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\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational. Repeating decimals are always rational.
परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न p/q (जहाँ p और q पूर्णांक और q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होने वाला (terminating) होता है या अनंत आवर्ती (non‑terminating repeating) होता है। उदाहरण: 0.333... = 1/3 और 0.2727... = 27/99 = 3/11। इसलिए अनंत और आवर्ती दशमलव परिमेय है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार अनंत पर अंतःस्थापित नहीं होते — वे non‑repeating होते (जैसे √2 = 1.41421... non‑repeating)। C (अवास्तविक) भी गलत है; अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा वास्तविक संख्या होती है। D (केवल पूर्णांक) गलत है क्योंकि अधिकांश आवर्ती दशमलव पूर्णांक नहीं होते, वे भिन्न होते हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें — यदि आप इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं तो वह परिमेय है। / Rational numbers can be expressed as a fraction p/q (integers p and q, q ≠ 0). The decimal expansion of any rational number is either terminating or non‑terminating repeating. Examples: 0.333... = 1/3 and 0.2727... = 27/99 = 3/11. Thus a non‑terminating repeating decimal is rational. Why other options are wrong: B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimals (e.g. √2). C (non‑real) is incorrect since such decimals represent real numbers. D (integer only) is incorrect because repeating decimals are generally fractions, not necessarily integers. Exam tip: Convert the repeating decimal into a fraction using algebra (e.g., set x = 0.2727..., multiply to shift decimal, subtract) to verify rationality quickly.
मान लें \(x=0.\overline{09}\). तब \(100x=9.\overline{09}\) होगा। अब घटाएँ: \(100x-x=9.\overline{09}-0.\overline{09}\) यानी \(99x=9\)। अतः \(x=\dfrac{9}{99}=\dfrac{1}{11}\)। यह भिन्न है, इसलिए परिमेय संख्या है। अपरीमेय संख्या गलत है क्योंकि अपरीमेय दशमलव अनुप्रसारित (non-repeating) और अनन्त होते हैं, जबकि यहाँ दशमलव आवर्ती (repeating) है। अवास्तविक संख्या और पूर्णांक दोनों भी गलत हैं: यह संख्या 0 और 1 के बीच का भिन्न है, न कि पूरा अंक या गैर-यथार्थ संख्या। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए ऊपर का तरीका (गुणा करके घटाना) याद रखें। / Let \(x=0.\overline{09}\). Then \(100x=9.\overline{09}\). Subtracting gives \(100x-x=9\Rightarrow 99x=9\), so \(x=9/99=1/11\). Since it equals a fraction of integers, it is rational. "Irrational" is incorrect because irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals; here the decimal repeats. "Non-real" is wrong because every decimal expansion represents a real number, and "Integer" is wrong because the value lies between 0 and 1. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by setting the decimal equal to x, multiplying to align repeats, and subtracting to solve for x.
धारणा लें कि \(x=0.\overline{123}\). फिर \(1000x=123.\overline{123}\) होगा। दोनों को घटाने पर \(999x=123\) मिलता है, अतः \(x=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}\)। यह एक भिन्न (रैशनल संख्या) है, इसलिए परिमेय। विकल्प B गलत है क्योंकि यह अपरिमेय नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि यह एक वास्तविक दशमलव संख्या है; विकल्प D गलत है क्योंकि यह 0 और 1 के बीच की भिन्न संख्या है, पूर्णांक नहीं। परीक्षा-टिप: किसी आवर्ती दशमलव ब्लॉक की लंबाई n हो तो भिन्न बनाने पर हर अंकों के लिए हर स्थान पर 9 का उपयोग करें (यहाँ 3 अंकों के लिए हर जगह 9 → 999)। / Let \(x=0.\overline{123}\). Then \(1000x=123.\overline{123}\). Subtracting gives \(999x=123\), so \(x=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}\). Since it equals a ratio of integers, it is rational. Option B is wrong because the decimal is repeating and converts to a fraction; C is wrong because the number is a real decimal; D is wrong because the value lies between 0 and 1, not an integer. Exam tip: For a repeating block of length n, use n nines in the denominator (e.g., 3-digit repeat → denominator 999).
