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The denominator has only (2), so the decimal terminates and may go up to five places.
Step 3
Exam Tip
The highest power of (2) or (5) gives the number of decimal places. चरण 1: \(32=2^5\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा और घात (5) होने से पांच स्थानों तक जा सकता है। चरण 3: (2) या (5) की सबसे बड़ी घात दशमलव स्थान बताती है।
Dividing (4) by (9) gives the digit (4) repeatedly.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, \(\frac{4}{9}=0.\overline{4}\).
Step 3
Exam Tip
Put the repeating digit under the bar. चरण 1: (4) को (9) से भाग देने पर अंक (4) बार-बार आता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{4}{9}=0.\overline{4}\) है। चरण 3: दोहरने वाले अंक को बार के अंदर लिखना न भूलें।
Since \(8=2^3\), the reduced denominator has only (2), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Always apply the rule to the reduced fraction. चरण 1: \(\frac{18}{48}=\frac{3}{8}\) है। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए सरल रूप के भाजक में केवल (2) है और दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: नियम हमेशा सरल रूप वाली भिन्न पर लगाएं।
If numerator and denominator look large, reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{21}{28}=\frac{3}{4}\) है। चरण 2: \(\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0.75\) होता है। चरण 3: बड़े अंश और भाजक दिखें तो पहले भिन्न को सरल करें।
The denominator has exponent (2) on (2) and exponent (4) on (5).
Step 2
Why this answer is correct
The larger exponent is (4), so the decimal terminates within four places.
Step 3
Exam Tip
In such questions, the larger exponent gives the answer. चरण 1: भाजक में (2) की घात (2) और (5) की घात (4) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव अधिकतम चार स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी स्थितियों में बड़ी घात ही उत्तर देती है।
The denominator contains (3), so \(\frac{7}{18}\) will not terminate.
Step 3
Exam Tip
In options, identify the denominator that has a factor other than (2) and (5). चरण 1: \(18=2\times3^2\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए \(\frac{7}{18}\) का दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: विकल्पों में उस भाजक को पहचानें जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो।
For three decimal places, first use denominator (1000) and then reduce. चरण 1: \(0.375=\frac{375}{1000}\) है। चरण 2: (125) से काटने पर \(\frac{3}{8}\) मिलता है। चरण 3: तीन दशमलव स्थान हों तो पहले (1000) भाजक लेकर सरल करें।
A recurring decimal is rational, but it is not terminating.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating rational decimal always has a fixed repeat. चरण 1: \(0.\overline{12}\) में (12) बार-बार दोहरता है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है, लेकिन यह समाप्त नहीं है। चरण 3: परिमेय असमाप्त दशमलव में निश्चित आवृत्ति जरूर होती है।
Multiplying by \(2^4\) can make the denominator \(10^4\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the decimal terminates in four places. चरण 1: \(625=5^4\) है। चरण 2: भाजक को \(10^4\) बनाने के लिए \(2^4\) से गुणा किया जा सकता है। चरण 3: इसलिए दशमलव चार स्थानों पर समाप्त होगा।
The negative sign does not change the type of decimal expansion.
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), so the factor (7) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Check the denominator in lowest form, not the sign. चरण 1: ऋण चिह्न दशमलव के प्रकार को नहीं बदलता। चरण 2: \(28=2^2\times7\), इसलिए भाजक में (7) होने से दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: चिन्ह नहीं, सरल रूप का भाजक देखें।
In this case, the decimal expansion of the rational number terminates.
Step 3
Exam Tip
If (q) is of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates. चरण 1: (q) में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं। चरण 2: ऐसी स्थिति में परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार समाप्त होता है। चरण 3: (q) का रूप \(2^m5^n\) हो तो समाप्त दशमलव मिलता है।
B. यह असमाप्त आवर्ती है/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(12=2^2\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (3), so the decimal does not terminate, but because it is rational, it recurs.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational fraction is not non-recurring. चरण 1: \(12=2^2\times3\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, लेकिन परिमेय होने के कारण आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न का असमाप्त दशमलव अनावर्ती नहीं होता।
If there are two digits after the decimal point, use denominator (100). चरण 1: \(0.08=\frac{8}{100}\) है। चरण 2: (4) से काटने पर \(\frac{2}{25}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव के बाद दो अंक हों तो (100) भाजक लें।
The larger exponent is (3), and \(\frac{7}{200}=0.035\), so it has exactly three places.
