलिए (3) पर्याप्त नहीं है। / Multiplying by (3) gives \(\frac{15}{18}=\frac{5}{6}\), which still does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सही न्यूनतम गुणक (9) होना चाहिए, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई उपयुक्त विकल्प नहीं है। / Exam tip: The correct least multiplier should be (9), so none of the given options is suitable.
\(18=2\times3^2\) है, और समाप्त दशमलव के लिए हर से \(3^2\) हटना चाहिए। / \(18=2\times3^2\), and \(3^2\) must be removed from the denominator for a terminating decimal.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{5}{18}\times9=\frac{45}{18}=\frac{5}{2}\), जिसका हर (2) है। / \(\frac{5}{18}\times9=\frac{45}{18}=\frac{5}{2}\), whose denominator is (2).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में जितनी (3) की घात बची हो, उसे हटाने के लिए उतनी ही मदद चाहिए। / Exam tip: Remove the full remaining power of the unwanted prime factor.
B. यह असमाप्त आवर्ती है क्योंकि सरल रूप में हर में (5) के साथ (7) बचता है/It is non-terminating recurring because the reduced denominator still has (7) with (5)
Step 1
Concept
\(\frac{63}{245}\) को (7) से सरल करने पर \(\frac{9}{35}\) मिलता है। / \(\frac{63}{245}\) simplifies by (7) to \(\frac{9}{35}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(35=5\times7\), इसलिए हर में (7) बचा है और दशमलव समाप्त नहीं होगा। / Since \(35=5\times7\), factor (7) remains and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर में (5) होना पर्याप्त नहीं, केवल (2) और (5) ही होने चाहिए। / Exam tip: Having (5) in the denominator is not enough; only (2) and (5) should remain.
\(0.0625=\frac{625}{10000}\) है। / \(0.0625=\frac{625}{10000}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{625}{10000}\) को (625) से सरल करने पर \(\frac{1}{16}\) मिलता है। / Simplifying by (625) gives \(\frac{1}{16}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (0.0625), (0.125), (0.25) जैसे सामान्य दशमलव याद रखना उपयोगी है। / Exam tip: Remembering common decimals like (0.0625), (0.125), and (0.25) is useful.
\(2000=2^4\times5^3\) है। / \(2000=2^4\times5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / The larger exponent is (4), so the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर को (10000) बनाने की कल्पना करें, स्थानों की संख्या स्पष्ट हो जाएगी। / Exam tip: Imagine converting the denominator to (10000); the number of places becomes clear.
\(0.135135135\ldots\) में (135) का समूह बार-बार आ रहा है। / In \(0.135135135\ldots\), the block (135) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं होता। / A recurring decimal is rational, but it does not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: असमाप्त दशमलव में नियमित दोहराव हो तो उसे परिमेय मानें। / Exam tip: If a non-terminating decimal has a regular repeated block, treat it as rational.
\(\frac{18}{225}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{2}{25}\) मिलता है। / \(\frac{18}{225}\) simplifies by (9) to \(\frac{2}{25}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25=5^2\), इसलिए दशमलव (2) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since \(25=5^2\), the decimal terminates after (2) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: मूल हर में \(3^2\) था, पर सरल करने पर वह हट गया। / Exam tip: The original denominator had \(3^2\), but it disappeared after simplification.
\(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / \(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। / The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें। / Exam tip: Simplify every option before making the final choice.
C. (0.48) समाप्त है और \(0.\overline{48}\) असमाप्त आवर्ती है/(0.48) is terminating and \(0.\overline{48}\) is non-terminating recurring
Step 1
Concept
(0.48) दो दशमलव स्थानों पर रुक जाता है। / (0.48) stops after two decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.\overline{48}\) में (48) बार-बार आता है, इसलिए यह असमाप्त आवर्ती है। / In \(0.\overline{48}\), the block (48) repeats, so it is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: रुकने वाले दशमलव और बार-बार चलने वाले दशमलव में अंतर साफ रखें। / Exam tip: Keep the difference between stopping decimals and repeating decimals clear.
हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। / The denominator has only factors (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (5) और (5) की घात (3) है, इसलिए बड़ी घात (5) है। / The exponent of (2) is (5), and the exponent of (5) is (3), so the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: हर को \(10^5\) जैसा बनाने की सोचें। / Exam tip: Think of making the denominator like \(10^5\).
A. कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
\(\frac{27}{375}\) को (3) से सरल करने पर \(\frac{9}{125}\) मिलता है। / \(\frac{27}{375}\) simplifies by (3) to \(\frac{9}{125}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(125=5^3\), इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / Since \(125=5^3\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: कथन-कारण में कारण सही होने के साथ सही व्याख्या भी दे रहा है या नहीं, यह देखें। / Exam tip: In assertion-reason questions, check whether the reason is true and also explains the assertion.
\(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\) होता है। / \(0.\overline{27}=\frac{27}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{27}{99}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{3}{11}\) मिलता है। / Simplifying \(\frac{27}{99}\) by (9) gives \(\frac{3}{11}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दो अंकों का आवर्ती भाग हो तो (99) वाला हर तेजी से उत्तर देता है। / Exam tip: For a two-digit repeating part, denominator (99) quickly gives the answer.
\(\frac{77}{308}\) को (77) से सरल करने पर \(\frac{1}{4}\) मिलता है। / \(\frac{77}{308}\) simplifies by (77) to \(\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{4}=0.25\) होता है। / \(\frac{1}{4}=0.25\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: बड़ी संख्याओं में साझा गुणनखंड पहचानना सबसे बड़ा समय बचाता है। / Exam tip: Spotting the common factor in large numbers saves the most time.
B. यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा/It will terminate after (3) places
Step 1
Concept
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (2) और (5) की घात (3) है, इसलिए बड़ी घात (3) है। / The powers are (2) for (2) and (3) for (5), so the larger exponent is (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश (23) हर से सहअभाज्य है, इसलिए स्थानों की गिनती सीधे हर से करें। / Exam tip: Since numerator (23) is coprime with the denominator, count places directly from the denominator.
भिन्न सबसे सरल रूप में है, इसलिए हर में \(3^2\) बचा रहेगा। / Since the fraction is in lowest form, \(3^2\) remains in the denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: सरल रूप में (3) बचने पर दशमलव समाप्त नहीं होता। / Exam tip: If factor (3) remains in the reduced denominator, the decimal does not terminate.
\(125=5^3\) है, इसलिए हर के \(5^5\) में से \(5^3\) कट जाएगा। / \(125=5^3\), so \(5^3\) cancels from \(5^5\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
सरल रूप में हर \(2^4\times5^2\) रहेगा, जिसकी बड़ी घात (4) है। / The reduced denominator is \(2^4\times5^2\), whose larger exponent is (4).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश में मौजूद (2) या (5) हर की घातों को घटा सकते हैं। / Exam tip: Factors (2) or (5) in the numerator can reduce the denominator powers.
\(\frac{91}{182}=\frac{1}{2}\), \(\frac{39}{156}=\frac{1}{4}\), और \(\frac{68}{170}=\frac{2}{5}\) हैं। / \(\frac{91}{182}=\frac{1}{2}\), \(\frac{39}{156}=\frac{1}{4}\), and \(\frac{68}{170}=\frac{2}{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{51}{119}\) में कोई कटौती नहीं होती और \(119=7\times17\) है। / \(\frac{51}{119}\) does not reduce, and \(119=7\times17\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: कई विकल्पों में पहले सरल रूप बनाकर ही असमाप्त विकल्प चुनें। / Exam tip: In multi-option questions, reduce each fraction before choosing the non-terminating one.
भिन्न सबसे सरल रूप में है और बड़ी घात (5) है। / The fraction is in lowest form, and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: (6250) जैसे हर में (5) की घात पहचानने से उत्तर जल्दी मिल जाता है। / Exam tip: For denominators like (6250), identifying the power of (5) quickly gives the answer.
B. दोनों असमाप्त आवर्ती हैं/Both are non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(14=2\times7\) और \(28=2^2\times7\) हैं। / \(14=2\times7\) and \(28=2^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों हरों में (7) बचता है, इसलिए दोनों दशमलव समाप्त नहीं होंगे। / Factor (7) remains in both denominators, so both decimals do not terminate.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: तुलना वाले प्रश्नों में दोनों हरों का अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडन करें। / Exam tip: In comparison questions, prime-factorise both denominators separately.
\(0.12\overline{3}=0.123333\ldots\) में (12) स्थिर भाग है और (3) आवर्ती भाग है। / In \(0.12\overline{3}=0.123333\ldots\), (12) is the non-repeating part and (3) is the repeating part.
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न \(\frac{123-12}{900}=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\) मिलेगी। / The fraction is \(\frac{123-12}{900}=\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: स्थिर और आवर्ती भाग अलग पहचानकर ही हर में (9) और (0) लगाएं। / Exam tip: Identify the non-repeating and repeating parts before placing (9) and (0) in the denominator.