रेखा ऊपर दिखाती है कि '12' आवर्ती है। आवर्ती दशमलव हमेशा दो संपूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए परिमेय होता है। उदाहरण के लिए, \(x=0.\overline{12}\) मान लें। तब \(100x=12.\overline{12}\) और अलग करने पर \(100x-x=99x=12\) मिलता है, अतः \(x=12/99=4/33\) जो दो पूर्णांकों का भाग है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं; यहाँ अत्यंत रूप से व्यक्त की जा सकती है। विकल्प C गलत है क्योंकि दशमलव मान वास्तविक संख्या का एक प्रकार है। विकल्प D गलत है क्योंकि परिणाम 0 और 1 के बीच है, अतः पूर्णांक नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी आवर्ती दशमलव को परिमेय साबित करने के लिए उसे भिन्न में बदलने की विधि (गुणाकर घटाना) याद रखें। / The overline shows that '12' repeats. Any repeating decimal can be expressed as a ratio of two integers, so it is rational. For example, let \(x=0.\overline{12}\). Then \(100x=12.\overline{12}\); subtracting gives \(99x=12\), hence \(x=12/99=4/33\), a fraction of integers. Choice B is wrong because irrational numbers cannot be written as a ratio of integers; here we have such a ratio. Choice C is wrong because a decimal number is real. Choice D is wrong because the value lies between 0 and 1, so it is not an integer. Exam tip: convert a repeating decimal to a fraction by multiplying to align repeats and subtracting — this quickly shows rationality.
अपरिमेय संख्या के लिए दशमलव प्रस्तुति अनंत (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) होनी चाहिए। विकल्प A में दर्शाया पैटर्न (0.3030030003...) में शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक नहीं बनता—यह अनंत और अनावर्ती है, अतः अपरिमेय है। विकल्प B (0.303030...) आवर्ती है (दो अंकों का पैटर्न “30” बार-बार आता है) और इसलिए राशीय है। विकल्प C (0.303) और D (0.3000... = 0.3) सीमित/समापन दशमलव हैं और इसलिए राशीय हैं। परीक्षा सुझाव: पहले जाँचें कि दशमलव समाप्त हो रहा है या किसी निश्चित ब्लॉक में दोहराया जा रहा है; यदि हाँ तो वह राशीय, अन्यथा संभवतः अपरिमेय। / An irrational decimal must be non-terminating and non-repeating. Option A, 0.3030030003..., shows increasing numbers of zeros between 3s so there is no fixed repeating block; it is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Option B (0.303030...) repeats the block “30” and is therefore rational. Options C (0.303) and D (0.3000... which equals 0.3) are terminating decimals and thus rational. Exam tip: check for termination or a fixed repeating pattern — terminating or repeating implies rational; non-terminating non-repeating implies irrational.
विकल्प A में '27' का समूह बार-बार दोहर रहा है (1.27 27 27 ...), इसलिए यह अनंत आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय (rational) होते हैं और एक भिन्न के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। विकल्प C (1.27) समाप्त होने वाली दशमलव है, इसलिए आवर्ती नहीं है। विकल्प D, \(\sqrt{2}\), एक अपरिमेय संख्या है जिसका दशमलव अविराम और गैर-आवर्ती होता है। विकल्प B में दिए गए अंक एक स्पष्ट, स्थिर दोहराए जाने वाले ब्लॉक को नहीं दिखाते इसलिए उसे आवर्ती नहीं माना जाता (यहाँ दिया गया अनुक्रम गैर-आवर्ती या अस्पष्ट रूप से समाप्त नहीं दिखता)। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव को आवर्ती मानने के लिए देखें कि क्या एक निश्चित क्रमिक अंक-समूह पूरे शेष भाग में लगातार दोहराया जा रहा है। / Option A has the block '27' repeating indefinitely (1.272727...), so it is a non-terminating repeating decimal. Repeating decimals are rational and can be written as fractions. Option C (1.27) is a terminating decimal, not repeating. Option D, \(\sqrt{2}\), is irrational so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Option B does not show a fixed repeating block in the digits shown, so it is not a repeating decimal (the pattern does not settle into a constant repeating block). Exam tip: to identify a repeating decimal, look for a fixed group of digits that repeats indefinitely after some point.
\(4.\overline{56}\) में "56" का समूह बार-बार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह एक आवर्ती (repeating) और अनन्त दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय (rational) संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। विकल्प B में कोई स्थिर दोहराने वाला ब्लॉक नहीं दिखता इसलिए वह अनन्त परंतु अनावर्ती (non-repeating) है; विकल्प C समाप्त (terminating) दशमलव है; विकल्प D का मान \(\sqrt{4}=2\) है जो पूर्ण संख्या और समाप्त रूप है। परीक्षा-सूत्र: आवर्ती दशमलव में एक निश्चित अंक-समूह हमेशा नियमित अंतराल पर बार-बार आता है — उसे पहचानने के लिए दोहराए जाने वाले ब्लॉक की तलाश करें। / In \(4.\overline{56}\) the block "56" repeats indefinitely, so it is a non-terminating repeating decimal (hence rational). Option B shows digits continuing without a fixed repeating block, so it is non-repeating; option C is a terminating decimal; option D equals \(\sqrt{4}=2\), an integer (terminating). Exam tip: look for a fixed group of digits that repeats periodically — that identifies a repeating decimal.