Step 3
Exam Tip
When exact places are asked, verify by writing the decimal. चरण 1: \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है और \(\frac{7}{200}=0.035\) है, इसलिए ठीक तीन स्थान हैं। चरण 3: ठीक संख्या पूछी जाए तो दशमलव बनाकर भी पुष्टि करें।
The factor (11) prevents termination, and since the number is rational, the decimal recurs.
Step 3
Exam Tip
Any factor other than (2) and (5) stops termination. चरण 1: \(22=2\times11\) है। चरण 2: भाजक में (11) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) से अलग गुणनखंड समाप्ति रोकता है।
A terminating decimal greater than (1) can also be converted into a rational fraction. चरण 1: \(1.25=\frac{125}{100}\) है। चरण 2: (25) से काटने पर \(\frac{5}{4}\) मिलता है। चरण 3: (1) से बड़ी समाप्त दशमलव संख्या भी परिमेय भिन्न में बदलती है।
Therefore, it is a non-terminating recurring decimal.
Step 3
Exam Tip
A recurring decimal must have a fixed block repeating continuously. चरण 1: \(0.727272\ldots\) में (72) बार-बार दोहरता है। चरण 2: इसलिए यह असमाप्त आवर्ती दशमलव है। चरण 3: आवर्ती दशमलव में एक निश्चित समूह लगातार दोहरना चाहिए।
The factor (3) is present, so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
A denominator having (3) along with (5) does not give a terminating decimal. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: (3) का गुणनखंड मौजूद है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: (5) के साथ (3) होने पर समाप्त दशमलव नहीं मिलता।
The factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate and will recur.
Step 3
Exam Tip
If the reduced denominator is not of the form \(2^m5^n\), it does not terminate. चरण 1: \(75=3\times5^2\) है। चरण 2: भाजक में (3) बचा है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: सरल रूप का भाजक \(2^m5^n\) न हो तो समाप्ति नहीं होती।
The denominator in the first option has only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Hence, \(\frac{23}{2^4\times5}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
In factorised denominators, quickly spot any extra prime factor. चरण 1: पहले विकल्प के भाजक में केवल (2) और (5) हैं। चरण 2: इसलिए \(\frac{23}{2^4\times5}\) का दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: गुणनखंड रूप में दिए प्रश्नों में अतिरिक्त अभाज्य संख्या जल्दी पहचानें।
Fractions with denominator (16) may have four decimal places. चरण 1: \(16=2^4\) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: \(\frac{1}{16}=\frac{625}{10000}=0.0625\) है। चरण 3: (16) वाले भिन्नों में चार दशमलव स्थान आ सकते हैं।
The reduced denominator is (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Do not be misled by the factor (7) in the original denominator; reduce first. चरण 1: \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\) है। चरण 2: सरल रूप में भाजक (5) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: मूल भाजक में (7) देखकर भ्रमित न हों, पहले काटें।
The denominator contains (3) and (11), so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating decimal of a rational number is recurring. चरण 1: \(66=2\times3\times11\) है। चरण 2: भाजक में (3) और (11) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय संख्या में असमाप्त दशमलव होने पर वह आवर्ती ही होता है।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
In a recurring decimal, a fixed block of digits repeats.
Step 2
Why this answer is correct
Such a decimal can be converted into a fraction \(\frac{p}{q}\), so it is rational.
Step 3
Exam Tip
In assertion-reason questions, check whether the reason supports the assertion. चरण 1: आवर्ती दशमलव में अंकों का निश्चित समूह दोहरता है। चरण 2: ऐसे दशमलव को भिन्न \(\frac{p}{q}\) में बदला जा सकता है, इसलिए वह परिमेय है। चरण 3: कारण-प्रकार प्रश्नों में कारण का संबंध कथन से जरूर जांचें।
Do not put a bar on a terminating decimal. चरण 1: \(8=2^3\) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: \(\frac{7}{8}=\frac{875}{1000}=0.875\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव पर बार नहीं लगाया जाता।
Understand the difference between (0.6) and \(0.\overline{6}\). चरण 1: \(0.\overline{6}=0.666\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{2}{3}\) का दशमलव विस्तार है। चरण 3: (0.6) और \(0.\overline{6}\) को अलग-अलग समझें।
A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
Step 2
Why this answer is correct
So if it does not terminate, some digit or block will repeat.
