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यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। दशमलव पैटर्न सच में दोहरता है या नहीं, यह जाँचें। / This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Check whether the decimal pattern truly repeats or not.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। पैटर्न दोहराव वाला है या नहीं, इसे ध्यान से देखें। / This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Check carefully whether the pattern repeats or not.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। संख्या रेखा पर हर अपरिमेय संख्या का भी स्थान होता है। / This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Every irrational number also has a place on the number line.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है। इसलिए यह संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्या है। / This decimal is non-terminating and non-repeating. Hence it is an irrational number on the number line.
\(0.4040040004\ldots\) अनावर्ती और असांत दशमलव है, इसलिए यह अपरिमेय है। दशमलव के पैटर्न को ध्यान से देखें। / \(0.4040040004\ldots\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Observe the decimal pattern carefully.
अपरिमेय संख्या के लिए दशमलव प्रस्तुति अनंत (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) होनी चाहिए। विकल्प A में दर्शाया पैटर्न (0.3030030003...) में शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक नहीं बनता—यह अनंत और अनावर्ती है, अतः अपरिमेय है। विकल्प B (0.303030...) आवर्ती है (दो अंकों का पैटर्न “30” बार-बार आता है) और इसलिए राशीय है। विकल्प C (0.303) और D (0.3000... = 0.3) सीमित/समापन दशमलव हैं और इसलिए राशीय हैं। परीक्षा सुझाव: पहले जाँचें कि दशमलव समाप्त हो रहा है या किसी निश्चित ब्लॉक में दोहराया जा रहा है; यदि हाँ तो वह राशीय, अन्यथा संभवतः अपरिमेय। / An irrational decimal must be non-terminating and non-repeating. Option A, 0.3030030003..., shows increasing numbers of zeros between 3s so there is no fixed repeating block; it is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Option B (0.303030...) repeats the block “30” and is therefore rational. Options C (0.303) and D (0.3000... which equals 0.3) are terminating decimals and thus rational. Exam tip: check for termination or a fixed repeating pattern — terminating or repeating implies rational; non-terminating non-repeating implies irrational.
पहला दशमलव अनंत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The first decimal is non terminating and non repeating so it is irrational. Terminating or repeating decimals are rational.
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव अंतहीन है और इसमें कोई निश्चित दोहरने वाला ब्लॉक नहीं है: 4 के बीच के शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जा रही है (एक बार 1 शून्य, फिर 2, फिर 3, ...), इसलिए कोई समयोपरांत आवर्ती परिघ मौजूद नहीं है। अतः यह अनंत और अनावर्ती दशमलव है (एक अपरिमेय संख्या)। विकल्प C गलत है क्योंकि आवर्ती दशमलव में कुछ निश्चित समूह हमेशा दोहराना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: किसी दशमलव को जाँचने के लिए देखें कि क्या किसी निश्चित लंबाई का अंक‑ब्लॉक समयोपरांत बार-बार आता है; यदि नहीं और अंकों की गिनती अनंत है तो यह अनावर्ती होगा। / The decimal never terminates and has no fixed repeating block: the number of zeros between successive 4s increases (1, 2, 3, ...), so there is no periodic pattern. Therefore it is non-terminating and non-repeating (an irrational-type decimal). Option C is incorrect because a repeating decimal must have a fixed repeating cycle, which this expansion lacks. Exam tip: a decimal is rational only if it terminates or eventually repeats; check for a constant periodic block to decide.
