Class 10 Mathematics - Real Numbers - Decimal expansion of rational numbers Medium Quiz

B. \(p^2=3q^2\)

C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)

A. (a=2k)

C. \(9k^2=3q^2\)

A. \(q^2=5k^2\)

D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)

A. (r), (x) को भी विभाजित करता है/(r) also divides (x)

A. उनके सहअभाज्य होने से/Their being coprime

A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)

A. परिमेय मानना, वर्ग करना, (p) और (q) दोनों सम पाना, विरोधाभास लिखना/Assume rational, square, find both (p) and (q) even, write contradiction

A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq 0\)/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime and \(q\neq 0\)

A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)

A. इससे (q) भी सम सिद्ध होता है/It proves (q) is also even

A. पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध कर (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be substituted

A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction

A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number

A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form

A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have common factor (3)

A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)

A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)

B. \(\sqrt{3}\)

A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd

D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)

A. वर्गमूल हटाकर \(p^2=nq^2\) जैसा समीकरण पाना/To remove the square root and get an equation like \(p^2=nq^2\)

B. (q=3r)

A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime

A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{5}\) is irrational

A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found

A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड से वर्ग और मूल संख्या की विभाज्यता जोड़ी जाती है/In both, a prime factor connects divisibility of the square and the original number

A. पहले \(p^2\) सम और (p) सम सिद्ध करके (p=2k) रखना होता है/First \(p^2\) even and (p) even must be proved, then (p=2k) is substituted

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. (p) और (q) दोनों सम हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are even, so they cannot be coprime

A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है/\(\frac{p}{q}\) is in lowest form

A. \(q^2=5k^2\) मिलना/Getting \(q^2=5k^2\)

A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना/Treating the square root as equal to the number inside it

A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. आगे (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To later show (q) is also divisible by (5)

A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational

D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)

A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/\(\sqrt{5}\) is irrational because assuming rational makes both (p) and (q) divisible by (5)

A. विरोधाभास किस शर्त से आ रहा है, यह स्पष्ट लिखना/Clearly write which condition creates the contradiction

A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form

A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write lowest-form fraction, square, take contradiction from common factor

A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational

A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form

A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number