यह संख्या आवर्ती दशमलव है क्योंकि '18' बार‑बार आता है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं क्योंकि इन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण दिखाते हैं: मान लें \(x=2.\overline{18}\). तब \(100x=218.\overline{18}\) और घटाने पर \(99x=216\), अतः \(x=\dfrac{216}{99}=\dfrac{24}{11}\)। इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या नॉन‑रिपीटिंग अनंत दशमलव होती है; यहाँ दशमलव आवर्ती है। विकल्प C और D भी गलत हैं: यह वास्तविक संख्या है (इसलिए नॉन‑रियल नहीं) और यह पूर्णांक नहीं है। परीक्षा सुझाव: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आवर्ती ब्लॉक की लंबाई के अनुसार 10 का उपयुक्त घात गुणा कर के घटाना करें। / The decimal is repeating ('18' repeats), so it must be rational because repeating decimals can be written as fractions. For example, let \(x=2.\overline{18}\). Then \(100x=218.\overline{18}\), subtracting gives \(99x=216\), so \(x=\dfrac{216}{99}=\dfrac{24}{11}\). Thus the number is rational. Option B (irrational) is wrong because irrational numbers have non‑repeating, non‑terminating decimals; here the decimal repeats. Options C and D are also incorrect: the number is real (not non‑real) and it is not an integer. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by multiplying by an appropriate power of 10 equal to the repeating block length and subtracting.
\(0.\overline{7}\) एक आवर्ती (repeating) दशमलव है। मान लें कि \(x=0.\overline{7}\)। फिर \(10x-x=7\) होता है, अतः \(x=7/9\)। यह भिन्न रूप में व्यक्त हो सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ गैर‑आवर्ती और अनंत दशमलव प्रस्तुत करती हैं; यहाँ दशमलव आवर्ती है। परीक्षा टिप: किसी आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर तुरंत परिमेयता जाँचे। / \(0.\overline{7}\) is a repeating decimal. Let \(x=0.\overline{7}\). Then \(10x-x=7\), so \(x=7/9\). Since it can be expressed as a fraction, it is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers are non‑terminating, non‑repeating decimals; here the decimal repeats. Exam tip: convert a repeating decimal to a fraction to verify rationality quickly.
2.454545... में ‘45’ का समूह बार‑बार आवर्ती है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है और परिमेय होता है। गणितीय रूप में 0.454545... = 45/99 = 5/11 और इसलिए 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\)। विकल्प B में समूहों की लंबाई बदलती है इसलिए यह गैर‑आवर्ती है; विकल्प C (π के दशमलव) और विकल्प D (1,2,3,... को जोड़कर बना दशमलव) भी गैर‑आवर्ती होते हैं। परीक्षा सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाला दशमलव हमेशा परिमेय होता है — आवर्ती भाग को भिन्न में बदलकर जाँचें। / 2.454545... has the block “45” repeating, so it is a repeating (periodic) decimal and therefore rational. In fact 0.454545... = 45/99 = 5/11, so 2.454545... = 2 + 5/11 = \(\frac{27}{11}\). Option B (1.010010001...) has increasing block lengths and is non‑repeating; option C (3.14159265...) represents the non‑repeating decimal expansion of π; option D (0.1234567891011...) is the concatenation of natural numbers — both C and D are non‑repeating (irrational). Exam tip: terminating or repeating decimals are rational — convert a repeating part to a fraction to verify.
0.333... एक आवर्ती (repeating) दशमलव है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। सिद्ध करने के लिए मान लें कि x = 0.333...; तब 10x = 3.333... और दोनों को घटाने पर 9x = 3 आता है, अतः x = 3/9 = \(\frac{1}{3}\). इसलिए 0.333... को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है और यह परिमेय है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है न ही आवर्ती होता है। विकल्प C और D भी गलत हैं: 0.333... एक वास्तविक संख्या है और किसी वास्तविक संख्या के लिए या तो वह परिमेय होगी या अपरिमेय। परीक्षा-सुझाव: किसी भी आवर्ती या समाप्त होने वाले दशमलव को परिमेय समझें और उसे भिन्न में बदलने के लिए ऊपर वाला गुणा–घटाना तरीका प्रयोग करें। / 0.333... is a repeating decimal, so it is a rational number. To show this, let x = 0.333...; then 10x = 3.333... and subtracting gives 9x = 3, so x = 3/9 = \(\frac{1}{3}\). Thus 0.333... can be written as a fraction and is rational. Option B (irrational) is wrong because irrational decimals are non-terminating and non-repeating. Options C and D are also incorrect: 0.333... is a real number, and every real number is either rational or irrational. Exam tip: Any terminating or repeating decimal is rational—use the multiply-and-subtract method to convert to a fraction quickly.
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है जब सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (5) हों। / A rational number has a terminating decimal only when the denominator in lowest form has prime factors only (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
यहां हर में (7) भी है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत नहीं होगा, पर परिमेय संख्या होने के कारण वह आवर्ती होगा। / Here the denominator also contains (7), so the decimal will not terminate, but since the number is rational, it will repeat.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में जांचें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / In exams, always reduce the fraction first and then check the prime factors of the denominator.
