If the sum of all coefficients of p(x)=3x^3+kx^2-7x+2 is 5, what is k?यदि बहुपद p(x)=3x^3+kx^2-7x+2 में सभी गुणांकों का योग 5 है, तो k क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 77
For a polynomial, the sum of all coefficients equals p(1), because substituting x=1 changes every power of x to 1. Here p(1)=3(1)^3+k(1)^2-7(1)+2=3+k-7+2=k-2. The given condition says k-2=5, so k=7. Therefore option C is correct. Directly adding the coefficients gives the same equation: 3+k-7+2=5. Option A incorrectly treats the given total as k, while options B and D result from arithmetic errors when combining the constant terms and the -7 coefficient. The p(1) rule is especially useful because it avoids unnecessary expansion or root calculations.किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग p(1) के बराबर होता है, क्योंकि x=1 रखने पर x की प्रत्येक घात का मान 1 हो जाता है। यहाँ p(1)=3(1)^3+k(1)^2-7(1)+2=3+k-7+2=k-2। प्रश्न के अनुसार k-2=5, इसलिए k=7। अतः विकल्प C सही है। गुणांकों को सीधे जोड़ने पर भी यही समीकरण मिलता है: 3+k-7+2=5। विकल्प A में दिए गए कुल योग को ही k मान लेने की भूल है, जबकि B और D में स्थिर पदों तथा -7 को जोड़ते समय अंकगणितीय त्रुटि होती है। p(1) का नियम बहुत उपयोगी है, क्योंकि इससे बहुपद का विस्तार या शून्यक ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं पड़ती।
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