Step 3
Exam Tip
Do not call a rational number non-terminating non-recurring. चरण 1: परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए यदि वह समाप्त नहीं है, तो उसमें कोई अंक या समूह दोहराएगा। चरण 3: परिमेय संख्या को असमाप्त अनावर्ती नहीं मानना चाहिए।
The larger exponent is (4), so the decimal terminates in four places.
Step 3
Exam Tip
For denominators like (1250), prime factorisation is the easy route. चरण 1: \(1250=2\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव चार स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: (1250) जैसे भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना आसान रास्ता है।
Converting the denominator into a power of (10) is a quick method. चरण 1: (40) को (1000) बनाने के लिए (25) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{31}{40}=\frac{775}{1000}=0.775\) है। चरण 3: भाजक को (10) की घात में बदलना तेज तरीका है।
B. \(0.314159265\ldots\) बिना निश्चित आवृत्ति/\(0.314159265\ldots\) without a fixed repeat
Step 1
Concept
In a non-terminating non-recurring decimal, digits continue without a fixed repeating block.
Step 2
Why this answer is correct
The second option states that there is no fixed repeat, so it is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
To separate recurring and non-recurring decimals, check the repetition pattern. चरण 1: असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंक चलते रहते हैं लेकिन कोई निश्चित समूह नहीं दोहरता। चरण 2: दूसरे विकल्प में निश्चित आवृत्ति नहीं दी गई है, इसलिए वह अनावर्ती है। चरण 3: आवर्ती और अनावर्ती में दोहराव की जांच सबसे जरूरी है।
Pay attention to the correct position of zeros in decimals. चरण 1: (250) को (1000) बनाने के लिए (4) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{9}{250}=\frac{36}{1000}=0.036\) है। चरण 3: दशमलव में शून्य की सही स्थिति पर ध्यान दें।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
Such denominators in rational fractions give recurring decimals. चरण 1: \(33=3\times11\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न में ऐसे भाजक आवर्ती दशमलव देते हैं।
The denominator is made only of (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
A denominator that is a power of (10) always gives a terminating decimal. चरण 1: \(1000=10^3=2^3\times5^3\) है। चरण 2: भाजक केवल (2) और (5) से बना है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: (10) की घात वाला भाजक हमेशा समाप्त दशमलव देता है।
(4.125) has a finite number of digits after the decimal point.
Step 2
Why this answer is correct
Every terminating decimal can be written as a fraction, so it is rational.
Step 3
Exam Tip
Identifying a terminating decimal is an easy way to identify rationality. चरण 1: (4.125) में दशमलव के बाद सीमित अंक हैं। चरण 2: हर समाप्त दशमलव को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। चरण 3: समाप्त दशमलव पहचानना परिमेयता की आसान पहचान है।
The reduced denominator is \(25=5^2\), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
Simplification can remove extra factors from the original denominator. चरण 1: \(\frac{36}{150}=\frac{6}{25}\) है। चरण 2: सरल रूप में भाजक \(25=5^2\) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: सरलीकरण करने से मूल भाजक के अतिरिक्त गुणनखंड हट सकते हैं।
B. यह असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(54=2\times3^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (3), so the decimal will not terminate and will recur because it is rational.
