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Subjects
Class 10 Mathematics Polynomials Irrational numbers and real numbers Hard Level 26

निम्न में से किस बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और उसके शून्यक अपरिमेय संयुग्मी हैं?

Which of the following polynomials has rational coefficients and irrational conjugate zeros?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((x^2-6x+7)\)

Explanation

Simple Explanation

\((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.

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निम्न में से किस बहुपद के गुणांक परिमेय हैं और उसके शून्यक अपरिमेय संयुग्मी हैं? / Which of the following polynomials has rational coefficients and irrational conjugate zeros?

Correct Answer: A. \((x^2-6x+7)\). Explanation: \((x^2-6x+7)\) के लिए विच्छेदक (discriminant) है \(D=b^2-4ac=36-28=8\)। \(D\) धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए शून्यक \(3\pm\sqrt{2}\) होंगे — अपरिमेय और एक-दूसरे के संयुग्मी। गुणांक (1, −6, 7) सभी परिमेय हैं। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) में गुणांक परिमेय नहीं हैं (\(\sqrt{2}\) मौजूद है); \((x^2-4x+4)\) का discriminant 0 है — शून्यक पुनरावर्ती और परिमेय (2); \((x^2+1)\) का discriminant नकारात्मक है और शून्यक काल्पनिक (\(\pm i\)) हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गीय बहुपद के लिए पहले गुणांकों की परिमेयता जाँचें और फिर discriminant की जाँच करें — धनात्मक और पूर्ण वर्ग न होने पर अपरिमेय संयुग्मी शून्यक मिलते हैं। / For \((x^2-6x+7)\) the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-28=8\). Since \(D>0\) and not a perfect square, the roots are \(3\pm\sqrt{2}\) — irrational and conjugate. The coefficients (1, −6, 7) are rational. Why other choices are wrong: \((x^2-\sqrt{2}x+1)\) has an irrational coefficient (so coefficients are not all rational); \((x^2-4x+4)\) has \(D=0\) giving a repeated rational root 2; \((x^2+1)\) has \(D<0\) giving purely imaginary roots. Exam tip: check coefficient rationality first, then compute the discriminant — irrational conjugate real roots occur when discriminant is positive but not a perfect square.