किसी संख्या का दशमलव अगर अनंत तक चलता है पर उसमें कोई निश्चित आवर्ती क्रम नहीं है, तो वह अपरिमेय संख्या होती है। परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रतिनिधित्व या तो समाप्त होते हैं या किसी निश्चित आवर्ती ब्लॉक के बाद दोहराते हैं — इसलिए विकल्प B गलत है। पूर्णांक और पूर्ण संख्याएँ परिमेय होती हैं (उदाहरण के लिए 5 = 5/1), अतः C और D भी इस दशमलव के लिए लागू नहीं होते। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव में आवर्ती पैटर्न न दिखे तो उसे अपरिमेय मानें; जरूरत पड़े तो संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त करके जांचें। / A decimal that is non-terminating and non-repeating represents an irrational number. Rational numbers either terminate or repeat a fixed block in their decimal form, so option B is incorrect. Integers and whole numbers are special cases of rationals and therefore do not describe a non-terminating non-repeating decimal; C and D are incorrect. Exam tip: if a decimal neither ends nor shows a repeating pattern, classify it as irrational; try expressing the number as a fraction to test rationality.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव समाप्त नहीं होता और शून्यों की संख्या बदलती जाती है। स्थिर आवर्ती खंड न होने से यह असांत अनावर्ती है। / This decimal does not end, and the number of zeros keeps changing. Since there is no fixed repeating block, it is non-terminating non-recurring.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव समाप्त नहीं होता और शून्यों की संख्या बदलती जाती है। स्थिर आवर्ती खंड न होने से यह असांत अनावर्ती है। / This decimal does not end, and the number of zeros keeps changing. Since there is no fixed repeating block, it is non-terminating non-recurring.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव समाप्त नहीं होता और (2) के बीच शून्यों की संख्या बदलती रहती है। स्थिर आवर्ती खंड न होने से यह असांत अनावर्ती है। / This decimal does not end, and the number of zeros between the (2)'s keeps changing. Since there is no fixed repeating block, it is non-terminating non-recurring.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
यह दशमलव समाप्त नहीं होता। / The decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें (2) की संख्या बदलती जा रही है, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। अतः यह असांत अनावर्ती है। / The number of (2)'s keeps changing, so no fixed repeating block is formed. Hence it is non-terminating non-recurring.
Step 3
Exam Tip
केवल बार-बार दिखने वाले अंक काफी नहीं, स्थिर आवर्ती खंड जरूरी है। / Repeated-looking digits are not enough; a fixed recurring block is needed.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
यह दशमलव समाप्त नहीं होता। / This decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें (1) के बीच शून्यों की संख्या बदलती जा रही है, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। अतः यह असांत अनावर्ती है। / The number of zeros between the (1)'s keeps changing, so there is no fixed repeating block. Hence it is non-terminating non-recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती खंड न मिले तो उसे परिमेय मानने की जल्दी न करें। / Do not call a decimal rational unless a repeating block is present.
(0.75) समाप्त दशमलव है और \(0.\overline{3}\), \(5.2\overline{4}\) आवर्ती हैं। / (0.75) is terminating, while \(0.\overline{3}\) and \(5.2\overline{4}\) are recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(2.10110111011110\ldots\) में निश्चित दोहराव नहीं दिखता। / \(2.10110111011110\ldots\) has no fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या नहीं दर्शाता। / A non-terminating non-recurring decimal does not represent a rational number.
B. \(0.314159265\ldots\) बिना निश्चित आवृत्ति/\(0.314159265\ldots\) without a fixed repeat
Step 1
Concept
असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंक चलते रहते हैं लेकिन कोई निश्चित समूह नहीं दोहरता। / In a non-terminating non-recurring decimal, digits continue without a fixed repeating block.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे विकल्प में निश्चित आवृत्ति नहीं दी गई है, इसलिए वह अनावर्ती है। / The second option states that there is no fixed repeat, so it is non-recurring.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में दोहराव की जांच सबसे जरूरी है। / To separate recurring and non-recurring decimals, check the repetition pattern.
परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या असमाप्त आवर्ती होता है। / The decimal expansion of a rational number is either terminating or non-terminating recurring.
Step 2
Why this answer is correct
\(0.10100100010000\ldots\) में कोई स्थायी आवृत्ति नहीं है, इसलिए यह परिमेय नहीं है। / \(0.10100100010000\ldots\) has no fixed repeating block, so it is not rational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर पहचानना जरूरी है। / Learn to distinguish recurring from non-recurring decimals.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
यह दशमलव समाप्त नहीं होता। / This decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं बनता। / The number of zeros keeps changing, so no fixed repeating block is formed.
Step 3
Exam Tip
असांत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / A non-terminating non-recurring decimal is irrational.