Step 3
Exam Tip
Any power of (3) in the denominator prevents termination. चरण 1: \(54=2\times3^3\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। चरण 3: (3) की कोई भी घात समाप्ति रोकती है।
When converting a decimal to a fraction, include the whole part in the numerator. चरण 1: \(2.04=\frac{204}{100}\) है। चरण 2: (4) से काटने पर \(\frac{51}{25}\) मिलता है। चरण 3: दशमलव को भिन्न बनाते समय पूर्ण भाग सहित पूरी संख्या लिखें।
The denominator has only (2) and (5), so \(\frac{11}{250}\) has a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Choose the denominator made only of (2) and (5). चरण 1: \(250=2\times5^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{11}{250}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: विकल्पों में (2) और (5) से बने भाजक को चुनें।
The denominator contains only (3), so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The fraction is rational, so its non-terminating decimal will recur. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: भाजक में केवल (3) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: भिन्न परिमेय है, इसलिए असमाप्त दशमलव आवर्ती होगा।
A. यह समाप्त दशमलव देगा/It will give a terminating decimal
Step 1
Concept
\(\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(4=2^2\), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator, not the original one, decides the type. चरण 1: \(\frac{15}{60}=\frac{1}{4}\) है। चरण 2: सरल रूप में भाजक \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: मूल भाजक नहीं, सरल रूप का भाजक निर्णायक होता है।
Count decimal places carefully in very small decimals. चरण 1: \(0.0008=\frac{8}{10000}\) है। चरण 2: (8) से काटने पर \(\frac{1}{1250}\) मिलता है। चरण 3: बहुत छोटे दशमलवों में दशमलव स्थान ध्यान से गिनें।
It becomes \(10^5\), so the decimal terminates after five places.
Step 3
Exam Tip
When the exponents are equal, that exponent gives the number of decimal places. चरण 1: भाजक \(2^5\times5^5\) है। चरण 2: यह \(10^5\) के बराबर बनता है, इसलिए दशमलव पांच स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: समान घातें हों तो वही घात दशमलव स्थान देती है।
The factor (3) remains in the denominator, so the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is rational, it will be non-terminating recurring. चरण 1: \(90=2\times3^2\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) बचा है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय होने के कारण यह असमाप्त आवर्ती दशमलव होगा।
The larger exponent is (4), so the decimal terminates within four places.
Step 3
Exam Tip
Even denominators with zeros should be written in prime factors. चरण 1: \(5000=2^3\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव अधिकतम चार स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: शून्य वाले भाजक को भी अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
In \(0.2\overline{3}\), after (2), the digit (3) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
The decimal does not terminate and has a repeating digit, so it is recurring.
Step 3
Exam Tip
The bar is placed only over the repeating part. चरण 1: \(0.2\overline{3}\) में (2) के बाद (3) बार-बार आता है। चरण 2: यह दशमलव समाप्त नहीं होता और एक अंक दोहरता है, इसलिए आवर्ती है। चरण 3: बार केवल दोहरने वाले भाग पर लगाया जाता है।
Multiplying by (6) gives \(\frac{6}{11}=0.\overline{54}\).
Step 3
Exam Tip
If two digits repeat, put the bar over the whole block. चरण 1: \(\frac{1}{11}=0.\overline{09}\) होता है। चरण 2: इसे (6) से गुणा करने पर \(\frac{6}{11}=0.\overline{54}\) मिलता है। चरण 3: दो अंकों का दोहराव हो तो पूरे समूह पर बार लगाएं।
Converting the terminating decimal to a fraction and reducing is the safest method. चरण 1: \(0.625=\frac{625}{1000}\) है। चरण 2: (125) से काटने पर \(\frac{5}{8}\) मिलता है। चरण 3: समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलकर सरल करना सबसे सुरक्षित तरीका है।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
In options, check denominator factors first. चरण 1: \(39=3\times13\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: विकल्पों में पहले भाजक के गुणनखंड जांचें।
कथन: \(\frac{p}{q}\) सरल रूप में हो और (q) में (7) का गुणनखंड हो, तो दशमलव समाप्त नहीं होगा। कारण: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बनना चाहिए। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
For a terminating decimal, the denominator in lowest form must be made only of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (7) remains, this condition fails and the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
The reason correctly explains the assertion, so the first option is correct. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए सरल रूप का भाजक केवल (2) और (5) से बना होना चाहिए। चरण 2: यदि (7) बचा है, तो यह शर्त पूरी नहीं होती और दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: कारण कथन को ठीक से समझा रहा है, इसलिए पहला विकल्प सही है।
For small decimals, count the zeros carefully and then reduce the fraction. चरण 1: \(0.0125=\frac{125}{10000}\) है। चरण 2: (125) से काटने पर \(\frac{1}{80}\) मिलता है। चरण 3: छोटे दशमलवों में शून्य की संख्या ध्यान से गिनें और फिर भिन्न को सरल करें।
