By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), numerator and denominator share (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (5) साझा है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) tells us divisibility of \(p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (p) is divisible by (5), but (p=5q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
In exams, writing (p=5k) is correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) की विभाज्यता पता चलती है। चरण 2: अभाज्य नियम से (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: परीक्षा में (p=5k) लिखना सही है।
A. परिमेय मानना, \(p^2=5q^2\) पाना, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाना/Assume rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Then common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: फिर दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence (p=5k) is written. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी कारण (p=5k) लिखा जाता है।
A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) is a middle step of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The proof is incomplete without contradiction and conclusion. चरण 1: \(p^2=5q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है। चरण 2: इसके बाद (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाने होते हैं। चरण 3: विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. \(q^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (5), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This shows a common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
C. \(m^2\) (5) से विभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(m^2=5n^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(m^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude divisibility of (m). चरण 1: \(m^2=5n^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (m) की विभाज्यता निकालें।
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है।
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then (p) and (q) both have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the basis for writing (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: यही आगे (p=5k) लिखने का आधार है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (5), so they cannot be coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This means their common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the condition of being coprime. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि उनका साझा गुणनखंड (5) है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
A. (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है/The greatest common divisor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
In lowest form, a fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
This means the greatest common divisor of (p) and (q) is (1).
Step 3
Exam Tip
Later finding (5) in both contradicts this. चरण 1: सरलतम रूप में भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। चरण 2: इसका अर्थ है कि (p) और (q) का महत्तम समापवर्तक (1) है। चरण 3: बाद में दोनों में (5) मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है।
A. (p=5k) रखकर \(q^2=5k^2\) मिलने के बाद/After substituting (p=5k) and getting \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
First, from \(p^2=5q^2\), (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (p=5k) gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (q) is concluded divisible by (5). चरण 1: पहले \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: फिर (p=5k) रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: तब (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
A. \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में होने से/\(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), common factor (5) exists.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (5) मिल जाता है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास बनाता है।
D. \(p^2=5q^2\) से सीधे (p=5q)/From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (p) divisible by (5), but not directly (p=5q).
Step 3
Exam Tip
The correct form is (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इससे (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: सही रूप (p=5k) है।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है/(p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य कहने में/In saying (p) is divisible by (5) when \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The prime-number rule is the backbone of the proof. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: अभाज्य संख्या वाला नियम प्रमाण की रीढ़ है।
This is used to prove (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध किया जाता है।
After divisibility, write (p=5k), where (k) is an integer. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) (5) से विभाज्य है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर (p=5k) लिखें, जहां (k) पूर्णांक है।
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5), so (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है, इसलिए (p=5k)। चरण 2: रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First (p) is found to have factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) in the equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (5). चरण 1: पहले (p) में (5) का गुणनखंड मिला। चरण 2: (p=5k) को समीकरण में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the assumption of lowest form. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (5) है। चरण 2: ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। चरण 3: यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है।
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), \(p^2\) equals \(5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(p^2\) definitely has factor (5).
Step 3
Exam Tip
Divisibility of \(q^2\) comes in a later step. चरण 1: \(p^2=5q^2\) में \(p^2\) \(5q^2\) के बराबर है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) में (5) का गुणनखंड निश्चित है। चरण 3: \(q^2\) की विभाज्यता बाद के चरण में आती है।
B. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है/From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Directly writing (p=5q) is not correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: सीधे (p=5q) लिखना सही नहीं है।
A. मानें \(\sqrt{5}\) परिमेय है, \(p^2=5q^2\) पाएं, (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य दिखाएं/Assume \(\sqrt{5}\) rational, get \(p^2=5q^2\), show both (p) and (q) divisible by (5)
Step 1
Concept
The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Finally, a common factor (5) in both gives the contradiction. चरण 1: प्रमाण परिमेय मान्यता से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: अंत में दोनों में (5) साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाया जाता है।
A. इससे \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य मिलता है/It lets us conclude that if \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(p^2\) divisible by (5) implies (p) divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the main logic of the proof. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड वर्ग में आने पर मूल संख्या में भी आता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य होने पर (p) (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: यही प्रमाण का मुख्य तर्क है।
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the correct rule from square to original number. चरण 1: \(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं।
Writing ((5k)2) as \(5k^2\) is a mistake. चरण 1: (m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। चरण 2: इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। चरण 3: ((5k)2) को \(5k^2\) लिखना गलती है।
