Therefore (m=5k) is the correct next step. चरण 1: \(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है।
Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition. चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है।
So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Choose the correct factor according to the number. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। चरण 3: संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें।
A. यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First, (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=5k) gives divisibility by (5) for (q) too.
Step 3
Exam Tip
A common factor in both creates the contradiction. चरण 1: पहले (p) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (p=5k) को समीकरण में रखने पर (q) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलती है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास है।
A square and square root cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2=5) मिलेगा। चरण 3: वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं।
This later shows that (q) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), यानी \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) के (5) से विभाज्य होने की बात आगे आती है।
C. \(\sqrt{5}=5\) मान लेते हैं/We take \(\sqrt{5}=5\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=5\) is false because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
In the correct proof, \(\sqrt{5}\) is assumed rational and a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number under it. चरण 1: \(\sqrt{5}=5\) गलत है क्योंकि \(5^2=25\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें।
Do this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) को वर्ग करें। चरण 2: ((5k)2=25k-2), इसलिए \(p^2=25k^2\)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण बहुत ध्यान से करें।
C. \(p^2\) (5) से विभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then conclude about (p). चरण 1: \(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (p) के बारे में निष्कर्ष लें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
Always write the denominator-clearing step carefully. चरण 1: दोनों ओर वर्ग करने पर \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा। चरण 2: दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 3: हर हटाने का चरण हमेशा ध्यान से लिखें।
In the correct proof, \(\sqrt{5}\) is assumed rational and a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number under it. चरण 1: \(\sqrt{5}=5\) गलत है क्योंकि \(5^2=25\) होता है। चरण 2: सही प्रमाण में \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: वर्गमूल को मूल संख्या के बराबर न मानें।
It leads to common factor (5) in both numbers. चरण 1: \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: यहां (5) अभाज्य गुणनखंड मुख्य है। चरण 3: इसी से दोनों संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे/Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
Hence this result gives a contradiction. चरण 1: (a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है।
A. \(a^2=5b^2\) से (a) (5) से विभाज्य है/From \(a^2=5b^2\), (a) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This is the correct middle step, not directly (a=5b). चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: यही सही मध्य चरण है, सीधे (a=5b) नहीं।
This helps show that (b) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है।
So after squaring both sides, the left side becomes (5).
Step 3
Exam Tip
A square root and square cancel each other. चरण 1: \(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। चरण 2: इसलिए दोनों ओर वर्ग करने पर बाईं ओर (5) मिलेगा। चरण 3: वर्गमूल और वर्ग एक-दूसरे को हटाते हैं।
A. (b) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (b) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
First, (a) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (a=5k) gives divisibility by (5) for (b) too.
Step 3
Exam Tip
Getting a common factor in both is the contradiction. चरण 1: पहले (a) (5) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: (a=5k) को समीकरण में रखने पर (b) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलेगी। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास है।
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
The right side of the equation is \(5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the left side \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
First write divisibility of the square, then of the original number. चरण 1: समीकरण में दाईं ओर \(5b^2\) है। चरण 2: इसलिए बाईं ओर \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की।
A. वे सहअभाज्य नहीं हो सकते/They cannot be coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (5), both have (5) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
Thus the initial rational assumption becomes false. चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से आरंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A small algebra mistake can spoil the whole proof. चरण 1: (a=5k) लिखते हैं। चरण 2: वर्ग करने पर (a-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: छोटे बीजगणितीय कदमों में गलती से पूरा प्रमाण बिगड़ सकता है।
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(a=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
Step 3
Exam Tip
After divisibility, write the number using that factor. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें।
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है/Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, finding a common factor gives the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है।
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण/Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
Putting (n=5) gives the number \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
This starts the irrationality proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (n=5) रखने पर संख्या \(\sqrt{5}\) बनती है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलेगा। चरण 3: इसी से \(\sqrt{5}\) का अपरिमेयता प्रमाण आगे बढ़ता है।
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखना/Writing (p=5q) from \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), we get that \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
We cannot directly write (p=5q).
Step 3
Exam Tip
The correct step is to say (p) is divisible by (5), then write (p=5k). चरण 1: \(p^2=5q^2\) से यह मिलता है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: इससे सीधे (p=5q) नहीं लिख सकते। चरण 3: सही कदम है कि (p) (5) से विभाज्य है, फिर (p=5k) लिखें।
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में/In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The common factor (5) breaks the coprime condition. चरण 1: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 3: साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है।
Do this simplification carefully in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (p=5k) दिया है। चरण 2: वर्ग करने पर (p-2=(5k)2=25k-2)। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह सरलीकरण ध्यान से करें।
If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही विरोधाभास बनता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction. चरण 1: (p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। चरण 2: प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। चरण 3: दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है।
A. \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2=5k^2\), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Getting a common factor creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होता है। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास बनता है।
A. (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है/(p=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
A number divisible by (5) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
So (p) can be written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
Substituting this form in the original equation gives the same conclusion for (q). चरण 1: (5) से विभाज्य संख्या में (5) गुणनखंड होता है। चरण 2: इसलिए (p=5k) लिखा जा सकता है। चरण 3: इस रूप को मूल समीकरण में रखने से (q) के लिए भी समान निष्कर्ष मिलता है।
