संख्या 0.2020020002... के बारे में कौन सा कथन सही है?
Which statement is correct about the number 0.2020020002...?
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A. यह अपरिमेय संख्या हैIt is an irrational number
Simple Explanation
इस दशमलव में ’2’ के स्थान क्रमशः 1, 3, 6, 10, ... पर आते हैं — ये त्रिभुज संख्याएँ हैं, अर्थात् स्थानों का सामान्य रूप \\(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\\) है। इन स्थानों के बीच की दूरी बढ़ती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक (period) मौजूद नहीं रह सकता। किसी भी यौगिक दशमलव के लिए यदि वह राशनल होता है तो उसका दशमलव या तो समाप्त होगा या किसी निश्चित आवर्ती ब्लॉक के बाद आवर्ती हो जाएगा। पर यह दशमलव न तो समाप्त है और न ही आवर्ती है, अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा-सुझाव: किसी दशमलव को राशनल साबित करने के लिए देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती है या समाप्त। / The digit '2' appears at positions 1, 3, 6, 10, ... which are triangular numbers with general term \(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\). The gaps between successive '2's increase, so there is no fixed repeating block (period). Any rational number's decimal expansion is either terminating or eventually periodic; this decimal is neither, therefore it is irrational. Exam tip: to test rationality, check whether the decimal eventually repeats or terminates — if not, it is irrational.
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